Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТА.Н. БУРОВН.Г. ВАХРУШЕВАС.В. КЛИШИНАПРАКТИКУМ ПО СПЕЦГЛАВАММАТЕМАТИКИУтверждено Редакционно-издательским советомуниверситета в качестве учебного пособия.Новосибирск2001Рецензенты: В.М. Бородихин, канд. физ.-мат. наук, доц.,Б.Г. Писляков, канд. физ.-мат.

наук, доц.Работа подготовлена на кафедревысшей математики для студентовтехнических специальностей всех факультетовБуров А.Н., Вахрушева Н.Г., Клишина С.В.Практикум по спецглавам математики: Учеб. пособие. –Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. – 102 с.Данное учебное пособие содержит разработки 17 занятий по специальнымглавам высшей математики, традиционно включаемым в учебный план: теории функций комплексного переменного, операционному исчислению, рядамФурье, уравнениям математической физики.Каждая разработка содержит краткие теоретические сведения, примерырешения задач, задачи для самостоятельного решения.

В качестве приложения приведены задачи типового расчета (индивидуального задания) по рядамФурье.c Новосибирский государственныйтехнический университет, 2001 г.ПредисловиеВ данном пособии содержатся теоретические сведения, примеры решенных задач, а также задачи для самостоятельного решения по такимразделам специальных глав высшей математики, как теория функцийкомплексного переменного, операционное исчисление, ряды и интегралыФурье. В качестве приложения рядов и интегралов Фурье рассмотреныуравнения колебания струны и теплопроводности. Задачи для самостоятельного решения снабжены ответами. В приложении даны условия задач типового расчета по рядам Фурье и таблица оригиналов и изображений.

Приведен список литературы, рекомендованной для более глубокогоизучения рассмотренных вопросов.Это пособие содержит разработки 17 занятий по спецглавам математики. Однако, преподаватель, ведущий занятия, может по-иному распределить представленный здесь учебный материал, руководствуясь запросами факультета.В разработках двух последних занятий нет задач для самостоятельного решения, поскольку сам материал включает в себя серьезные задачи,решенные в общем виде.Большинство задач оригинальными не являются.

Не имея возможности дать ссылку на каждый источник, авторы включили в список литературы учебники и сборники задач, из которых взяты задачи или идеи.31Теория функций комплексного переменногоЗанятие № 1Комплексные числа и операции над нимиОпределение 1. Комплексными называются числа z вида(1)z = x + iy ,вещественные числа, а iмнимая единица,где x ∈ R и y ∈ Rудовлетворяющая условию i2 = −1.Запись вида (1) называется алгебраической формой записи комплексного числа.Числа x и y называются соответственно вещественной и мнимойчастями комплексного числа z и обозначаются следующим образом:x = Re z, y = Im z .Число z = x − iy называется комплексно сопряженным к числуz = x + iy.Множество комплексных чисел будем обозначать символом C.Точка P (x, y) с декартовыми координатами (x, y) может служить изображением комплексного числаz = x + iyРис. 1на плоскости Oxy (рис.

1).−−−→Определение 2. Длина ρ вектора OP , где O(0, 0) начало координат, а P (x, y) изображает комплексное число z = x + iy, называетсямодулем комплексного числа z и обозначается |z|. Угол ϕ, образован−−−→ный вектором OP с осью Ox, называется аргументом комплексногочисла z и обозначается Arg z.Поскольку угол ϕ определен с точностью до слагаемого 2kπ , k ∈ Z,вводится понятие главного значения аргумента arg z ∈ (−π, π] , приэтом Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z.Теорема 1. Связь модуля ρ и главного значения аргумента ϕкомплексного числа z с его вещественной и мнимой частями x = Re zи y = Im z задается формуламиpρ = |z| = x2 + y 2 ,(2)4arctg (y/x),arctg (y/x) + π,arctg (y/x) − π,ϕ = arg z =π/2,−π/2,не определен,еслиеслиеслиеслиеслиеслиx > 0,x < 0,x < 0,x = 0,x = 0,x = 0,yyyyy> 0,< 0,> 0,< 0,= 0.(3)Параметры ρ и ϕ можно интерпретировать как полярные координатыточки P (x, y).

Поскольку декартовы и полярные координаты связанысоотношениемx = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ.можно дать следующее определение:Определение 3. Тригонометрической формой записи комплексных чисел является запись видаz = ρ (cos ϕ + i sin ϕ) .(4)Операции над комплексными числами в алгебраической форме производятся как обычные алгебраические операции с учетом того, что i2 =−1.Определение 4. Если даны числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, топо определениюz1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 );(5)z1 · z2 = (x1 · x2 − y1 · y2 ) + i(x1 · y2 + x2 · y1 ).(6)Легко заметить, что (z1 + z2 ) ∈ C, если z1 ∈ C и z2 ∈ C, а такжеz1 · z2 ∈ C, если z1 ∈ C и z2 ∈ C.Отметим, что произведение взаимно сопряженных комплексных чиселявляется вещественным, положительным для z 6= 0 числом zz =(x + iy)(x − iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y 2 = |z|2 .

Отсюда следует важнаятеорема.Теорема 2. Частное от деления двух комплексных чисел являетсяz1числом комплексным, то есть∈ C , если z1 ∈ C , z2 ∈ C , z2 6= 0 .z2В самом деле,z1z1 z 2x1x2 + y1 y2x2y1 − x1y2==+i.z2z2 z 2x22 + y22x22 + y225Геометрический смысл суммыкомплексных чисел заключается втом, что сумма изображаетсяточкой, радиус-вектор которойесть векторная сумма радиусвекторов слагаемых (рис. 2).Геометрический смысл умножения легко раскрывается в тригоноРис. 2метрической форме.Пусть z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , z2 = ρ2(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Тогдаz1 z2 = ρ1ρ2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 )++ i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 )] == ρ1ρ2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] .Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей,а аргумент сумме аргументов.Отсюда легко вывести формулу Муавра:z n = (ρ (cos ϕ + i sin ϕ))n = ρn (cos nϕ + i sin nϕ) .(7)Из формулы Эйлера (12) следует, что комплексное число может бытьзаписано также в показательной формеz = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = ρeiϕ ,(8)где ρ = |z|, ϕ = Argz = arg z + 2kπ.Именно в показательной форме легче всего производить операциюизвлечения корня n-й степени из комплексного числа.√Пусть w = n z.

Запишем z в показательной форме как z = ρei(ϕ+2kπ),где ϕ = arg z главное значение аргумента. Тогдаp√ϕ2kπw = n z = n |z| ei( n + n )и при k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 получаем n различных значений корня n-йстепени из комплексного числа. Все они находятся в вершинахправильpnного n-угольника, вписанного в окружность радиуса|z| с центром вначале координат.Пример 1.

Найти вещественные решения уравнения(1 + i)x + (−2 + 5i)y = −4 + 17i.Решение. Приведем к алгебраической форме левую часть уравнения.(x − 2y) + i(x + 5y) = −4 + 17i.6Поскольку (z1 = z2 ) ⇐⇒ненийRe z1 = Re z2 ,, получаем систему уравIm z1 = Im z2x − 2y = −4,x + 5y = 17,решив которую, получим x =107,y=197.Пример 2. Найти модуль и аргумент, а также записатьв триго√нометрической и показательнойформах число z = −2 3 + 2i.q√ 2Решение. |z| =−2 3 + 22 = 4. С учетом того, что Re z < 0,а Im z > 0, получаем значение ϕ = arg z = π + arctg −22√3 = π − π6 = 5π6.5πТаким образом, z = 4 cos 5π+ i sin 5π= 4ei 6 .66p√3Пример 3.

Найти√все значения3 − i.Решение. |z| = 3 + 1 = 2; arg z = arctg(− √13 ) = − π6 . Такимp√√ππ2kπ3образом, z = 2ei(− 6 +2kπ), следовательно, w = − 3 + i = 3 2ei(− 18 + 3 ) ,и мы имеем три значения корня:√√πππ= 3 2 cos 18− i sin 18;k = 0 : w0 = 3 2 e−i 18√√π2π11πk = 1 : w1 = 3 2 ei(− 18 + 3 ) = 3 2 cos 11π+isin1818 ;√√4ππ23πk = 2 : w2 = 3 2 ei(− 18 + 3 ) = 3 2 cos 23π18 + i sin 18 .Пример 4.

Какое множество точекна плоскости комплексного переменного определяется условием z − z0 6 R, где z0 = x0 + iy0заданное комплексное число,0 заданное вещественное число?R >pРешение. Так как z − z0 = (x − x0)2 + (y − y0 )2, имеем неравенство (x − x0)2 + (y − y0 )2 6 R2, которое задает круг радиуса R с центромв точке z0 .Пример 5. Какое множество точек на плоскости комплексного переменного определяется условием Im z 2 > 2 ?Решение. Если z = x + iy, тоz 2 = (x − iy)2 = (x2 − y 2 ) − 2ixy .Следовательно, Im z 2 = −2xy, и мы имеем неравенство −2xy > 2 илиxy < −1, которое определяет множество точек плоскости, расположенное вне ветвей гиперболы xy = −1.Задачи для самостоятельного решения71.

Доказать тождества:a) (z1 ± z2 ) = z 1 ± z 2 ; z1z1c)= ;z2z2b) (z1 · z2 ) = z 1 · z 2;d) (z 1 ± z 2 ) = z1 ± z2 .2. Доказать следующие свойства модуля комплексного числа:a) |z| = |z|;b) | Re z| 6 |z|;c) | Im z| 6 |z|;2d) |zz|f) |z n | = |z|n ; = |z| ; e) |z1 z2 | = |z1 | |z2 |; z1 |z1 |g) =; h) |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |; i) |z1 | − |z2 | 6 |z1 − z2 |.z2|z2 |3. Найти вещественные решения уравнений:a) (3x − i)(2 + i) + (x − iy)(1 + 2i) = 5 + 6i;b) 12 ((2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)) = 17 + 6i;√12+ic)+= 2, где z = x + iy.z−i1+i4.

Привести к алгебраической форме комплексные числа:a)(1 + i)(2 − 3i)(1 + i)(2 + 3i)(5 − i)(2 + i); b); c).(−2 + 4i)(2 + 3i)(−2 + 4i)(2 − 3i)(1 + i)(3 − 2i)5. Решить квадратные уравнения:a) x2 + 2x + 5 = 0; b) x2 + 4x + 13 = 0; c) x2 − 3x + 7 = 0.6. Найти модуль, главное значение аргумента, представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:√a) z = 4 +3i;b)z=−2+23 i;c) z = −7 − i;√√√d) z = − 2 + i 2; e) z = − cos π5 + i sin π5 ; f) z = −1 − i 3.7. Вычислить:√ !408√61+i 31−i7a); b) (2 − 2i) ; c)3 − 3i ; d).1−i1+i8.

С помощью формулы Муавра выразить через степени sin ϕ и cos ϕследующие функции:a) sin 3ϕ; b) cos 3ϕ; c) sin 4ϕ; d) cos 4ϕ; e) sin 5ϕ; f) cos 5ϕ.9. Вычислить все значения корня:√√√√√344a) 4 −1 ; b) i ; c)i;d)−i;e)1;qp√√g) 2 − 2 3 i ; h) 5 2 cos π6 + i sin π6 .8f)√3−1 + i ;10. Определить, какие линии задаются условиями:2Im z = 2 ; z − i + z + i = 4 ; z − 2 − 1 − 2z = 0 ;Im z <−2 ;z−1 6 1;i) z+12Im (z − z) = 2 − Im z ;3z − Re z = 12 ; Re (1 + z) = z ; z + 2 + i > 1 ; 11j) Im<− .z2a)c)e)g)b)d)f)h)Занятие № 2Элементарные функции комплексного переменногоВ области D комплексных чисел определена (быть может, многозначная) функция w = f (z), если каждой точке z ∈ D поставлено в соответствие комплексное значение w (быть может, несколько или бесконечномного).Заданию функции w = f (z) соответствует задание двух вещественнозначных функций от двух вещественных переменных каждая:w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y),где x = Re z, y = Im z, u = Re w, v = Im w.Основными элементарными функциями комплексного переменного являются:1.

Дробно-рациональная функцияan z n + an−1z n−1 + . . . + a1 z + a0w=,bm z m + bm−1z m−1 + . . . + b1z + b0в частности многочлен an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0целая функция.2. Показательная функция, определяемая как сумма рядаz2znw = e = 1 +z + +...++ ... ,2!n!z(9)абсолютно сходящегося на всей комплексной плоскости.Отметим следующие свойства показательной функции:а) ez1 +z2 = ez1 · ez2 , ∀ z1 ∈ C, z2 ∈ C;б) ez+2kπi = ez ∀ k ∈ Z то есть показательная функция в комплексной плоскости имеет период 2πi;в) областью значений показательной функции являются все комплексные числа за исключением z = 0 (см.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги