7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273136), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этогоподпространства.Отсюда следует: dim(Rn) = n.Действительно, в пространстве Rn есть базис из n векторов — естественный базис в Rn.Пример. Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rn, у которыхпоследние компоненты — нулевые, равна n – 1.Действительно, векторы ̅1,0,0,..., 0,0, ̅0,1,0,..., 0,0,..., ̅0,0,0,..., 1,0— очевидно,принадлежат L и линейно независимы.

Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного,...,, 0 ∈ имеет место разложение справедливо: ̅̅...̅ ,вектора ̅т.е. векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL= n –1.Тогда можно использовать другое определение базиса.Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерноголинейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ из L линейно независимы, то̅̅для любого ̅ ∈ существует единственный набор чисел , ,..., таких, что ̅̅....Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу Am, n, у которой m строк и n столбцов:11,21...1222...Её строки —...............

.mn,,...,in—являются векторами из Rn,... — являются векторами из Rm.А столбцы —mjПонятно, что множество строк матрицы Am, n , к которому добавили все строки, которыемогут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключаятранспонирование) — линейное подпространство в Rn.А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в Rm.Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейнойнезависимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк иподпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.Ранг матрицыОпределение.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строкматрицы. Обозначаем RgA, rgA.Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимыхстрок, а любые r +1 строки — линейно зависимы.Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.Доказательство утверждения. Пусть Am, n — прямоугольная матрица и RgA = r.

Неумаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: , ,..., . Выполнимэлементарные преобразования строк матрицы. Обозначим полученную матрицу A’, еестроки — ′ .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не можетповлиять на количество линейно независимых строк.Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую,умноженную на отличное от нуля число.Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.Например, ′,0, ′,.

Тогда ∑′......Т.к. строки..., ,...,0,0..., то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда0,0,...,0. Отсюда немедленно следует, что и0, т.е.первые r строк преобразованной матрицы ′ , ′ ,..., ′ — линейно независимы. Покажем,что любая система ′ , ′ ,..., ′ , ′ ,строк преобразованной матрицы линейно зависима,линейно выражается через строки ′ , ′ ,..., ′ :т.е.

покажем, что строка ′ ,поскольку строки , ,..., , ,линейно зависимы, то∑,, а отсюда — ′ ∑′ ′ ,и0,...,′......′.........′...′′′ ,.Если же ′,,0иA′,, то первые r строк преобразованной матрицылинейно независимы, а любые r+1 линейно зависимы, т.к. любая строка преобразованнойматрицы линейно выражается через ее первые r линейно независимых строк:′ijkjijkjijkj′′ij ′Утверждение доказано.Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу11...23 ...33 ...... ... ...0 ...rr0 ... 0...

... ...000...0...01200...00........................13220...00......rn0...т.е. 1min , , ij 0для всех, и ij 0для всех при. Важно понимать, то у.ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: ii 0,Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю0и вычислим ее в естественном базисе:линейную комбинацию этих строк: ∑, , , ,...,,11 , 12 ,...,,0, 22 ,..., , , , , , ,...,, …,0,0,..., 0,,,11 ,,,...,rn ,12 ,...,,,,,,...,0,0,0,..., 0,11 ,1222 ,...,,,22 ,...,,...,, ,,...,0,0,..., 0,0,0,..., 0.rn,,,,,,,,...,...,...,,...Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:0, поскольку 11 0,0, поскольку0и 22 0, …,0, поскольку0,0, …,0и rr 0.Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейнозависимы, т.к. линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.Теорема доказана.Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовымисключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (вышедоказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатойматрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только чтодоказанной теореме).Пример.

Вычислим ранг матрицы1211322112683413 10050⇒3403 24 06 28 0210000ступенчатой форме (см. пример в конце предыдущей лекции).311000432, приведенной к000В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.Метрические соотношения в RnОпределение. Если каждой паре векторов ̅ , из пространства Rn поставлено всоответствие действительное число ̅ , , так, что для любых ̅ , , ̅из Rn и любогодействительного числа справедливы следующие равенства:1. ̅ ,, ̅;2.̅,̅, ;3. ̅, ̅̅, ̅, ̅;4. ̅ , ̅ 0,при ̅ 0, ,0, — нулевой вектор,то говорят, что в пространстве Rn определено скалярное произведение ̅ , .Пример.

Легко проверить, что изученное в разделе «аналитическая геометрия»скалярное произведение известное из школьного курса скалярное произведение втрехмерном пространстве геометрических векторов (в R3) является скалярнымпроизведением в определенном выше смысле.Пример. Рассмотрим пространство арифметических векторов R2 ={X=(x1, x2)}.Определим скалярное произведение следующим образом:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2.Легко убедиться, что для определенного таким образом скалярного произведениясправедливы аксиомы 1. — 4.:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2 = 2y1x1 + 3y2x2 = (Y, X),(X, Y) = 2(x1)y1 + 3(x2)y2 = (2y1x1 + 3y2x2) =  (X, Y),(X+Y, Z) = 2(x1+y1)z1 + 3(x2+y2)z2 = (2x1z1 + 3x2z2) + (2y1z1 + 3y2z2) = (X, Z) + (Y, Z),(X, X) = 2x1x1 + 3x2x2 = 2x12 + 3x22 >0 если, если же X = (0, 0), то (X, X) = 0.Вернемся к пространству арифметических векторов Rn = { ̅, ,..., }nОпределим в R естественное скалярное произведение: каждой паре векторов ̅ и из∑этого пространства поставим в соответствие действительное число ̅ ,.Нетрудно доказать, что для любых векторов ̅ , и ̅и любого действительного числа для∑̅,справедливо:1.̅,2., ̅,̅,3.̅4.̅, ̅̅, ,, ̅̅, ̅0при ̅, ̅,̅, и ̅, ̅̅,0тогда и только тогда, когда ̅̅ — нулевой вектор.Пространство арифметических векторов Rn с определенным в нем естественнымскалярным произведением называют евклидовым пространством арифметическихвекторов и иногда обозначают En.Свойства скалярного произведения.

Неравенство Коши-БуняковскогоТеорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов ̅ , из пространства Rn̅, ̅ ⋅ , .справедливо следующее неравенство ̅ ,Доказательство теоремы. Возьмем произвольное число и рассмотрим ̅, ̅.По последнему свойству скалярного произведения для любых векторов ̅ , и любого числасправедливо: ̅, ̅0. С другой стороны, ̅, ̅̅ , ̅ 2α ̅ ,, , т.е. ̅ , ̅ 2α ̅ ,,0.

Выражение в левой части неравенства —квадратный трехчлен относительно . Он неотрицателен тогда и только тогда, когдадискриминант 4 ̅ ,4 , ̅ , ̅ 0. Из последнего неравенства немедленно следуетнеравенство Коши-Буняковского: 4 ̅ ,4 , ̅, ̅, ̅,, ̅ , ̅ . Теорема доказана.Метрические соотношения в RnОпределение. Число ∣ ̅ ∣ √ ̅ , ̅ называется длиной вектора ̅ ; число ∣ ̅— расстоянием между векторами ̅ и ; угол , косинус которого cosмежду векторами ̅ и .Если в Rn скалярное произведение определено формулой ̅ ,̅, ,...,,, ,...,из Rn справедливо:̅,,∣ ̅ ∣,∣∣,cos∑∣∣ ̅ ∣⋅∣ ∣, ̅— углом, то для любых∑∑̅̅,∑Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные базисыОпределение.

Векторы ̅ и из пространства Rn называются ортогональными, если̅,0.Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.Теорема (о линейной независимости ортогональных систем). Ортогональная системавекторов линейно независима.Доказательство теоремы.Предположим противное: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ попарно ортогональны, но они линейнозависимы.

Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть∑это первый вектор:,∑0(ясно, что речь идет о ненулевых∑∑векторах). Тогда ,,,0, для всех j = 2, 3, …, k, т.е.∑0. Полученное противоречие доказывает теорему.Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичнуюдлину.Определение.

Базис пространства Rn называется ортонормированным базисом, еслиобразующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.∑В пространстве Rn в естественном скалярном произведении ̅ ,естественныйбазис — ортонормированный базис..

Характеристики

Список файлов лекций