Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В результате уравнениеразобьется на два:T ′ + a2 λ2T = 0, общее решение T = Ce−aиλ t2 2X ′′ + λ2 X = 0, общее решение X = A cos λx + B sin λx .Краевые условия переходят для этого случая в X(0) = X(l) = 0,откуда получаем A = 0, λl = nπ, n ∈ N и λ может принимать толькоследующие значенияλ1 =π2πnπ, λ2 =, . . . , λn =, ...lllЕсли ввести обозначения Bn = BC, то получим последовательность2 2решений un(x, t) = Bn e−a λn t sin λn x, n ∈ N.Общее решение будем искать в виде рядаu(x, t) =∞Xun(x, t) =n=1∞XBn e−a2 2λn tsin λn x .n=1Коэффициенты Bn найдем из начальных условий:u(x, 0) =∞XBn sinn=186nπx= f (x) .lЕсли заданная функция f (x) удовлетворяет условиям сходимости ряда Фурье, то, продолжив ее нечетным образом на интервал (−l, l], получимZlnπx2f (x) sindx .Bn =ll0Пример 67.
Предположим, что концы стержня теплоизолированы,то есть надо решить уравнение (111) при начальных условияхu(x, 0) = f (x),06x6lи краевых условиях∂u(0, t)∂u(l, t)== 0, 0 6 t < ∞ .∂x∂xРешение. Решаем, как и в предыдущем случае, методом Фурье. Решение следует решению примера 66 до нахождения собственных значений λ. В нашем случае имеем:X(x) = A cos λx + B sin λx при условиях X ′ (0) = X ′ (l) = 0 .Так какX ′ (x) = −λA sin λx + λB cos λx,то B = 0 и −λ sin λl = 0, откуда следует, что λ = 0 и λl = nπ, n ∈ N.Таким образом, λ может принимать только следующие значенияπ2πnπλ0 = 0, λ1 = , λ2 =, . .
. , λn =, ...lllИмеем набор частных решенийA02 2u0 (x, t) =и un (x, t) = An e−a λn t cos λn x, n ∈ N.2Общее решение будем искать в виде ряда∞∞XA0 X2 2u(x, t) =un (x, t) =+Ane−a λn t cos λnx .2n=0n=1Коэффициенты An найдем из начальных условий:∞nπxA0 X+An cos= f (x) .u(x, 0) =2ln=1Если заданная функция f (x) удовлетворяет условиям сходимости ряда Фурье, то, продолжив ее четным образом на интервал (−l, l], получим2A0 =lZl2f (x) dx , An =l0Zl087f (x) cosnπxdx .lПример 68 (формула Пуассона). Решим задачу о распространениитепла в неограниченном в обе стороны стержне.
На уравнение (111)накладываем начальные условияu(x, 0) = f (x),−∞ < x < ∞ .Краевых условий в этом случае, естественно, нет.Решение. Как и двух предыдущих примерах получаем частное решение в виде2 2u(x, t) = (a cos λx + b sin λx) e−a λ t .Здесь нет оснований выбирать из множества λ > 0 особые значения,как в предыдущих примерах (нет краевых условий). Поэтому считаемa = a(λ), b = b(λ) и вместо ряда для общего решения выбираем формуинтеграла Фурьеu(x, t) =Z∞[a(λ) cos λx + b(λ) sin λx] e−aλ t2 2dλ .(112)0Функции a(λ) и b(λ) должны быть найдены так, чтобы были выполнены начальные условияu(x, 0) =Z∞[a(λ) cos λx + b(λ) sin λx] dλ = f (x) .0Видим, что получили представление функции f (x) интегралом Фурье,и функции a(λ) и b(λ) могут быть найдены по формулам:1a(λ) =πZ∞1b(λ) =πf (z) cos λz dz ,−∞Z∞f (z) sin λz dz .−∞Подставив их в формулу (112), получим представление решения в виде:1u(x, t) =πZ∞e−aλ t2 2dλZ∞−∞0f (z) cos λ(z − x) dz .Если f (z) абсолютно интегрируема на (−∞, ∞), то порядок интегрирования по λ и z можно изменить.
Получим1u(x, t) =πZ∞−∞f (z) dzZ∞088e−aλ t2 2cos λ(z − x) dλ .Внутренний интеграл можно вычислить непосредственно:Z∞0e−aλ t2 2cos λ(z − x) dλ =12ar(z − x)2π −4a2 t .etТаким образом, окончательно получаем решение задачи в виде интеграла формула Пуассона:u(x, t) =1√2a πtZ∞(z − x)2−4a2 t dz .f (z)e(113)−∞Замечание 31. Не следует думать, что мы решили отвлеченный пример. Если стержень ограничен, и в начальный момент тепло локализовано, то формула (113) дает прекрасное приближение для достаточномалых значений t.89ПРИЛОЖЕНИЯА.
Типовой расчет по рядам ФурьеУсловия и заданияЗадача 1. Заданную функцию f (x), x ∈ [−1, 1] представить рядом Фурье по полиномам Лежандра.Задача 2. Для графически заданной 2π-периодической функции f (t)выполнить нижеследующие задания.Задача 3. Построить периодическое продолжение данной функцииf (t) и выполнить нижеследующие задания.Задания к задачам № 2, 3.1. Обосновать возможность разложения заданных функций f (t) в рядФурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f (t).2.
Построить график суммы ряда Фурье.3. Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье. Предварительно: а) определить порядок убывания коэффициентовряда Фурье; б) вычислить коэффициенты ряда Фурье.4. Построить амплитудный и фазовый спектры функции.5. Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90 % энергии.6.
Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f (t) и частичной суммой ряда Фурье для значений t, принадлежащихпромежутку задания f (t).7. Построить графики заданной функции и частичной суммы рядадля значений t, принадлежащих промежутку задания f (t), взяв числогармоник, определенных в п. 5.8. Построить график функции, являющейся квадратом отклоненийфункции f (t) от частичной суммы ряда для значений t, принадлежащихпромежутку задания f (t).9.
Представить заданную функцию рядом Фурье в комплексной форме.90Вар.Задача 1Задача 2Задача 3−1, −1 < x < 0 ;1, 0 6 x < 1 .f (t) = t2 ,t ∈ [0, 1] ; (четное)2f (x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 5 .f (t) = t(2 − t) ,t ∈ [0, 2] ; (нечет.)3f (x) = |x| .f (t) = sin 3t ,t ∈ [0, 3π] ; (четное)4f (x) = x2 + x − 1 .f (t) = et ,t ∈ [0, 2] ; (четное)1f (x) =−2, −1 < x < 0 ;2, 0 6 x < 1 .f (t) = cos 2t ,t ∈ [0, 2] ; (четное)6f (x) = 3x3 + 2x2 − x + 1 .f (t) = e2t ,t ∈ [0, 2] ; (четное)7f (x) = |2x| .f (t) = t2 ,t ∈ [0, 2] ; (четное)8f (x) = 2x2 − 3x + 4 .f (t) = t(3 − t) ,t ∈ [0, 3] ; (нечет.)5910f (x) =f (x) =13− 12 , −1 < x < 0 ;1, 0 6 x < 1.2f (t) = sin 2t ,t ∈ [0, π] ; (четное)f (t) = et/2 ,t ∈ [0, 2] ; (четное)f (x) = x3 − 3x2 + x − 3 .f (t) = cos 3t ,t ∈ [0, 3] ; (четное)x f (x) = .21112f (t) = et/3 ,t ∈ [0, 3] ; (четное)f (x) = x2 − 2x + 3 .f (x) =f (t) = t2 ,t ∈ [0, 3] ; (нечет.)−3, −1 < x < 0 ;3, 0 6 x < 1 .91Вар.Задача 114f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 4 .f (t) = t(π − t) ,t ∈ [0, π] ; (нечет.)15f (x) = |3x| .f (t) = sin 3t ,t ∈ [0, 1] ; (четное)16f (x) = 3x2 + 2x − 1 .f (t) = e−t ,t ∈ [0, 2] ; (четное)1718f (x) =21− 31 , −1 < x < 0 ;1, 0 6 x < 1.3Задача 3f (t) = cos 2t ,t ∈ [0, π] ; (четное)f (x) = 3x3 − x2 + x − 4 .f (t) = e−2t ,t ∈ [0, 2] ; (четное)x f (x) = .3f (t) = t2 ,t ∈ [0, 4] ; (четное)f (x) = 4x2 − 3x + 3 .f (t) = t(t − 2) ,t ∈ [0, 2] ; (нечет.)1920Задача 2f (x) =−4, −1 < x < 0 ;4, 0 6 x < 1 .f (t) = sin 2t ,t ∈ [0, 1] ; (нечет.)22f (x) = x3 + 4x2 + x + 2 .f (t) = e−t/2 ,t ∈ [0, 2] ; (четное)23f (x) = |4x| .f (t) = ch 3t ,t ∈ [0, 1] ; (четное)24f (x) = 4x2 − 3x + 5 .f (t) = e−t/3 ,t ∈ [0, 3] ; (четное)25f (x) =f (t) = 1 − t2 ,t ∈ [0, 1] ; (четное)−5, −1 < x < 0 ;5, 0 6 x < 1 .92Б.
Таблица основных оригиналов и изображений№ п/пОригиналИзображение111p12eλt cos ωtp−λ(p − λ)2 + ω22t1p213eλt sh ωtω(p − λ)2 − ω23t22p314eλt ch ωtp−λ(p − λ)2 − ω24tn,n∈N15t sin ωt5eλt1p−λ16t cos ωt6tn eλtn!(p − λ)n+117t sh ωt7sin ωtωp2 + ω218t ch ωtp2 + ω2(p2 − ω2 )28cos ωtp2p + ω219tn sin ωtIm (p + iω)n+1n!(p2 + ω2 )n+19sh ωtωp2 − ω220tn cos ωtRe (p + iω)n+1n!(p2 + ω2 )n+110ch ωtp− ω221teλt sin ωt2ω(p − λ)[(p − λ)2 + ω2 ]211eλt sin ωt22teλt cos ωt(p − λ)2 − ω2[(p − λ)2 + ω2 ]2n!pn+1p2№ п/п Оригиналω(p − λ)2 + ω293Изображение(p22pω+ ω2 )2p2 − ω2(p2 + ω2 )2(p22pω− ω2 )2Ответы2036, y=−; c) вещественных решений нет.171733127292414.
a) −+i; b)+i; c)+i.13013013013013135. a) x1 = √−1 + 2i, x2 = −1 −√2i; b) x1 = −2 + 3i, x2 = −2 − 3i;319319c) x1 =+i, x2 =−i.2222√2316. a) ρ = 5, ϕ = arctg ; b) ρ = 4, ϕ = π; c) ρ = 5 2 , ϕ = arctg − π;437342d) ρ = 2, ϕ = π; e) ρ = 1, ϕ = π; f) ρ = 2, ϕ = − π.4 √ 537. a) −219 1 + 3 ; b) 210 (1 + i); c) 1728; d) 1.1±i1+i1 √9. a) ± √ ; b) ± √ ; c)± 3 + i , −i;222ππ3π3πd) ± cos − i sin, ± cos+ i sin; e) ±1, ±i;8888√3√π √π 4 (1 + i) √ππ66,+ i sin,− i cos; g) ± 3 − i ;f)2 − cos12 sin1212√ 2√12√ 12h) 10 2 (cos 6◦ + i sin 6◦ ), 10 2 (cos 78◦ + i sin 78◦ ), 10 2 (cos 150◦ + i sin 150◦ ),√√102 (cos 222◦ + i sin 222◦ ), 10 2 (cos 294◦ + i sin 294◦).x2y210.
a) гипербола xy = 1; b) гипербола xy = −1; c) эллипс+= 1;3423x−y22d) эллипс 2 + √ 2 = 1; e) окружность x2 + y 2 = 1; f) парабола y 2 =93 222x + 1;g) нижняя полуплоскость y < −2; h) часть плоскости, расположенная вне кругарадиуса 1 с центром в точке (−2, −1), включая его границу; i) правая полуплоскость,включая ось Oy; j) внутренность окружности x2 + (y − 1)2 = 1.11. a) u = 2x − 1, v = 2y; b) u = x2 − y 2 + x, v = (2x + 1) y;yx2222, v=− 2; d) u = ex −y cos 2xy, v = −ex −y sin 2xy;c) u = 222x +yx +ye) u = ex cos y, v = −ex sin y; f) u = ch x cos(y − 1), v = sh x sin(y − 1);22u = e(x −y ) ln 2−4kπxy cos[2kπ(x2 − y 2) + 2xy ln 2],g)k ∈ Z;22v = e(x −y ) ln 2−4kπxy sin[2kπ(x2 − y 2) + 2xy ln 2],3.
a) x =sin x cos xsh y ch yh) u = ch x cos y, v = cos x sin y; i) u = 2, v= 2.22ch y − sin xch y − sin x√1312. a) ln 2 + i(1 + 2k)π; b) i+ 2k π; c) ln 2 + i 2k −π;24√21d) ln 13 + i 2kπ − arctg; e) −+ 2k π + 2mπi. Везде k ∈ Z, m ∈ Z.321−+ 2k π√√213.a) e;b)cos2(2k+1)π+isin2(2k+1)π;11!√−+ 4k π−+ 2k π311126c) e; d) e·+i; e) √ + i √ ;222294√√31ln 2 − πi; g) ch π; h) 2kπ − i ln 2 − 1 , (2k + 1)π − i ln 2 + 1 ;42√ √11i) 2k +π − i ln2 + 1 , 2k −π − i ln2 − 1 ; j) i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
