Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Прилгеаг, что спектральная плотность мощности равна нулю вие интервала часто/. группирующихся около частот +у'„где /,, — чггсгггоггги певун/гпг. Сл1 чайный процесс Л//1 называется уз«оггцг/>сггьгпг нолосоаыы ааучпйиыш прг>г/есег>пг, если ишрпна его полосы г частот Ь/ намного меньше у, С учетом этого условия реализация процесса и(1) может оытг, гй>едставлена в одной нз трех форм, да~~ых в разд. 4.1.1, а именно и(/) =а(/)соз[2л 7,/+О(/)), (4.1.37) и(1) =от(1)соа2л ~/ — у(1)ып2л / /, (4.1.38) гг(1) = гте [=(/) е ' ' ' ), (4.1.39) г-де и(/) — огибающая, а О(1) — фаза вещ~с~ве~ного сныгала, х(/) и у(/) — квадратурные коьшопснты и(/), а:(1) — «оэги/ге«сг/1/я огггба>огг/ая для и(/) .
Рассмотрим более подробно форму, определяемую /4.1.381. Сначала заметим. что если М(1) имеет нулевое среднее, то случайные квадратурпые компоненты Х(/) и У(1) должны также иметь нулевые средние. далее. стационарность Лг(/) подразумсваег.
что автокорреляционные и взаимакорреляционшяе функции Х(/) и 1'(/) обладгног следующими свойствами: ф„(т) =ф„(т), (4.1.40) ф„(т) =-ф„(т). (4П.41) Покажем, что эти два свойства следуют из стационарностн И(/). Автокоррегицноггггая функция ф„„(т) для А/(1) равна ф„„(т).= К~А/(/)А(1+т))= ЕЯХ(/)соа2л /;/-у(/)згг>2 /,/~. х [Х(1+ т) сов 2л 7' (1+ т) — У(1+ т) вгп 2 >т /. (1+ т) ) = (4.1.42) =ф„(т) соз2л /1 соз2лД/+т)+фп(т) ып2л /',/ ып2лу'(1+т)- — ф„(т) ып2л7"„1 соа2л~;(/+т)-ф„(т).соз2л7';1 з1п2л7';(/+т). Используя соотношения ' В более общем случае лостаточно потребовать, нтобьг Ь/ /2 < / /прп) 136 соя А соя В = —,' [соя(А — В) + соя(А+ В)1, яп А яп В = з;[сох(А — В) — сох(А+ В)1, (4.1.43) яп АсоаВ=Яаш(А — В)+яп(А+В)) в (4.1.42), получаем результат Е[М(~)М(г+т)1= ф[ф„.(т)+ф„(т)~соз2л~;т+ + —,' [ф „(т) — ф,„,(т)] соя 2л Д2г+ т)— — —,[ф (т)-ф, (т))яп2л~л--', [ф,,(т)+ф„,,(т)~яп2лД2~+т).
Поскольку М(г) — стационарный процесс, то правая часть (4.1А4) не должна зависеп. оть Но это условие может быть выполнено только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44) сводится к ф, (т) =ф (т)соя2лЯт-ф„(т)ып2л1;,т. (4.1.45) Заметим, что соотношение между автокорреляционной функцией ф,„,(т) полосового процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями ф „(т) и ф „(т) квадратурных компонент имеет форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурныс компоненты. Автокорреляционная функция эквивалентного случайного низкочастотного процесса 2(г) = Х(г)+~ У(г) (4.1.46) (4.1.44) определяется как ф (т) =! Е~г*(г)К( )1. (4.1.47) Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив соответствующие операции, получаем ф.(т) =Ф[ф„,(т)+ф„(т) — 1ф„„(т)+ 1ф,„(т)~.
(4.1.48) Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41), находим соотношение ф (т) = ф„(т)+ уф„(т), (4.1.49) :-.:, которое выражает автокорреляционную функцию комплексной огибшощей через :,::,' автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию квадратурных компонент. В '':.: заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45), имеем ф,„,(т) = Ке(ф„(т)е' "~" ~. (4.1.50) Таким образом автокорреляционная функция ф,„',(т) полосового случайного процесса ',:; ХЦ однозначно определяется автокорреляционной функцией ф (т) эквивалентного ;,', низкочастотного случайного процесса Х(г) и частоты несущей 7', Спектральная плотность мощности Ф„„(7") случайного процесса М(г) определяется преобразованием Фурье ф.(т).
Имеем Ф,„,и = ) (Ке(ф-(т)езз" 4')е '™м Ит =т[Ф-(~-.1,)+Ф-.(-7' — ~;.)~ (4.1.51) где,Ф. И вЂ” спектральная плотность мощности эквивалентного низкочастотного процесса 2(~) . Поскольку автокорреляционная функция У(г) удовлетворяет условию ф..(т) = ф. ( — т), то следует, что Ф .И является вещественной функцией частоты. !37 Свойства квадратурных компонент, Выше было показано, что взаимокорреляционная функция квадратурных компонент Х(1) и у(г) полосового стационарного случайного процесса М(г) удовлетворяет условию симметрии (4.1.41).
Далее, любая взаимокоррсляционная функция удовлетворяетусловию ф (т) =ф, ( — т). (4.1.52) Из этих двух условий заключаем, что ф„(.) =-ф„(- ). (4.1.53) Это означает, что ф„(т) является нечетной функцией т. Следовательно, ф„(0) = 0 и, значит, Х(г) и У(г) не коррелированы при т =О. Конечно, это не означает, что процессы Х(~) и У(г+т) не коррелированы для всех т, поскольку это бы означало, что ф (т) =0 для всех т.
Если в самом деле ф, (т)'=0 для всех т, то ф (т) является вещественной, и спектральная плотность мощности Ф И удовлетворяет условию Ф, И=Ф, (-,г"), (4.1.54) и наоборот. Это означает, что Ф..и симметрична относительно ~ = 0 (четная функция частоты). В частном случае, когда стационарный случайный процесс,Ч(с) гауссовский, квадратурные компоненты Х(г) и У(1+т) совместно гауссовские. Более того, при т--0 они статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности р~х,у)= —,е (" (4.1.55) 2яа' где дисперсия а определяется как о = ф,.„(0) = ф (О) = ф„„(0) .
(4.1.5б) я1п яВт ф,(т)=М> —- кт Предельная форма ф .(т), когда полоса частот В-+ ао, выражается так: ф..(т) = М,б( ). (4.1.57) (4.1.58) 188 Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот.
Этот вид шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие широкополосности процесса. В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне шумов, математически удобно представить аддитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно выполнить„предполагая, что сигнал и шум па приемной стороне прошли через идеальный полосовой фийьтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр может внести пренебрехгимо малые искажения в сигнал, но он исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра.
Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида, показанного на рис.4.1.3. Полосовой белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция эквивалентного белого низкочастотного шума равны соответственно --ь у Рис. 4.1.3. Попосовой шум с равномерным спектром Спектральная плотность мощности белого и полосового белого шума симметрична относительно ~ = О, так что ф„(т) = О для всех т. Следовательно, ф .(т) = ф (т) = ф, (т) . (4.1.59) Это означает, что квадратурные компоненты Х(г) и У(г) не коррелированы при всех временных сдвигах т, а автокорреляционные функции У(Г), Х(г) и У(г) одинаковы.
4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В этом разделе мы продемонстрируем, что сигналы имеют характрристики„которые похожи на векторы, и приведем векторное представление сигналов. Начнем с некоторых базовых определений и концепций для векторов. Скалярное произведение двух и-мерных векторов ч, =- [ч!! ч!г ... ч„,) и чг =(иг! чгг ...
чм1 определяется как и ° "=Х в, (4.2.2) ю ! Два вектора ч, и ч, ортогональны, если ч, ч, = О. В более общем виде совокупность вг векторов ч„1 < /г < и, ортогональна, если ч, ч,=О ;;;';: для всех 1 < г, у' < ог и !' ~ г. Норма вектора ч обозначается 1ч~! и определяетсял М1=( -.)'-= Х г (4.2.4) ! Это просто длина вектора. Ансамбль и векторов называется ортонорагированным, если асе векторы ортоганальны и каждый вектор имеет единичную норму. Совокупность «г ,.; - векторов называется линейно независимой, если ни один векгор не может быть -е =',представлен как линейная комбинация оставшихся векторов.
Два н-мерных вектора ч, и ч, удовлетворяют неравенству треугольника (4.2.3) 139 4,2.1. Концепции векторного пространства Вектор ч в гг-мерном пространстве характеризуется своими н компонентами ч! и! ... ч„~. Его можно также представить как линейную комбинацию единичных векторов или базисных векторов е„1 < ! < и, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
