5Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273134)
Текст из файла
1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 5. ОпределителиОсновные понятия, определения, обозначенияМатрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в mстроках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или простоматрицей.Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.Примеры:01 2— квадратная матрица порядка 2, 0.3— прямоугольная матрица,3 42 √310.75 1 9— матрица-строка.0 —матрица-столбец,3Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или двевертикальные черты ∥∥∥∥.
Чаще используют круглые скобки.Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквойс двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца),столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а строки— заглавной буквой с нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будемзаключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.Таким образом, обозначаем:A — матрица, ij — элемент матрицы A, расположенный в i-й строке, j-м столбце,— j-й столбец матрицы A, — i-я строка матрицы A —...1112...2122ij......
... ...,...mn...ij,j-й столбец матрицы A,mj11211112...,...Пример.— 1-й столбец матрицы A,,...114in02,7ij,¯ ,1,Транспонирование матрицы— i-я строка матрицы A,— 1-я строка матрицы A.02,74 7.Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица,получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называетсятранспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT:211............122122......112112... ,22...mn..................
.mnОПРЕДЕЛИТЕЛИДля каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы,детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом).Определение. Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число,равное единственному элементу этой матрицы: A={a}, detA=|A|=a.Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:11............122122.........
.nnОпределение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное11det21∣ ...1222.................. ∣1⋅,nnгде— определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиваниемпервой строки и j-го столбца.Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементыматрицы.Определитель 2-го порядка:∣11122122∣1⋅11⋅111⋅12⋅1211⋅2212⋅21 .Определитель 3-го порядка:∣111213212223313233∣111⋅∣⋅2223323311∣⋅11112⋅∣⋅21233133∣12⋅13112⋅∣21223132⋅13⋅13∣.Введем полезные в дальнейшем определения — минор элемента матрицы, алгебраическоедополнение элемента матрицы.В этих новых терминах определение определителя n-го (n > 1) порядка звучит иначе.Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на ихалгебраические дополнения:......2122det∣ ...⋅1⋅....
... ... ∣...nnСправедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать.1112Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу).Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения.Пример. Вычислим определитель разложением по второй строке:31 2 3∣4 5 6∣7 8 91⋅4⋅4 ⋅∣4 ⋅6211⋅5⋅1222 31 31 2∣ 5 ⋅∣∣ 6 ⋅∣∣8 97 97 85 ⋅ 126⋅ 624 60⋅6⋅230.36Следствие.
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональныхэлементов. (Доказать самостоятельно).Свойства определителейДля определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей.1.2.3.4.Определитель не изменяется при транспонировании: det AT = det A.При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то11...определитель умножается на это число: ∣5.6....12....................................11...in...∣∣12............nn...............Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю...................in...∣.nnЕсли квадратные матрицы A, B и С отличаются только i-й строкой и при этом iя строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i-х строк матриц A и B,то detC=detA + detB:7.11...∣..................11...in...nn...in∣ ∣..................11...in......∣∣...nn..................in...∣.nn8.Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементылюбой другой строки, умноженные на одно и то же число.9.Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой0,.строки равна нулю:∑ij ⋅ kjПоскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9справедливы и для столбцов.Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.1321444 572134Пример.
∣ 2 6 4∣ 0,поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.2117 2337Пример.1 2 3∣4 5 6∣7 8 9прибавимко второйстроке первую строку, умноженную на -4 :1 23∣036∣7 89прибавимктретьейстроке первую строку, умноженную на -7 : A1 23∣036 ∣ 0 втораяитретьястрокипропорциональны:0612-4 ⋅ A ⇒-7 ⋅ A ⇒2⋅.4Пример.15∣104⋅⇐108 ⋅∣002100301026013710,48∣012 ⋅⇐4⋅5⋅,102 ⋅∣0024111 ⋅,⇐4 ⋅108 ⋅∣0041∣118⋅11 0 1⋅∣ 0 1 1 ∣0 0 18⋅⇐321021001⋅∣216211 20 18 ⋅∣0 10 41 ⋅47∣21301210∣00⇔41∣13⇐1 1∣0 18⋅2 ⋅1⋅18.38203012428∣4141∣27.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
