13Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273140)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 13Собственные значения и собственные векторы линейного оператораОпределение собственного значения и собственного векторалинейного оператораОпределение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейномпространстве Rn. Число называется собственным значением, а ненулевойвектор ̅ из Rn — соответствующим собственным вектором линейного оператора̅.̅, ̅A, если они связаны между собой соотношением. ̅Примеры.̅ 0⋅ ̅̅ , т.е.1. Нулевой оператор :̅0— собственное значениенулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства Rn.2.

Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅̅ — т.е.1собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы— все ненулевые векторы пространства Rn.3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 наподпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:̅, ̅, , ∈ ,, ,0 ∈ ,̅, ,0̅, , 0, т.е.1— собственное значениеоператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — всененулевые векторы R3, третья координата которых равна нулю: , , 0.Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в Rn.Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы̅ или, что то же самое,̅:связаны соотношением̅̅, ̅̅̅, ̅̅,̅, ̅̅ .

Здесь — единичный оператор.̅̅̅̅̅ , где EПо теореме о связи координат образа и прообраза имеем:̅n— единичная матрица, а ̅ — нулевой вектор R .Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым̅ . Ненулевое решение̅решением линейной однородной системыоднородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда итолько тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: det0.Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть0, а собственные векторы — каквычислены как корни уравнения detрешения соответствующих однородных систем.Легко видеть, что определитель det— многочлен n-й степениотносительно .Определение.

Уравнение det0называется характеристическим— характеристическимуравнением оператора, а многочлен detмногочленом оператора.Примеры.̅ , матрица нулевого оператора — нулевая̅1.Нулевой оператор :0матрица соответствующего порядка, т.е. det0∣...0...0............00∣...10,т.е.0— единственное собственное значение нулевого оператора, асоответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространстваRn.22.Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅ , матрица тождественногооператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. det∣100...01...0...0...0......... 10, т.е.1 1∣1— единственное собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы —все ненулевые векторы пространства Rn.3.Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на̅, ̅, , ∈ ,подпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:, , 0 ∈ , тогда матрица тождественного оператора — единичная матрицасоответствующего порядка, т.е.

det10,т.е.0и1 0 0∣0 1 00 0 01 0 010 1 0∣ ∣ 00 0 101— собственные значения оператора.10000 ∣Найдем соответствующие собственные векторы.Пусть0, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения̅ 0,0,т.е.системы1 0 00,0,0, свободная переменная,т.е. вектор0 1 0⋅0 0 00̅0— собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению10 00и, следовательно, все векторы вида С 0 0 — собственные векторы оператора,1отвечающие собственному значению0.Теперь положим1, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые̅ 0,1,т.е.решения системы0 0 00,0, , свободные переменные,т.е.

векторы0 0 0 ⋅0 0110̅0, ̅1— линейно независимые векторы, которые являются собственными00векторами оператора, отвечающими собственному значению1и, следовательно,10 Свсе векторы вида С 0 С 1 С — собственные векторы оператора, отвечающие000собственному значению1.4.. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно началакоординат против часовой стрелки:̅, ,U̅cossin , sincos .Матрица оператора∣detcossincossincossinsincos2λcossin, тогдаcoscos1 0∣ ∣sin0 11 0,4cossin∣cos44sin0.Характеристическое уравнение имеет единственный корень1прии0 001при0,2π. Если,1, и̅ 0, ⇔, ,0 00свободные переменные,т.е. соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства R2.При— оператор поворота не имеет собственных векторов.3И, наконец, при0и2π,1, оператор поворота совпадает стождественным оператором, собственные значения и собственные векторыкоторого вычислены выше.Однако, все приведенные выше рассуждения относились к матрице оператора,записанной в некотором определенном базисе в пространстве Rn.

А поскольку впространстве Rn существует много различных базисов, то может возникнутьвпечатление, что собственные значения зависят от выбранного базиса. Докажем,что это не так.̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn, а → — матрица переходаПусть̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е.от базиса̅ , ̅ ,..., ̅ к базису⋅ → ,⋅→ ⋅→ ⋅.Тогда→detdetdet→⋅det⋅→det→det→⋅→⋅→→⋅⋅→⋅⋅⋅ det⋅→⋅ det⋅ detdet→→→⋅ detт.е. характеристическое уравнение инвариантно, не зависит от базиса и его корни— собственные значения оператора — не зависят от базиса.Пример (ТР Линейная алгебра, задача 9).

Найти собственные значения исобственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе133матрицей05603.4Решение. Запишем характеристическое уравнение:∣105603 ∣1∣21,1563418Собственные значения оператора2.Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅1:det330, 11210,4110035 13364 13 1 2,2x1,21, ̅00330,10— собственному значению1собственных вектора ̅ и ̅ .̅412.1,066∣152003→1302x,020011→00012,323321,005 2364 20,0,2отвечает собственный вектор ̅ .2001001отвечают два линейно независимыхНайдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅2det30333 60,,̅013→0600112:01 0 01→0 1 110 0 001— собственному значению14Проверим.̅ ,̅̅1330561330560 23⋅14 00 003⋅ 124 1221021⋅1002 11Ответ: собственные значения оператора:собственные векторы: ̅21, ̅010, ̅101.1̅ ,133̅0560 13⋅04 110111⋅01̅ .

Верно.1,2; соответствующиеСвойства собственных векторовДля собственных значений и собственных векторов линейного операторасправедливы следующие утверждения:n1) характеристический многочлен оператора, действующего в R являетсямногочленом n-й степени относительно ;n2) линейный оператор, действующий в R , имеет не более n различныхсобственных значений;3) собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянногосомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичнойдлины — орты собственных векторов;докажем, что если ̅— собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор ̅(0)— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению :̅̅̅̅;4) корни характеристического многочлена не зависят от базиса;5) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,линейно независимы.Докажем линейную независимость собственных векторов, отвечающих различнымсобственным значениям.Пусть ̅ — собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , а ̅ — собственный вектор линейного оператора A,отвечающий собственному значению ,: ̅̅ и ̅̅ .Предположим, что векторы ̅ и ̅ линейно зависимы.

Это означает, что один изних линейно выражается через другой: существует такое число0, что ̅̅ . Тогда:̅̅̅αλ ̅̅̅ .Собственный базис линейного оператора. Матрица линейногооператора в собственном базисеЕсли линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственныхзначений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.Действительно, ведь мы доказали, что они линейно независимы.Определение. Базис, составленный из собственных векторов линейногооператора называют собственным базисом оператора.Если ̅ , ̅ ,..., ̅ — собственный базис оператора A, то, поскольку̅̅ ,томатрица оператора в этом базисе — диагональная матрица с собственнымизначениями на диагонали.5Пример. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственномбазисе.

Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей13305603.4Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения1,21, ̅0̅10, ̅12и соответствующие собственные векторы оператора —01.1Собственные векторы оператора образуют базис в R3. Далее.Первый способПоскольку в базисе ̅ , ̅ , ̅̅̅1⋅ ̅1 00 10 0̅ , ̅ , ̅10,0̅00.2̅̅1⋅ ̅̅01,0̅̅2⋅ ̅2 ̅00и2Второй способЗапишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису̅ , ̅ , ̅ :1 00 10 000.22 11 00 101. Тогда12 11 00 1⋅̅ , ̅ , ̅Решения, полученные обоими способами совпали.Ответ:̅ , ̅ , ̅1 00 10 000, ̅221, ̅010, ̅101.10111330560 2 13⋅1 04 0 1011.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций