Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Путем фаь-горизашш % как Ф=РтР покажите, что ля (Х,Х) эквивалентно невзвешеииой СКО как меры искажений Нз(Х~,Х'). содержашен преобразованные векторы Х и Х". 3.38. Рассмотритс стационарную случайную сигнальную последовательность (Л(л)) с нулевым срслшш и автокорреляшюнной функцией П (л=О), ф(л)=(-,' (и=к!), !О (для других л!. а) Определите коэффициенты прелсказания лля предсказателя первого порядка с мишмщзацисй СКО для (Л(л)), заданной посредством соотношения .т(л) = игт(л- 1), и соответствующее значение минимальной СКО г! .
Ь) Повторите (а) для предслазателя второго порядка Ял) = о,х(л - 1) + пзз(л -2) . Э А з! 1, ь 3.39. Рассмотрите кодирование случайных величин Х~ и Ль которые характеризуются СФПВ р(хытз), заданной как 115! 7 Р(тикз) = 4 1О !л д „: ьак показано на рис. Р.339. Вычислите битовую !.з -'„скорость, требуемую при равномерном раздельном квантовании х1 и .т. (скалярное квантование) н комбинированном (векторном) квантовании (ть хз).
Определи:.ге разницу в битовой скорости прн а=46 ь ! лп! !" 3" за !а Рис. Р.З.З9 1 '9 3.40. Рассмотрите кодирование двух случайных величин Х и У, которые имеют равномерное распределение в области между двумя квадратами, как показано на рнс. Р3.40. а) 11аидлте/л(я) иФУ). Ь) Предположите, что каждая из случайных величин Х и У квантуется с использованием четырехуровневого равномерного квантователя.
Каково рсзультируюшее искажение? Каково результируюшее число бит на пару (Х, У)? с) Предположите, что вместо скалярного квантования Л' и У мы используем векторный квантователь для достижения того;ке уровня искажений, как в (Ь).
Каково результнруюшее число битов на выходнуго пару источника (Л; У)? Рис. Р3.40 2 1 х Рнс. Р3.41 130 3.41. Две случайные величины Х и У распределены равномерно в квадрате, показанном па рис. Р3.41. а) Найдите 6(х) ииу). Ь) Предположите, что каждая из случайных величин Х и 1' квантуется посредством четырйхуроаневого равномерного квантователя. Каково результируюшее искажение? Каково результируюшее число бит па пару источника (Х, У)? с) Предположите, что вместо скалярного квантования Хи У мы используем векторный ьвантователь с тем же числом б и на пару источника (Х, У), что в (Ь). Каково результирующее искажение лл» этого векторного кваптователя? ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ СВЯЗИ Сигналы можно характеризовать различными способами, как случайные илн детерминированные, с дискретными либо непрерывными амплитудами низкочастотные или полосовые, с ограниченной или неограниченной энергией, с ограниченной или неограниченной мощностью и т.д.
В этой главе мы рассмотрим характеристики снгььалов и систем, которые обычно встречаются при передаче цифровой информации по каналам связи. В частности, мы введем представление различных форм сигналов прн цифровой модуляции н опишем их спектральные характеристики. Начнем с характеристики полосовых сигналов и систем, включая математические представления полосовых стационарных случайных процессов. Затем мы ознакомимся с векторным представлением сипьалов. Завершим главу представлением сигналов цифровой модуляции и их спектральными характеристиками. 4.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОСОВЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ Многие сигналы, порожденные цифровыми сообщениямн, передаются посредством какого-либо вида модуляции несущей.
Канал, через который передается сигнал, ограничен по полосе интервалом частот, концентрируемых около частоты несущей, как прн двухполосной модуляции, илн в смежной от несущей полосе, как при однополосной :::,;:?:. модуляции. Сигналы и каналы, которые удовлетворяют условиям, что их полоса частот значительно меньше, чем нх несущая, называют узкополоспызт спгпаяаьип п кипопаьип.
Модуляция, осуществляемая на передающей стороне системы связи для создания полосового сигььала, и демодуляция, осуществляемая на приемной стороне, чтобы выделить цифровую информацию, предполагают преобразование частоты, Без потери общности и для математического удобства желательно представить все полосовые сигналы и каналы эквивалентными низкочастотными сигналами и каналами.
Как следствие, качественные результаты различной техники модуляции и демодуляции, представленные в последующих главах, не зависят от частоты несущей и полосы частот канала. Представление полосовых сигналов н систем через эквивалентныс низкочастотные формы и описания полосовых стационарных случайных процессов являются основными предметами этого раздела. 4.1 1.
Представление полосовых сигналов Предьюложим, что вещественный сигнал з(г) имеет частоты, концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты ~;„как показано на рис. 4.1.1. Наша цель -дать математическое представление таких сигналов. Сначала мы сконструируем сигнал, который содержит только положительные частоты из ф). Такой сигнал можно выразить как ЯА~) = 2и~~)ф'), (4.1.1) где Я,(~) — преобразование Фурье Г~з(г)1 от з(ь), а п(~) — единичная ступенчатая функция.
Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области ьзь ) Я,Яе"""ф — г '[2и(/))' / '[о(у)). (4.1.2) алплитичеслим сигналом для з(/) . Заметим, (4.1.3) -Х о Х Рнс. 4.!.!. Спектр полосового сигнала з,(/) = Сигнал я (!) называется то~ '[5(~)~=к(/) и /г ' [2и(у )) = о(/) +— Следовательно, (4.1.4) Определим 1 1 г з(т) ае(/) = — з(/) = — ) — Ь .
(4.1.5) к / — т Сигнал ат(/) можно рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой 1 /!(/)= —, — </< о, (4.1.б) и/ при подаче на вход сигнала з(/) . Такой фильтр называют преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень проста: (4.1.7) — /' (/ >0), Н(Х) = Г /!(!)е"""а = ! Г 1е'а"аж = О (Х = 0), (/ <о). Заметим, что ~НЯ = 1 при / ~ 0 и что фазовая характеристика ( — п/2 для / >О, ()-1,„/2 .„Х,, (4.1.8) Эквивалентное соотношение во временной. области а;(/) — з,(/) е ""~' = [з(!)+/'а(/)~е """, з(/)+уз(/)= л!(/) е"-"'.
(4.1.9) или, что эквивалентно, (4.1.10) !32 Следовательно, этот фильтр по существу — фазовращатель на 90' для всех частот входного сигнала. Аналитический сигнал л,(/) является полосовым сигналом. Мы можем получить эквивалентное низкочастотное представление, выполнив частотное преобразование Я (~'). Определим Я,(/) так: где .и=~еы'7ы.
0(г) = агсгй — —. 3(1) (4.1.16) (4.1.17) Тогда з,(г) = Ке[з,(г) е' 'д'] = Бе~а(Г) е'( "~'"ИЦ = (4.1.1 8) = а(г) соз[2л 7'„7+0(1)]. Сигнал а(~) называют (вещественной) огибающей з(г), а 0(г) называют фазой з(г). Таким образом, (4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых сигналов. Преобразование Фурье з(1) ф) = [ з(г) е '3"япг = ) [Ве[з,(г) е"'~']]е ""~'сй. (4.1.19) Если использовать равенство к (~) = ф+~*) (4.1.20) в (4.1.19), то следует о(7)= —,[ [з,(е)е' " +з,*(г)е ' Л]е ' ж= (4.1.21) =--,'~ж(~-Л).5; (-~-Л)1.
где Я,(7) — преобразование Фурье от з,(г). Это базовое соотношение между спектром действительного полосового сигнала ЯЯ и спектром эквивалентного низкочастотного сигнала ЯЩ Энергия вещественного сигнала ь(г) определяется так: 6= [ з'(г)ж= [ Яз(г)е' "~']] й. (4.1.22) 133 В общем случае сигнал Я,(~) комплексный (см. задачу 4.5)„и его можно выразить так: з,(г) =.
х(г)+ 1у(г) . (4.1.1 1) Если мы подставим з,(г) в (4.1.10) и приравняем вещественные и мнимые части с каждой стороны, получим соотношения з(Г) = х(Г) соз2л~;à — у(Г) яп2л1;Г, (4.1.12) Я(г) = х(г) яп 2ф;г+ у(г) соз2ф;г. (4.1.13) Выражение (4.1.12) — экелательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные сигнальные компоненты х(1) и у(Г) можно рассматривать как сигналы, модулирующие по амплитуде соответственно несущие соз2ф,.г и яп2л~'„~ . Поскольку эти несущие находятся в квадратуре (сдвинугы по фазе на 90'), х(г)и у(г) называют «еадратурлы.ин ко.нполентами полосового сигнала з(г) .
Другое представление для сигнала (4.1.12) такое. з(1) = не[[х(Г)+ у у(г)]е' ' ~ = Ке[з(Г) е'3"'е]„(4,1,14) где Ке означает вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал з,(~) обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала з(г) .
Она является по существу эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма представления полосового сигнала получается, если представить я,(Р) = а (Е) е~ ~', (4.1.1 5) «сь[4хф~.зой)1 Рис. 4.1.2. Сигнал а-'(г) ссь(4я1;с+26Щ Поскольку модулирующий сигнал а Я меняется медленно по сравнению с косинусной функцией, площадь, определяемая вторым интегралом, очень мала по сравнению с величиной первого интеграла в 4.1.23 и слсзовател д в .ельно, вторым интегралом можно пренебречь. Таким образом для всех практических п"иложен й У р ложений энергия полосового сигнала з(г), выразкенная через эквивалентный низкочастотный сигнал з;(Г), равна Ж=--,' ~ ~з,(г)~ й.
(4.1.24) где ~з(~)~ является огибающей а(г) для сигнала з(~) . 4.1.2. Представление линейных полосовых систем Линейный фильтр (линейная система) может быть описан или своей импульсной характеристикой Ь(г)„или своей частотной характеристикой НИ, , которая является преобразованием Фурье от Ь(г) . Поскольку й(~) вещественно, то Н~( — ~)= НЯ. (4.1.25) Определим ~ 1НИ (~>~), (о (~ <о). (4.1.2б) Тогда Используя (4.1.25), получаем соотношение НЯ= Н,(~-~')+Н, (-~-~), (4.1.27) (4.1.2а) 334 Если равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат 5= — ~ ~ь;(г)~ суг+ — )~ ~з,(г)~ соя(4ф'~+20(г))сй.
(4.1.23) Рассмотрим второй интеграл в (4.1.23). Поскольку сигнал 4(~) узкополосный, то вещественная огиба|ощая" -а(г) = ~з (г)~ или что эквивалент ю, (11 — ~,' '~ эквивалентно аз~1~ — ~з,~г" меняется медленно по сравнению с быстрыми изменениями функции кос, Г синуса. ра'ическая иллюстрация подынтегрального выражения во втором интеграле (4,1.21) дана на рис. 4.1.2. Величина этого интеграла равна площади под косинусной функцие еи, промодулированной сигналом а (г).
Комбинация (4,1.36) и (4,1.30) дает отношение между выходом паласовой системы г (/) и зквнвалснтьгымп низкочастотными функциямн хг(/) и /гг(/). это простое отношснле позволяет пам не уюггывать произвольные линейные преобразования часгог, которые встречаются при модуляции сигнала с целью смещения его спектра в частотной области конкретного канала. Следовательно, для математического удобства будем иметь дело только с передачей эквивалентных низкочастотных сигналов через эквнвалсптныс шгзко ьзстотныс капальг.
4.1.4. Представление полосовых случайных процессов Представление полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касается детерминированных сигналов. В этом разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случаиных процессов. В часгности„получим важные отношения между корреляционной функцией н спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией н спек>ральной плотностью мощности эквивалентного гшзкочастотного сигнала. Предположим, что и(/) является реализацией с>пщионарного в широком смыс;гс сггучаГгггого процесса М(1) с нулевыхг средним и спектральной плотностью агощггостгг Ф„„и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
