Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Е ч= 1 ч,ег, (4.2.1) г ! где, по определению, единичнмй вектор имеет единичную длину, а ч! является проекцией .:::..;:. - вектора ч на единичный вектор е,. !!ч ч!!-!!', ° !ч ' 14.2.б) а !киги!ство имссг меси!, если ч, и ч, имскм огцпякопос иаирпв.!свис.
!.с. ч! — си,. !.!с и является положитсльиым ве!цествепиыл! скаляром. 11з исравсвс!ва грсу!ильинка сдсдусг неравенство Коши-! Пварца !ч ' !-!!'!! ч ! (4"-б) с рапсиствол!. если ч, =«ч.. Квадрат нормы с)ммы двум векторов л!ож!ю вырази!ь.шк: ! !!ч!+чв~ = ч,! и !ч. +2ч!.ч,. (4.2.?) 1:.с ш ч! и че ор!о!.опальпы. тогда ч, ч, = О и. следовательно. !!ч, + ч„! — ъ !! +!!ч,!! .
(4 2 3) Эго соогиошспие Пифагора для двук ортогопальпык и-мериык векторов. 1!апомиим из а:и сбры матриц. что линейное преобразовгише в и-мерном векторном п рос гр;шстис яв.!котся матр1пи!ым п!эсобр!!зоваиием в!ила ч'=Ач, (!2!)) где и!прпца А преобразует вектор ч в некоторый вектор ч'. В сисппа:пином слъ !!!и. ког;!!! ч, (4.2.1 1) !!ч,!; Затем можем выбрать ч. и получить проекцию ч. иа и1. Образуем вектор П, =Ч, -!Чв И!)И!. Далее иормируем вектор п„к едии!ии!ой длине. Это дает (4.2.12) (4.2.1 3) и,= —, ! !'!! Процедура продолжается выбором вектора чв и образованием проекции ч, па.п,. Такал! образом получаем -.="-(в ).-~','!' (4.2.
! 4) Затем образуется ортогоиальиьш вектор и,: ' !!!! (4 2 !5) Продолжая эту процедуру, можем образовать ансамбль из и, ортоиормироваииык векторов, где в обгцем !!! < !1.Если и < !1, то и! < иг, а если гл > п, то и! < л. Можно показать, что неравенство (42.6) переловит в равенство не только ири иоложгнсльиык, ио и ири о!риивте!!ьных а(прп1 ч' -- /.ч. т.с. Лч = Хч. (4..10) 1-!и Х вЂ” иекото)эый (положителы1ый или от!эицателы!ый) ска!!яр, ве!стор л !газывастся собс!вепиым вскторол! преобразования, а Х является соответствующим собственным 3!пи!спием. В конце рассл!отрим процедуру Грал!а — П!мидга зпгя образования ансамбля орго1юрмировапшяк векторов из ряда а-мсриык векторов ч„! -1 .и.
Мы личипасм --,)-':; ныоором произвольного вектора ряда. скажем ч, !'1утем нормировки его д;шпы получасы первый вектор ансамбля 4.2.2. Концепция нрпс!'ране!'!5а сц!'ив.пп! Как и сл> гас иск!оров. мы можем происс!и пири 5лс:пшос риссмотрсш5с ряди сипи!с!О!!.
1! опрс,!Слсш5ык пи пскогором шпсрвалс [сс./51 . Ока!!5!!зпос прои!!зсг!сппс,!вук. в Общем с.5ук!ас комплскспык сип5алов х!(1) и х5(/) Обоз!Сакгасгс5! (х!(/),х5(У)/ и Опрсделяегся как (.,(!), хз(!)> = К х!(!) х,(/) / . (4.2. 6) Ош5пшы оргого5щльпы. если пк ска.5ярпос пропзвс,1сппс равпо ну!по. 1!орма сигпала !5ир!.';И:.!я!. ГС5! ! к!К: 1И!--(!,'! И!! к) (42.17) !!.,(!)+ хе(4.3~.-,(!)~~+ ~!.
5(!)1!. а неравенство Коши-1ХЕварца выражается подобно (4.2.б): $!';И в! к к$!'!.,! !Гй/ !~'$',в!! к$ (4.2. ! 8) (4.2.19) ПРПЧСМ РаВЕПСтВО ПМССт МЕСТО. ССЛИ ХЗ(/) к Е5Х!(/), ГДЕ и — ПРОИЗВОЛЬПОЕ КОМПЛЕКСПОС Ч5!С.!О. 4.2.3. Ортогона чьнос разложение сигналов В агом разделе мы озпакомимся с вскгорпь!м представлением сигналов и каким образом продемонстрируем эквивалситпость между сигналами и пк векториыии представлениями.
к Предположим. что х!!)! является детерминированным вещественным сигналом с ограниченной энергией ~', = ~ ~З(/)~З-г/5< О, !'4.2.201 Далее, предположим, что сущесз вусг аискал5бль функций ( /;,(/), и = 1,2, „,, М ~, козорый ортоиормировац в том смысле, что !" ЛВ!5„В!а =~ ' !!дал Мы можем аппроксимировать сигнал з(!) при помощи взвешенной линейной комбшпщни этик функций, т.е. з(/) = > х! /„(/), 14 2 55) к=! !де Ь5, 1 < /с < К! — коэффициенты в аппроксимации з(/) . Ошибка аппроксимации Е(/) = Х(/) -Зз(/). 14.2.23) Выберем коэ!!и)5ициеиты (х!.~ так, чтобы минимизировать энергию !", ошибки ,5ППРОКСПа5каЦИИ. ИМЕЕМ Автор в далм5еГ!шея! отождествляет 5птгервал и отрезок (прп) 141 Лпсак5б55ь и! Сп!.палов называется ортоиормированпь5м, если все сил!алы попарно орго5опальпы.
а пк нормы раины 1. Сигналы липсйпо псзависимы, если пи один спп5ал пс 5п,!ражие!ел как линейная комбинация осгальпык си! нилов. Неравенсгво треугольшгка для .!в! х сп!.и!сии! выргпкисгся 5юдобпо (4.2.5): (4.2.24) К я =) ~я~)-г)ю))'и = С[й)-~,як)~'я. Оптимальные коэффициенты (я„~ в представлении з(1) рядом можно найти путем (4.2.27) (4.2.29) Пример 4,2.1.
Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал з(1) с ограниченной энергией, который равен нулю везде, кроме области 0 < 1 < Т, и имеет ограниченное число разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье: 2гй1 . 2~йй з(1) =~~ а,сод +Ь„яп ), я ) (4.2.30) 3 где коэффициенты (а„Ь„~, которые минимизируют средний квадрат ошибки-, определяются выражениями " Для непрерывных сигналов (как в примере 4З.1) зто возможно, только если К не ограничено. Только тогда ортонормнроввнный внсвмбль является полным, а представление (4.229) называется обобщенным рядам Фурье (прп). При конечном числе членов ряда (прп). )42 дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые производные нулю. В качестве альтернативы можем использовать хорошо известный результат из теории оценок, основанный на критерии минимума среднего квадрата ошибки оценивания, который гласит, что минимум сГ, по д, достигается тогда, когда ошибка ортогональна к каждой из функций ряда, т.е.
л в)-~ г~ю)~гь)в=0, =32,...,К. (4.2.25) ь-! Поскольку функции (1,',(1)) ортонормированы, из 4.2.25 следует я„= ) я(1) у„(1)а1, и = ),2,...,К, (4.2.26): 1) Таким образом, коэффициенты получаются как проекции сигнала з(1) на каждую из $-- функций (/„(1)(. Как следствие, Я(1) является проекцией д(1) в К-мерном пространстве сигналов, заданном функциями (у„(1)).
иногда говорят, что пространство натянуто на функции (/„(1)) . Минимальное значение среднего квадрата ошибки аппроксимации равно К я ) Ь;;„= [ е(1)д(1)Ж= [ [з(1)] с/( — [ ~~) вп1;(1)з(1)й=6 — > т„', )-) )-1 и оно не отрицательно по определению. Когда средний квадрат ошибки г';„ы:= О, то к В=,') я)= [ [(1)~зж. (4.2.28) Прн условии, что 6„„= О, сигнал з(1) мо)кно выразить так: з(1) = ~,д, ~„(1). А ) Равенство з(1) правой части (4.2.20) понимается в том смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию. Если каждый сигнал с ограниченной энергией можно представить рядом (4.2.29) при 6 „, = О, совокупность ортонормировапных функций (~,(1)~ называют полной'. 1 т 2ккг а, = — ~ ф)соз й, ./Т (4.231) Ь, =='~' (~)з)лР'"ж.
Ансамбль ортонормированных тригонометрических функций ) ДТсоз2п7г Г(~Т, ДТ ип2пх!~Т) является полным, и, следовательно, ряд (4.2.30) обеспечивает нулевой средний квадрат ошибки. Эти свойства легко устанавливаются из проведенного выше рассмотрения. Процедура Грама-Шмидта. Теперь предположим, что мы имеем ансамбль сигналов с ограниченной энергией (я,(т), 1= 1,2,... М~, и хотим сконструировать ансамбль ортонормированных сигналов.
Процедура ортонормирования Грэма-Шмидта позволяет нам сконструировать такой ансамбль. Начнем с первого сигнала з, (~), причем .. предполагается, что он имеет энергию й',. Первый сигнал ортонормированного ансамбля конструируется легко й~)= '~;— ~,6) (42.32) Ф Таким образом, сигнал Л(() имеет форму з,(1), но нормирован к единичной энергии. Второй сигнал конструируется из х,(1), причем сначала вычисляется проекция зз(~) на У(~): с„= ) з,(г)~;(~)й. (4.2.33) Затем сц Д1) вычитается из ь;(Г) для получения Л (~) = ' (~) — ' Х(~) (4.2.34) Этот сигнал ортогонален 7,(1), но не имеет единичной энергии. Если Ж, означает У энергию для ~, (Г) „то нормированный сигнал, который ортогонален к Д~), равен Хз(~)= ~,— . Л (г) (4.2.35) Ф2 В общем, ортогонализация к-й функции ведет к ' л()= —, Л (г) д /; (4.2.36) А-! ~„Я = з„Я -"~.,са Д~) (4.2.37) и 143 с„= ) 4Я~)Я)й, 1=1,2,...,lс-1.
(4.2.38) Таким образом, процесс ортогонализации продолжается, пока все М сигналов не исчерпаны и не образованы М ь М ортонормированных сигналов. Размерность М-сиг:,.:':: нального пространства равна М, если исходные сигналы ансамбля линейно независимы, -;,-::;: т.е. ни один из сигналов не является линейной комбинацией других сигналов. Пример 4.2.2. Применим процедуру Грама-Шмидта к ансамблю четырех сигналов, показанных па рис. 4.2.1(а). Сигнал з!(г) имеет энергию гл! =2, так что уг!(!) =Да,(!). Далее мы видим, что с„= О; следовательно, за(!) и ~;(!) ортогональны.
Как следствие, А(!) =за(()/ I~,=Да;((). Чтобы получить А(!), вычислим си и с„, которые равны сп=Л и с, =О. Таким образом, ! — ! (2<(<3), У 4 Поскольку ~;(!) имеет единичную энергию, то следует, что ф!)=~,(!). Для определения у4(!) находим, что сы = — ~Г2, с, = О и с„= 1. Поэтому А4 (()= 44(!)+.Г2Я) — 1,(!) = О. Как следствие, з4(!) является линейной комбинацией Д!) и ~,(!) и поэтому ~,(!) =О. Три ортонормированные функции показаны на рис. 4.2.1(Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
