Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если T -периодическая функция f (t) непрерывна вместе со своими производными до (m − 1)-го порядка, а ее производнаяm-го порядка удовлетворяет условиям Дирихле, то порядок убывания1|an | , |bn| не ниже чем m+1 , т. е. существует C > 0, такое, чтоnCC|bn | 6 m+1 ,n ∈ N.|an | 6 m+1 ,nnЕсли же при этом производная порядка m разрывна, то порядок убы1вания |an | , |bn | и не выше чем m+1 , т. е.n11an = O,bn = O.nm+1nm+1Пусть ряд Фурье T -периодической функции имеет вид (88), тогда правая часть тождества Бесселя (76) имеет видnX2f (t)2 −c2k · gk (t) =k=1ZT0nT X 2a20T−Ak .f (t) dt −422k=1Относительная среднеквадратичная ошибка ∇2n может быть записаначерез амплитуду отдельных гармоник:2∇n1=TZT0na201 X 2f (t) dt −−Ak .422(91)k=1Равенство Парсеваля (79) имеет видZT0∞a20T X 2f (t) dt −T =Ak .422(92)k=1Теорема 41. Энергия спектра может быть найдена по формуле∞T X 2E=Ak .2k=169Действительно, энергия отдельной гармоники Ak cos(kωt − ϕk ) за время T будетEk =ZT0A2k cos2(kωt − ϕk ) dt =A2k=2ZT0[1 + cos(2kωt − ϕk )] dt = A2kT.2Равенство (92) позволяет записать энергию в видеE=ZT0a20f (t) dt −T.42Оценить долю k-й гармоники в общей энергии спектра можно по формулеA2k · T2A2kEk= T≡.(93)Ek =TZZE2a20a2022f (t) dt −Tf (t) dt −4T200Пример 60.
Дадим пример решения задачи типового расчета дляфункции с периодом T = 2t, 0 < t 6 1,f (t) =1, 1 < t 6 2.Замечание 27. Условия задач смотри в прил. А на стр. 90.Решение. График заданной функции выглядит следующим образом1. Запишем ряд Фурье для функции f (t), используя формулы (83),(84).a0 =Z0−1dt +Z100t2t dt = t +2−1701 = 3;20ak =Z0cos kπt dt +−1(−1)k − 1=t cos kπt dt =(kπ)20 0,k = 2n,2, k = 2n − 1;(kπ)2Z0Z11=sin kπt dt + t sin kπt dt = −.kπ=bkZ1−−10Ряд Фурье для заданной функции имеет вид∞3 X (−1)k − 11coskπt−sin kπt.f (t) ∼ +4(kπ)2kπk=12.
По теореме 36 сумма ряда Фурье для функции f (t) имеет видпри 0 < t 6 1, tS(t) =1при 1 < t < 2,0,5при t = 0, t = 2.График S(t) показан на рисунке3. Построимq амплитудный спектр. Амплитуда вычисляется по формуле Ak = a2k + b2k . Результаты представлены в табл. 1.Амплитудный спектрakbkAkπ−0,2026−0,31830,37732π0,0−0,15920,15923π−0,0226−0,10610,10854π0,0−0,07960,07965π−0,0081−0,06360,0642Таблица 16π0,0−0,05310,05317π−0,0041−0,04550,04574.
Определим число гармоник, содержащих не менее 90 % энергии.Воспользуемся формулой (93). Напомним, что у нас T = 2.E1A21 · 100 %(0,3773)2 · 100 %=≈ 1≈ZZ2ZT22312at2 dt + dt −·f 2 (t) dt − 02 2T200711(0,3773)2· 100 % ≈ 68,36 %.≈0,2083Аналогично вычисляя, получимE2 ≈ 12,16 %;E5 ≈ 1,98 %;E3 ≈ 5,65 %;E6 ≈ 1,35 %;E4 ≈ 3,04 %;E7 ≈ 1,00 %.Первые пять гармоник в сумме дают 91,19 % энергии, что удовлетворяет поставленной задаче (четыре гармоники дают 89,21 % энергии).5.
Построим графики заданной функции, суммы первых пяти гармоник и квадрата отклонений частичной суммы от заданной функции.Информация для построения приведена в табл. 2.Таблица 2Частичная сумма пяти первых гармоники квадрат отклоненийtS5 (t)[f (t) − S5 (t)]2tS5 (t)[f (t) − S5 (t)]2tS5 (t)[f (t) − S5 (t)]20,00,51670,26700,70,72550,00061,41,02490,00060,10,12690,00070,80,80900,00011,51,02580,00070,20,11500,00720,90,87750,00051,60,95580,00190,30,32110,00041,00,98330,00031,70,98370,00030,40,43930,00151,11,03450,00121,81,08740,00760,50,47420,00071,20,98860,00011,90,96110,00150,60,57990,00041,30,96970,00102,00,51670,2335На рис.
4 приведены графики f (t), частичной суммы S5 (t), а такжеквадрата отклонения [f (t) − S5(t)]2 . Последних два графика построеныпо данным табл. 2.Рис. 46. Относительную среднеквадратичную ошибку при n = 5 вычисляем72по формуле (91)2∇51=TZT05a201 X 2f (t) dt −−Ak ≈ 0,0092.422k=1Эффект ГиббсаРассмотрим одну интересную особенность частичных сумм ряда Фурье для функций, имеющих разрывы первого рода.Пример 61.
Оценить вкладпервых трех, отличных о нуля гармоник, для функции f (t) = t, t ∈ [−1, 1] периода T = 2.Запишем ряд Фурье для этой функции:1411t ∼ −cos πt + cos 3πt + . . . +cos(2n − 1)πt + . . . .2π29(n − 1)2Вычислив вклад первых трех гармоник по формуле (93), будем иметьE1 ≈ 98,55 %, E2 ≈ 1,27 %, E3 ≈ 0,16 %.Вывод: E1 + E2 + E3 ≈ 99,98 %.Этот результат был предопределен, поскольку, во-первых, коэффици2енты ak = O 1 / k , во-вторых, заданная функция удовлетворяетусловиямтеоремыВейерштрасса, что обеспечивает равномернуюсходимость ряда Фурье к f (t).Построим графики заданной функции и S3(t).
Отклонение графика S3(t)от графика f (t) не превосходит некоторой достаточно малой величины наРис. 5всем промежуткезадания. Как видно на рис. 5, графики практически сливаются и отклонения заметны только вблизи точек t = 0 и t = ±1.Пример 62. Оценить долю первых трех отличных о нуля гармоникдля функции периода T = 2π, заданной как1, 0 < t 6 π ,f (t) =−1, π < t 6 2π .Запишем ряд Фурье для этой функции:4sin 3t sin 5tsin(2n − 1)tf (t) ∼sin t +++...++ ...
.π352n − 173Этот ряд сходится к f (t) поточечно, поскольку удовлетворяет на отрезке [0, 2π] условиям Дирихле и коэффициенты bk = O ( 1 / k ). Вычислив вклад первых трех гармоник по формуле (93), будем иметь E1 ≈81,06 %, E2 ≈ 9,01 %, E3 ≈ 3,24 %.Вывод: E1 + E2 + E3 ≈ 93 %.Сравнивая выводы в примерах 61 и 62, видим, что первые три отличные от нуля гармоники впримере 61 описывают функцию лучше, чем в примере 62.Это наглядно показываетрис. 6, на котором изображены график функции f (t) играфик суммы ее первых трехРис. 6гармоник на отрезке [0, π].Исследуем частичную сумму4sin 3t sin 5tsin(2n − 1)tSn (t) =sin t +++ ...+.π352n − 1Найдем точки экстремума этой функции.4[cos t + cos 3t + cos 5t + .
. . + cos(2n − 1)t] .πИспользуем формулуS = cos a + cos a + d + cos a + 2d + . . . + cos a + (n − 1)d =sin nd(n − 1) d2·= cos a +.2sin d2Sn′ (t) =Положив в последней формуле a = t, d = 2t, получимSn′ (t) =4 cos nt · sin nt2 sin 2nt·= ·,πsin tπsin tследовательно,2Sn (t) =πZt0sin 2nτdτ .sin τЭкстремумы функции Sn (t) определяются равенствами sin 2nx = 0,поэтому на отрезке [0, π/2] имеем n экстремальных точекtk =kπ,2nk = 1, 2, . . .
, n .74Найдем первый максимум.2Sn (t1 ) =ππ/2nZ0sin 2nτ2dτ =sin τπZπsin ydy ,2n sin(y/2n)0где y = 2nτ новая переменная интегрирования.Пусть теперь n сколь угодно велико. Тогда sin(y/2n) ∼ y/2n и мыимеемZπZπ2sin y2sin y2Sn (t1) =dy ≈dy = si π ≈ 1,179 .π2n sin(y/2n)πyπ00Видим, что это значениебольше 1. Этот эффект и былзамечен Д. Гиббсом. Он означает, что при сколь угодно большом n в случае функции с разрывами 1-го рода Sn (t) можетне уклоняться от f (t) на скольРис. 7угодно малую величину.В разобранном примере уклонение составляет величину порядка 18 %.Возникший при n = 1 максимум отклонения практически не уменьшается с ростом n, лишь только точка, в которой этот максимум достигается, приближается к точке разрыва. Отметим, что этот эффект являетсяследствием отсутствия равномерной сходимости.
Рисунок 7, на которомприведены графики частичных сумм при n = 1, 3, 7, 15, иллюстрируетэто явление графически.Задачи для самостоятельного решения72. Вывести формулы (81–84) для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда Фурье.Указание. Применить формулы (75) для тригонометрических систем.73. Вывести формулы (90) для коэффициентов cn ряда Фурье в комплексной форме. Доказать, чтоcn + c−n = an , cn − c−n = bn i, cn =an + bn ian − bn i, c−n =, n ∈ N,22где an , bn коэффициенты (83), (84) ряда Фурье в вещественной форме.Указание. Применить формулы Эйлера (12), (13).7574.
Удовлетворяют ли условиям теоремы Дирихле о почленной сходимости функции:a) f (t) = sin1, t ∈ (−π, π];tb) f (t) =75. Показать, что если f (t) (t ∈ (−l, l])и ряд Фурье имеет вид1,1−tt ∈ (−2, 2] ?четная функция, то bn = 0,∞Xa0nπt+an cos.f (t) ∼2ln=1Коэффициенты an при этом можно вычислять по формулам2a0 =lZl2f (t) dt, an =l0Zlf (t) cosnπtdt, n = 1, 2, 3, . . . .l0Если же f (t) нечетная функция, то an = 0 (n = 0, 1, 2, 3, .
. .) , иряд Фурье имеет вид∞Xnπtf (t) ∼bn sin,ln=1где коэффициенты bn можно вычислять по формуламbn =2lZlf (t) sinnπtdt, n = 1, 2, 3, . . . .l076. Указать, выяснив по приведенным графикам дифференциальныесвойства функций, скорость сходимости коэффициентов an , bn рядов Фурье этих функций.a)b)c)76d)Занятие № 15Интеграл ФурьеРяд Фурье дает возможность представить периодическую функциюкак суперпозицию гармонических колебаний.
Если функция, заданнаяна всей числовой оси, не является периодической, то такое представлениетакже возможно, но только не в виде ряда, а в виде интеграла.Пусть f (x) функция, заданная на всей числовой оси. Предположим,что на каждом конечном интервале она удовлетворяет условиям, обеспечивающим ее разложение в ряд Фурье, при этом эта функция абсолютноинтегрируема, то естьZ∞f (x) dx < +∞.(94)−∞Рассмотрим разложение этой функции в ряд Фурье на отрезке (−l, l]∞a0 Xkπkπf (x) =+ak cosx + bk sinx.2llk=1Подставив выражения для коэффициентов ak , bk , найденные из формул (83), (84), в это разложение, получим1f (x) =2lZlf (t) dt +−lZlZl∞X1kπxkπt1kπxkπt+f (t) coscosdt +f (t) sinsindtllllllk=1илиf (x) =−l12lZl−l−lf (t) dt +l∞ Z1 Xkπxkπtkπxkπt+f (t) coscos+ sinsindt =lllllk=1 −l1=2lZl−llZ∞1 Xπkπf (t) dt +f (t) cos (t − x) dt .πllk=1−lПерейдем теперь в этом равенстве к пределу при l → ∞. В силу (94)первое слагаемое стремится к нулю. Второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму, распространенную на промежуток [0, ∞)77kππпри λk =и ∆λ = .
Таким образом, после предельного переходаllбудем иметьZ∞ Z∞1dλf (t) cos λ(t − x) dt .(95)f (x) =π−∞0Это и есть искомое представление. Если воспользоваться формулойcos λ(t − x) = cos λt cos λx + sin λt sin λxи ввести обозначенияZ∞1a(λ) =f (t) cos λt dt ,πb(λ) =−∞1πZ∞f (t) sin λt dt ,−∞то это представление можно записать в виде, аналогичном ряду Фурьеf (x) =Z∞[a(λ) cos λx + b(λ) sin λx] dλ .(96)0Пример 63. Представить интегралом Фурье функциюf (x) = e−a|x| ,a > 0.Решение.
Так как f (x) четная функция, то b(λ) = 0, a(λ) можносчитать по упрощенной формуле2a(λ) =πZ∞e−at cos λt dt =0Таким образом,e−a|x| =Z∞02a.π(a2 + λ2)2a cos λxdλ .π(a2 + λ2)Замечание 28. Последнее представление может быть обращено, тоесть его можно рассматривать как способ вычисления несобственногоинтеграла:Z∞cos λxπe−a|x|dλ=(a > 0) .a2 + λ22a078Выведем комплексную форму интеграла Фурье.В представлении (95) внутрення функция является четной относительно λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
