Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поскольку мы сконструировали ансамбль ортонормированных сигналов (~,(()~, можем выразить М сигналов (44(!)( как линейную комбинацию от (/„'(!)) . Таким образом, можно написать « т!(!) «4';(!) 1 «! «я,(!) ! «Л!) — — — — — — — — — —.— -- — «! 2 3 !о ! .1Г ф А(!) ла ' У4(!4=О -4!гз Рис. 4.2.1. Ортогонализаиия Грима-11)мията для сигналов (я,(!). 4=1, 2, 3 (а) и соответству!ошно ортогональные сигналы (о) 144 (4.2.39) (4.2.40) Основываясь на выражении (4.2.39), каждый сигнал можно представить вектором ва ~~~~ зы ." ~ьч~ (4.2.41) или, что эквивалентно, точкой в М-мерном пространстве сигналов с координатами зь, 1 = 1,2,...
М~; Энергия и-го сигнала равна квадрату длины вектора или, что эквивалентно, квадрату евклидова расстояния от начала координат к точке М-мерного пространства. Таким образом. любой сигнал можно представить геометрически как точку в пространстве сигналов, заданном ортонормированными функциями. Пример 4.2.3. Получим векторное представление четырех сигналов, показанных на рис. 4.2.1(а), используя ортонормальный ансамбль функций нз рнс. 4.2.1(о).
Поскольку размерность пространства сигналов М=3, каткдый сигнал описывается тремя компонентами. Сигнал я,(г) характеризуется вектором з, =(/2,0,0). Аналогично сигналы з,(г), зт(г), зЯ характеризуются соответственно векторами я, = (0,Л,0), в,=(чГ2,0,1), в, =~-ч2,0,1).
Эти векторы показаны на рис.4.2.2. Их длины равны ~Б~~ = ч, ~%„~ = ч, ~я„~ = 'ч 3 ~в,„= /о, а соответствующие энергии сигналов Фз = ь„ /г = 1,2,3,4. г д 4 Л Рис. 4.2.2. Четыре сигнальных вектора„представленных в виде точек в трехмерном функциональном пространстве г!:::г Мы показали, что ансамбль М сигналов с ограниченной энергией можно представить -:::".взвешенной линейной комбинацией ортонормированных функций (у„(г)~ размерностью '--,:''..
М< М. Функции (~,(г)1 получены применением процедуры ортонормализации Грама- ~.'',':,'.'.:..:Шмидта йз (ь;,(г)) . Следует подчеркнуть, что функции ~ ~„(1)), полученные '-; преобразованием Грама — Шмидта, не являются уникальными (единственными). Если мы :: изменим порядок формирования ортонормированных сигналов из (з„(Г)), получим другой :. ортонормированный ансамбль и соответствующее векторное представление сигналов ;:;! . 1г„(1)~ будет зависеть от выбора ортонормальных функций (~ (г)1. Все же, вектора (в„~ :::-::- 10-5б 145 (42.42) энергии сигналов з„,(с) = Ке(зсв(С)е "кь'1, т = 1,2,..., М, где аь„(с) — эквивалентные низкочастотные сигналы. Напомним, что можно выразить через з„,(с) или т„„(с) так: вс(с) ь ' — — — — ьс О 1 О Г1 1 Г:1., г о я ь Яс= С 1.1,-11 — — .в ° 5,' Гс,!.Ос - -- —.-Ь Я с я =(-1,-1.-1) Ь л - ° Яс- (1.-1.о) Ыз Рис.
4.2.3. Альтернатнвный ансамбль ортонормнрова нных функций для четырех сигналов рис. 4.2.1 (а) и соответствуюсцие сигнальные точки (Ь) х„= ~ ьа(с) с(( = ~ Ьи,(с)~ сс) . (4.".43) Похожесть между сигналами любой пары, например ьк,(с) и а,(с) . измеряется коэффициентом взаимной корреляции «„С4 „Ив=я* „1 Сл 'Сов). С4244) 2,Р',;„~„- "" Определим комплексный коэффициент взаимной корреляции р„„так: 146 будут сохранять геометрическую конфигурацию и их длины будут инвариантны по отношению к выбору ортонормированных функций 1л,(с)) . Пример 4.2.4. Альтернативный ансамбль ортонормированных функций для четырех сигналов из рис.
4.2.1 показан на рис. 4.2.3(а). Используя эти функции для представления 1а;,(с)), получаем соответствующие векторы в, =(1,1,0), в, =(1,-1,0), з, = (1,1,-1), в, =(-1,-1, 1), которые'показаны на рис. 42 3(с)), Заметим, что длины векторов идентичны тем, которые получены из прежних ортонормированных функций (~,(г)) . Ортогональные представления, описанные выше, были разработаны для вещественных сигналов. Рассмотрение комплексных сигналов оставлено как упражнение для читателей (ем. задачи 4.6 и 4.7). В заключение рассмотрим случай, когда сигнал является полосовым и представлен в виде 1 р,„ = 1 з„„(т)зя(т)й .
(4.2.45) Тогда Ке ~р„„) = ) я„(т) ц (т) йт, 1 (4.2.46) или, что эквивалентно, (4.2.47) (4.2.49) (4.2.50) 2.42) мо (4.2.51) з„,(т) = х,(г)Я)+ у (т)~,(т), -:.' . где х,(1) н у,(т) представляют модулирующие сигналы. Е СИГНАЛОВ ЦИФРОВОЙ МОДУЛЯЦИИ 4.3. ПРЕДСТАВЛЕНИ 4. ' При передаче цифровой ';. устройством отображения циф :,;: согласованы с характеристи посредством выбора блоков "-; киформационной последова ',",детерминированных сигналов ;, .передачи его по каналу за врем Когда отображение ци фрон "что сигнал, передаваемый на д :;;,.:сигналов, переданных раньше, .~',! если отображение информа '::::;зсуществляется так, что переда :; называют без пгеияти.
информации по каналам связи модулятор является ровой информации в форму аналоговых сигналов, которые ками каналов. Отображение обычно осушествля ется из А = 1оя М двоичных символов из символов тельности (ц„) и выбора одного из М = 2' с ограниченной энергией (ю (!), и = 1,2,..., М), для я передачи к информационных символов.
ой последовательности (а„) в сигнал осуществляется так, вином временном интервале, зависит от одного или более то говорят, что модулятор имеет памятль. С другой стороны, ционной последовательности (а„) в сипталы (ь;„(т)) ваемые сигналы не зависят от ранее переданных модулятор м7 Коэффициенты взаимной корреляции между парами сигналов или сигнальных векторов определяют совокупность параметров, характеризующих похожесть ансамбля сигналов.
Другой родственный параметр — расстояние Евклида Н„;„между парой сигналов— определяется так. 1 Чз с1.',"„ч = !!я„, — я„!! = ~ ~я„,(т) — з„(т)] й~ = (~' +~„-2 /~„'~ йе(р„„,)~ . (4.2.48) Когда 1'„, = 'е, = е для всех я и 1, это выражение упрощается: Н„',"„~ = ! 2г"(1 - й.е(р„„,)]~ Итак, расстояние Евклида является альтернативной мерой похожести (или несходства) совокупности сигналов или соответствующих сигнальных векторов. В следующем разделе мы опишем сигналы цифровой модуляции и используем пространство сигналов для их представления.
Можно заметить, что сигналы цифровой модуляции удобно представить через две ортонормированные базисные функции вида 1,(т)=~1 — ',, соа2ф т, ,гз(т) = — Д: з1п2ф~;г. Если 4;„,(т) выразить как з,„(т)=х,(т)+7у,(т), то следует„что 4;,,(т) в (4. жио вмразитыак: В дополнение к классификации модуляторов на модуляторы с памятью или без памяти мы .их еще классифицируем как линейные или нелинейные. Линейность требует выполнения принципа суперпозиции (наложения) при отобрамсении цифровой информационной последовательности в последовательные сигналы.
При нелинейной модуляции принцип супсрпозиций не применим для сигналов, передаваемых в последовательные временные интервалы. Начнем с описания методов модуляции без памяти. 4.3.1. Методы модуляции без памяти Как сказано выше, модулятор в цифровой системе связи отображает последовательность информационных символов в соответствующую последовательность сигналов. Эти сигналы могут отличаться по амплитуде, по фазе или по частоте или могут зависеть от двух или более сигнальных параметров. Мы рассмотрим каждый из этих видов сигналов отдельно, а начнем с линейной цифровой амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), которую проще называют амплитудной модуляцией (АМ).
Во всех случаях предполагаем, что информационная последовательность символов на входе модулятора является двоичной и появляется со скоростью Я бит/с. Амплитудно-импульснаи модуляция. Цифровой АМ сигнал можно представить так: в„,(1) = йе[А„,д(1)е "Яви|= (4.3.1) = А„,д(1)соз2л~;1, т=1,2,...,М, 0<1< Т, где (А„, 1<т< М~ означает ряд из М возможных амплитуд, соответствующих М=2' возможным 1с-битовым блокам илн символам. Амплитуда сигнала А„, принимает дискретные значения (уровни) А„,=(2т — 1 — М)И, гп=1,2,...,М, (4.3.2) где 2г1 — расстояние между соседними амплитудами сигг!алов.
Сигнал д(1) является вещественным сигнальным импульсом, форма которого определяет спектр передаваемого сигнала, как мы увидим позже. Скорость передачи канальных символов при АМ равна Я/Й. Это скорость, с которой происходят изменения амплитуды гармонической несущей для того, чтобы отразить передачу новой информации. Временной интервал Т„=1/Л называется информационным (битовым) илтврвалом, а временной интервал Т = 1»/Я = ИТ, называется сиивольныл! иитервалол! или интервалолг каи»и!ьного символа. Сигналы АМ имеют энергию Ь;„= )е в„',(1)й =фА,'„~ д'(1)с1! — ФА„',о», (4.3.3) где бя означает энергию импульса д(1) .
о (а) — е — 1--е — ь л! - 2 ОО О! И !О (ь> Я=4 000 ОО ! 011 010, 110 111 ! О ! 100 И +. Ч=8 Рис. 4.3.1. Пространственная диаграмма сигнвнов цифровой АМ (43.13) как линейную комбинацию двух Далее, ФМ сигналы можно представить ортонормированных сигналов уф) и фг),т.е. з„(!) = а«нХ(Г)+а«,а.га(!), Зп«н«нис с«гн««« (л!) !! оо о! оо !о да!ин,!е: ! ! (!) ! о, Рис. 4.3.2.
Базсвы!т Ай1 сигнал (внлсосигнан) (а) и напоенной АМ сигнал !' ) 2г где Дг) = 1 2 й(г)соз2л~,т, (4.3.14) !1 'гя ~;(г) = — ~~ д(г) зги 2гг~2 . !! ка а двухмерные векторы з„, = [а„! з„п| определяются так: -! — ' г~ ' ' — ... М. ' (4.3.16) ' ' / соя ~ ",' зпз иу ! Ю ! ! !. П анственные диаграммы ФМ сигналов для М =2.4иЯ даны парис.4.3.3. ростр (4.3 15) С алы фазовой модуляции При цифровои фазовои (нелинеинои) модуляции М сигналов можно представить в виде З (Г) = !СЕ я(Г) Е'!«!" " '" Еза"А! = я(Г)СОфя У~+ '~„",' О1= ию а«о«-!) д(!) сов.
— т! — соз2п ««г — д(!) згп--'-!т — гйп2к ~;г, на=1,2,...,М, 0<г<Т, где д(г) определяет огибающую сигнала, а О„, =2гг(нг — 1)/М, т=1,2,...,М, определяет М возможных значений фазы несущей, которая переносит передаваемую информацию. Цифровую фазовую модуляц ф ф ляцию (ФМ) называют также модуляцией с фазовым сдвигом (МФС, РЯК). Заметим, что рассматриваемые формы сигналов имеют одинаковую энергию, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
