Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Везде k ∈ Z.22√2π +1 −π ,14. a) zk = (2k + 1)πi; b) zk = (2k + 1)πi ± i ln 2; c) z2k = 2kπ − i ln√z2k+1 = (2k + 1)π − i ln π2 + 1 + π ; d) z2k = 2kπi, z2k+1 = (2k + 1)πi + ln 3. Вездеk ∈ Z.15. a) да; b) нет; c) да; d) нет; e) нет; f) да; g) нет; h) нет; i) да.16. a) да; b) да; c) нет; d) да; e) да; f) нет; g) да; h) да; i) нет.117. a) f (z) = ; b) f (z) = ln z; c) f (z) = z 2 + 2z; d) f (z) = 2 sh z − z 2 ;ze) f (z) = 2 sin z − z; f) f (z) = 4 ch z + z 2 − 1; g) f (z) = 2 cos 2z + z;h) f (z) = 2i(cos z − 1) − iz 2 + 2.1 2π18. a) − ; b)e − 1 (1 + i); c) 0; d) 0.2419. a) −2(1 + i); b) −1; c) −7e−2 + (3 − 2i)ei ; d) e−1 − 1; e) 1 − cos 1 + i(sin 1 − 1);1f)[1 − cos(2 + 2i)].4ππi; d) −πi; e) 0; f) −i.20. a) πe−1 ; b) π sh 1; c) −452721. a) расходится; b) сходится; c) сходится; d) сходится; e) расходится;f) сходится; g) расходится; h) сходится.22.
a) R = 1; b) R = 1; c) R = 1; d) R = e−1 .222323. a) − sin 1 + 2 (z + 1) cos 1 +(z + 1)2 sin 1 −(z + 1)3 cos 1 − . . . , R = ∞;2!3!√11123(2z − 1) +(2z − 1) + . . . , R = ∞;b) e 1 + (2z − 1) +22! 223! 23133233523c) −1 + (z + 2) + 2 (z + 2) + 3 (z + 2) + . . . , R = ;55553 241941 21 zzd) − −z−z − . . . , R = 1; e) 1 +++ .
. . , R = ∞;5251252 2!4!1 zz2z3+++ . . . , R = 2.f) ln 2 −2 22·43·8124. a) |z| > √ ; b) |z| > 2; c) |z + 1 − i| > 1; d) |z + 1 + i| < 1; e) 2 < |z| < 4;2f) 0 < |z − 2 + i| < 1.1zz3z5z21125. a)−+−+ . . .; b) z 4 −+−+ . . .;z3!5!7!2!4!6! z 21z2z4z6211z2c)−+−+ . . .; d) 4 −+−+ . .
..2!4!6!8!z2! z 2∞ 4!6!∞∞∞X 2n−1X 3n−1 − 2n−11 X zn1 X26. a1 ) −−; a2 ); b1 )−(−1)n z n ;nnnz33zzn=1n=0n=1n=0∞∞∞ ∞nn−1nnXXXX(−1)(−1)(−1) n(−1); c)+z ; d1 )n−z n−1 ;b2 )n+2nn+1nzz22n=0n=1n=0n=1∞∞∞nnXXXn(−1) n1n + (−2)d2 )+z ; d3 )+.n+1n+1z2zz n+1n=1n=0n=127. a) z1 = 0 — второго порядка, z2,3 = ±2i — простые;b) zn = nπ, n ∈ Z \ {0} — простые;c) z = 0 — простой, zn = nπi, n ∈ Z \ {0} — второго порядка;d) z = 0 — третьего порядка, zn = nπ, n ∈ Z \ {0} — простые;f)95e) zn = (2n + 1)πi, n ∈ Z — второго порядка;πf) zn = (4n + 1) i, n ∈ Z — второго порядка;2g) z = −πi — второго порядка, zn = nπi, n ∈ Z \ {−1} — простые;h) z = ±πi — второго порядка, zn = (2n + 1)πi, n ∈ Z \ {0, −1} — простые.28. a) нуль третьего порядка; b) нуль второго порядка; c) простой нуль; d) нульчетвертого порядка.29.
a) полюс третьего порядка; b) полюс второго порядка; c) простой полюс;d) полюс второго порядка.π30. a) zn = (4n + 1) , n ∈ Z — полюсы второго порядка;2b) z = 0 — устранимая особая точка;c) z1 = 0 — полюс второго порядка, z2 = −1 — полюс второго порядка;d) z0 = 0 — полюс второго порядка, zn = 2nπi, n ∈ Z \ {0} — простые полюсы;e) z = 0 — существенно особая точка; f) z = 0 — существенно особая точка.31. a) устранимая особая точка; b) простой полюс; c) z = 0 — полюс четвертогопорядка, z = −1 — простой полюс; d) существенно особая точка.ππ4−832.
a) res f (0) = 0, res f= , res f+ πn = 2, n ∈ N;4π2π (2n + 1)(4n +1) 11123b) res f (−1) =, res f (2) = −; c) res f (0) = − , res f (3) =sin2;272762721e−iei, res f (1) =.d) res f (−3) = e−3i , res f (−1) = −848−1−133. a) (1 − 2e )πi; b) 2(1 − e )πi; c) 0; d) 0; e) 3πi. ππ5b2 − a2 b2 − 5a22ππ; c)+; d).34. a) √ ; b) −22333272(b − a )ba3235. Смотри ответы к задаче 20.2e6p38. a) 3 ; b); c) 2.pp+1p +41 2 10−3p2 + 3p − 10820(p2 + 21)4839. a) + 2 + 3 ; b);c);d);p ppp(p2 + 36)(p2 + 49)(p2 + 9)(p2 + 4)(p2 + 36)35p3 + 68pp4 − 12p − 486pp3 + 20p;f);g);h);e) + 2p (p + 4)(p2 + 16)2p4 (p + 4)(p2 + 16)(p2 + 4)(p2 + 36)(p2 + 4)p2 + 312p2 − 24;j).i) 2(p − 9)(p2 − 1)p(p2 − 4)1p+428p40.
a) 2; b) 2; c); d) 4;3p − 2p + 2p + 8p + 25(p + 5)p + 30p2 + 289135p3 − p2 + 3p − 75e)+;f).(p − 3)2 2(p − 1)(p2 − 2p + 37)(p2 − 2p + 37)(p + 1)22p18p2 + 54(p + 1)22p3 − 6p2p5 − 60p3 − 147041. a) 2;b);c);d);e);(p + 1)2(p2 − 9)3(p2 + 1)2(p2 + 1)3(p2 + 25)2 (p2 + 9)26f).(p + 5)4p+21p2 + p + 142. a) X(p) =; b) X(p) = 2; c) X(p) =;((p + 1)2(p + 1)(p + 2)p(p + 1)(p2 + 1)2−p11d) X(p) = 3; e) X(p) =; f) X(p) = 3;2p +1p(p + 1)(p − 1)p (p − 1)p2 + 4p + 15g) X(p) =.(p − 1)(p2 + 1)(p2 + 16)22p2 − 6p + 362p3 + p2 + 8p − 4 1 + 2p43. a) 2;b);c);d)+;(p + 1)2p(p + 3)32p2 (p2 + 36)2p(p2 + 4)22p396e)1p2 + 64+ 3.222p(p − 64)2pppp2 + 4ln p2 + 1arcctg p1p144.
a) arcctg p; b); c) ln; d); e) ln− ;p2ppp+1pp+1f) ln.p−1b1 a + b b45. a) ln ; b) ln ; c) ln .aa2a−b222 + 4p + 4p2 −2p21−3p−2p46. a)·e;b);c)·e;d)·e;e)· e−7p ;2 + 4)333p(ppppp−2√12 + 2p − p22 + 2p + p2 −2p2 − 2p + p22 1−pf)· 2; g) − 2· e−πp ; h);i)·e;j);2p +1p +1p3p3p32e−π(p+1)−πp/2k)·e+.p (p2 + 4)p+111 − e−ap147. a) 2 1 − 2e−p + e−2p ; b) 2 e−p − 2e−2p + e−3p ; c);ppp 111d) 2pe−πp/2 − e−πp ; e) 2 e−2p − e−3p − · e−2p ;p +1pp11 −2p11−πp/4−3πp/4−2p−4ppe+e; g) 2 e−e; h)e− e−4p +· e−4p .f) − 2p +1ppp+1112248.
a); b); c) 3 2; d) 3;(p − 1) (p2 + 1)(p − 1) (p2 + 1)p (p − 1)p (p − 3)61e) 3 2; f).p (p − 49)p (p2 + 4)49. a) e−2(t−1) (cos(t − 1) − 2 sin(t − 1)) · η(t − 1); b) e−3(t−3) · η(t − 3);c) sh(t − 2) e−2(t−2) · η(t −2); d) (t − 1) · η(t − 1).131; b)− (3 cos t − 4 sin t) e−2t ; c) t − sin t;50. a) 1 − e−t 1 +t5511sin 2(t − 1) et−1 · η(t − 1) + cos 3(t − 2) · η(t − 2); e) t sin t;d)221 −2tf) sin(t−2) · η(t−2) + 2 sin(t−3) · η(t−3) + 3 sin(t−4) · η(t−4); g)e − e−t + 3tet ;9h) sh(t − 1) · η(t − 1) + ch 2(t −2) · η(t− 2); 11 −(t−1/2)11111i)− e−cos 2 t −−sin 2 t −·η t−;452021022j) (t − 1) · η(t − 1) + (t − 2)2 · η(t − 2) + (t − 3)3 · η(t − 3).1 −2te − cos t + 2 sin t ;51.
a) x(t) = (t + 1)e−t ; b) x(t) =5√√ !1313c) x(t) = t sin t − cos t + sin t; d) x(t) = e−t − et/2 cost − √ sint ;22231 21te) x(t) = e 1 − t − t − 1; f) x(t) = ch t − t2 − 1;221tg) x(t) =(t − 1)e + cos t + 2(sin t − t cos t).252.111a) x(t) =sin 3t +(t − 1) − sin 3(t − 1) · η(t − 1) −39321−(t − 2) − sin 3(t − 2) · η(t − 2) +9397+11(t − 3) − sin 3(t − 3) · η(t − 3);9311b) x(t) = 1 − e−t − (1 − e−t+4 ) · η(t − 2); c) x(t) = t sin t + (t − π) sin(t − π) · η(t − π);221d) x(t) = ch t − 1 − (ch(t − 1) − 1) · η(t − 1).e53. a) x(t) = (c1 + c2 t2 ) e−t ; b) x(t) = e−t . 11 t1et + 31 t1 + et54.
a) x(t) =e − 1 − tet + et ln; b) x(t) =e − 1 − ln;39 9422c) x(t) = et − 1− (t + ln 2) et + 1 + et + 1 ln et + 1 ;4tg (t/2)d) x(t) = sin t t − √ arctg √+ cos t · ln(2 + cos t) − ln 3 · cos t;33Zt2e) x(t) = e−(t−τ) sin τ dτ (не выражается через элементарные функции).0155. x(t) =k1 mZte−n(t−τ) sin k1 (t − τ) f (τ) dτ, где k1 =0√k 2 − n2 .E −µtEE −µte sin nt, при n2 > 0; I = te−µt , при n = 0; I =e sh kt, при56.
I =nLLkLR1R2, n2 =−, k 2 = −n2 .n2 < 0, где µ =2LLC ′ 4L2x0 + nx0−nt57. x(t) = ex0 cos k1 t +sin k1 t , при k > n;k1′x(t) = e−nt (x0 + (x0 + nx0′ )t), при n =k;x + x0 nx(t) = e−nt x0 ch n1 t + 0sh n1 t , при k < n,n1cβгде k 2 = ; 2n =; k12 = k 2 − n2 = −n21 .mm1 31112t −t−+ e2t .58.
a) y(t) = a t + t ; b) y(t) =642859. a) et ; b) ch t.60. a) x(t) = et , y(t) = −et ;13 −6t/111− e−t −e,b) x(t) =25101 −ty(t) =e − e−6t/11 ;528 3t11c) x(t) =e − e−t − t − ,93928 3t11y(t) =e + e−t − t − ;939d) x(t) = t cos t, y(t) = −t sin t;e) x(t) = sin t − cos t, y(t) = sin t + cos t;f) x(t) = (C1 + C2 t)et + C3 e2t ,y(t) = (C1 − 2C2 + C3 t)et ,z(t) = (C1 − C2 + C2 t)et + C3 e2t , где C1 = 9; C2 = 2; C3 = 0;g) x(t) = − sin t, y(t) = − cos t, z(t) = sin t.61.x(t) = C2 cos t + (C2 + 2C3 ) sin t,98y(t) = 2C1 et + C2 cos t + (C2 + 2C3 ) sin t,z(t) = C1 et + C3 cos t − (C2 + C3 ) sin t.264L1 (x) − 2L2 (x) + L3 (3).5511571. −5T0 (x) +T1 (x) − T2 (x) + T3 (3).4474.
a) нет; b) нет.Z∞2sin λa cos λx77. a) f (x) =dλ ;πλ70. −6L0 (x) −0b) f (x) =c) f (x) =1πZ∞sin λa cos λx + (1 − cos λa) sin λxdλ ;λ2πZ∞(2λ sin λπ − 1) cos λx + 2λ cos λπ sin λxdλ ;4λ2 − 100d) смотри замечание 28 на стр. 78;Z∞12e) f (x) = pe−λ /4a cos λx dλ;πa0Z∞1a cos λx + λ sin λxf) f (x) =dλ .πa2 + λ2099Список литературы1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости.М.: Наука, 1968.2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексногопеременного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Учебн.пособие, 2-е изд., перераб. и доп., М.: Наука, 1981.3. Никольский С.М.1973. Т. I, II.Курс математического анализа.М.: Наука,4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление длявтузов. М.: Наука, 1978. Т. II.5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа / Под ред.
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд. М.: Наука, 1986.6. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. 2-е изд. М.: Наука, 1986.100СодержаниеПредисловие1 ТеорияЗанятиеЗанятиеЗанятиеЗанятиеЗанятиеЗанятиеЗанятие3функций комплексного переменного№ 1. Комплексные числа и операции над ними . . . . .№ 2. Элементарные функции комплексного переменного№ 3. Аналитические функции. Условия Коши-Римана .№ 4. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши .
.№ 5. Ряды в комплексной плоскости . . . . . . . . . . .№ 6. Нули и изолированные особые точки . . . . . . . .№ 7. Элементы теории вычетов . . . . . . . . . . . . . .2 Операционное исчислениеЗанятие № 8. Определение и свойства оператора ЛапласаЗанятие № 9. Нахождение изображений по оригиналам .Занятие № 10. Нахождение оригинала по изображению .Занятие № 11. Решение дифференциальных уравненийоперационным методом .
. . . . . . . . . . . . . . .449141722293137. . . . 37. . . . 41. . . . 46. . . .483 Ряды Фурье и интегралы Фурье56Занятие № 12. Линейные нормированные пространства . . . . . 56Занятие № 13. Разложение функций в ряд Фурье . . . . . . . . . 62Занятие № 14. Тригонометрические ряды Фурье.Гармонический анализ . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 64Занятие № 15. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Занятие № 16. Приложение рядов Фурье. Уравнение колебанияструны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Занятие № 17. Приложение рядов и интегралов Фурье.Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . .
. . . 85Приложения90А. Типовой расчет по рядам Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 90Б. Таблица основных оригиналов и изображений . . . . . . . . . 93Ответы94Литература100101.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
