Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому можно записатьZ∞Z∞1dλf (t) cos λ(t − x) dt .(97)f (x) =2π−∞Далее,12πZ∞−∞dλZ∞−∞−∞f (t) sin λ(t − x) dt = 0 ,(98)так как из (94) следует существование интегралаZ∞f (t) sin λ(t − x) dt,−∞который является нечетной функцией относительно λ.Если теперь сложить (97) с интегралом (98), умноженным на −i, тов силу формулы Эйлера cos z − i sin z = e−iz получимZ∞Z∞1f (x) =dλf (t)e−iλ(t−x) dt .(99)2π−∞−∞Определение 30 (преобразование Фурье). Интеграл Фурье(99) в комплексной форме можно записать в другом виде.
ПоложимZ∞g(λ) =f (t)e−iλt dt .(100)−∞Тогда1f (x) =2πZ∞g(λ)eiλx dλ .(101)−∞Соответствие f (x) −→ g(λ), задаваемое формулой (100) называется преобразованием Фурье функции f . Соответственно, формула (101)называется обращением преобразования Фурье, или обратным преобразованием Фурье.Иногда для достижения бо́льшей симметрии прямое и обратное преобразования Фурье определяют какZ∞Z∞11g(λ) = √f (t)e−iλt dt , f (x) = √g(λ)eiλx dλ .2π2π−∞−∞79Замечание 29.
Преобразование Фурье обладает многими свойстваZ∞ми, аналогичными оператору Лапласа L[f (t)] = f (t)e−pt dt (см. опре0деление 17 на стр. 37) и его также можно было бы использовать в операционном исчислении. Причина использования оператора Лапласа в том,что класс функций, к которым можно применить преобразование Фурье,у́же оригиналов. Однако, преобразование Фурье с успехом применяетсяпри решении многих задач математической физики.Пример 64. Найти преобразование Фурье функцииf (x) = e−a|x| ,a > 0.Представить ее интегралом Фурье в комплексной форме.Решение. Проведем преобразование Фурьеg(λ) =Z∞e−a|x| e−iλx dx =−∞= 2Z∞Z∞−∞e−ax cos λx dx =0e−a|x| (cos λx − i sin λx) dx =2a.a2 + λ2Представлением f (x) в виде интеграла Фурье в комплексной формебудетf (x) = e−a|x|1=2πZ∞−∞2aeiλxadλ=a2 + λ2πZ∞−∞eiλxdλ .a2 + λ2Задачи для самостоятельного решения77.
Представить в виде интеграла Фурье в вещественной и комплексной формах, найти преобразование Фурье для функций:1 при |x| 6 a ,a) f (x) =0 при |x| > a ;1 при x ∈ [0, a] ,b) f (x) =0 при x 6∈ [0, a] ;sin x2при x ∈ [0, π] ,c) f (x) =0 при x 6∈ [0, π] ;1d) f (x) =;x2 + a2802e) f (x) = e−ax , a > 0 ; −axeпри x > 0 ,f) f (x) =a > 0.0 при x < 0 ,Занятие № 16Приложение рядов ФурьеУравнение колебания струныЗадача о колебаниях струны является достойным примером приложения рядов Фурье. Кроме того, именно эта задача сыграла важную рольв постановке и решении задачи о разложении функций в тригонометрический ряд.Введем ряд предположений для вывода уравнения колебаний струны:1) струна однородна с линейной плотностью распределения масс ρ исвободно изгибаема;2) действием силы тяжести пренебрегаемструна колеблется поддействием силы натяжения T = const, направленной по касательной кструне;3) колебания малы, то есть отклонения от положения равновесия малы по сравнению с длиной l струны, и углы изгибания малы;4) концы струны закреплены.Введем систему координат (x, u) таким образом, чтобы струна в состоянии равновесия являлась отрезком [0, l] оси Ox; u отклонение струныот положения равновесия; таким образом, состояние струныбудет описывать функция u(x, t)отклонение точки струны с координатой x в момент времени t отположения равновесия, при этомu(0, t) = u(l, t) для любого моментаРис.
8времени t (рис. 8).Для вывода уравнение колебаний рассмотрим участок струны длиныds. Его длину можно считать равной dx, так какα2dx = ds · cos α ≈ ds 1 −≈ ds ,2где αугол между выделенным участком струны и осью Ox. Заметим, что, в силу предположения о малости колебаний, мы пренебрегаемвеличинами порядка α2 .
В силу этих же предположений∂u sin α ≈ α ≈ tg α,= tg α ≈ α.∂x x81Поэтому вертикальные проекции сил, действующих на выделенный участок, запишутся как ∂u ∂ 2u∂u T sin(α + dα) − T sin α = T−=Tdx.∂x x+dx∂x x∂x2∂u2 .Масса участка равна ρ · ds = ρ · dx, ускорение равно∂t2 xПоэтому, записав второй закон Ньютона (ma = F ), будем иметь∂u2 ∂ 2uρ · dx = Tdx,∂t2 x∂x2откуда получаем уравнение колебания струны2∂ 2u2 ∂ u=a,∂t2∂x2(102)T.ρЧтобы уравнение (102) однозначно разрешалось, надо дополнить егокраевыми и начальными условиями:где a2 =u(0, t) = u(l, t) = 0 ∀t ∈ [0, ∞)(103)(струна с закрепленными концами),∂u(x, 0)= ψ(x),(104)∂tначальный профиль струны, ψ(x) начальная скорость точекu(x, 0) = ϕ(x),где ϕ(x)струны.Решим задачу (102–104) методом Фурье разделения переменных.Для этого предположим вначале, что решение уравнения (102) можетбыть найдено в виде u(x, t) = X(x) · T (t), то есть в виде произведенияфункций, зависящих только от x и t соответственно.
тогда уравнение(102) перепишется в виде X(x) · T ′′ (t) = a2 T (t) · X ′′ (x), илиT ′′ (t)X ′′ (x)=.a2 T (t)X(x)(105)Так как левая часть уравнения (105) не зависит от x, а правая отt, в целом выражения, входящие в это уравнение, являются константой.Обозначим ее через −λ2 (можно доказать, что константа не может бытьнулевой или положительной). Тогда уравнение (105) запишется какT ′′ (t)X ′′ (x)== −λ2,2a T (t)X(x)82и после этого может быть сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений ′′T + a2 λ2 T = 0,(106)X ′′ + λ2X = 0,общим решением которой будетT = C1 cos aλt + C2 sin aλt,X = D1 cos λx + D2 sin λx.Рассмотрим второе уравнение системы (106) совместно с условиямиX(0) = X(l) = 0, которые являются следствием краевых условий (103).Из условия X(0) = 0 следует, что D1 = 0.Таким образом, X(x) = D2 sin λx.Из второго краевого условия имеем X(l) = D2 sin λl = 0, илиsin λl = 0,откуда λl = nπ при n ∈ N.
Таким образом, λ может принимать следующие значения:π2πnπλ1 = , λ2 =, . . . , λn =, ...(107)lllПоложим при λ = λn , в силу произвольности констант, C1 · D2 =An и C2 · D2 = Bn . В результате получим последовательность решенийуравнения (102)un(x, t) = (An cos aλn t + Bn sin aλn t) sin λn x, n ∈ N.Так как уравнение (102) является линейным, можно предположить,что его решение может быть найдено в виде рядаu(x, t) =∞Xun(x, t) =n=1∞X(An cos aλn t + Bn sin aλn t) sin λn x.(108)n=1Предположим, что этот ряд сходится и сумма его является решениемуравнения (102).
Краевые условия (103) удовлетворены, поскольку именно так мы искали λn. Допустим теперь, что ряд (108) можно почленнодифференцировать по t. Будем иметь:∞X∂u(x, t)=(−An aλn sin aλn t + Bn aλn cos aλn t) sin λn x.∂tn=1(109)Подставим t = 0 в ряды (108) и (109). Учитывая начальные условия(104), будем иметь∞Xn=1An sin λn x = ϕ(x),∞Xn=183Bn aλn sin λnx = ψ(x).Отсюда, если функции ϕ(x) и ψ(x), распространенные на отрезок[−l, 0) нечетным образом, удовлетворяют условиям разложимости в рядФурье, мы получаем окончательно с учетом формул для коэффициентовтригонометрического ряда ФурьеAn =2lZlϕ(x) sin λn x dx,Bn =02aλn lZlψ(x) sin λnx dx.(110)0Учитывая вышеизложенное, в том числе формулу (107) для λn , можносформулировать следующую теорему.Теорема 42. Если ϕ(x) дважды дифференцируемая, а ψ(x) дифференцируемая функции, причем производные ϕ′′ (x), ψ′ (x) имеют ограниченную вариацию на отрезке [0, l], то ряд∞ Xanπtanπtnπxu(x, t) =An cos+ Bn sinsin,llln=1где коэффициенты An и Bn находятся по формулам2An =lZlnπxϕ(x) sindx,l2Bn =anπ0Zlψ(x) sinnπxdxl0является решением уравнения колебания струны (102) с краевыми условиями (103) и начальными условиями (104).Замечание 30.
Теорема 42 справедлива и при более слабых предположениях относительно функций ϕ(x) и ψ(x).Пример 65. Решить уравнение колебания струны с закрепленнымиконцами при нулевой начальной скорости и начальном профиле, заданном графически.Решение. Так как ψ(x) = 0, то Bn = 0 и решение имеет видu(x, t) =∞XAn cosn=184anπtnπxsin.llИз рисунка можно понять, что начальный профиль аналитически задается следующим образом:hxпри 0 6 x < b , bhпри b 6 x < l − b ,u(x, 0) = ϕ(x) = h(l − x)при l − b 6 x 6 l.bТогда, в силу симметрии начального профиля относительно прямойlx = , коэффициенты An можно считать следующим образом:2An =2lZlϕ(x) sin0nπx4dx =llZb0Zl/2hxnπx4nπxsindx +h sindx.blllbСоответствующие выкладки дают значения4hlbnπnπAn =sin− cos,nπ bnπl2и решением будет∞4h X 1lbnπnπanπtnπxu(x, t) =sin− coscossin.π n=1 n bnπl2llЗанятие № 17Приложение рядов Фурье и интегралов ФурьеУравнение теплопроводностиПусть дан тонкий однородный стержень длины l, расположенный между точками x = 0 и x = l по оси Ox.
Сечение стержня мы считаемнастолько малым, что все точки сечения в каждый момент времени имеют одну и ту же температуру. Боковая поверхность стержня считаетсятеплоизолированной. В начальный момент времени t = 0 дано распределение температуры u(x, 0) = f (x) (0 6 x 6 l) стержня.Температура u(x, t) точки стержня с координатой x в момент времениt удовлетворяет уравнению теплопроводности2∂u2 ∂ u=a,(111)∂t∂x2где a2 = k/(cρ) выражается через физические характеристики веществастержня: k коэффициент внутренней теплопроводности, c теплоемкость, ρ плотность вещества.Уравнение (111) необходимо решать при определенных краевых условиях.
Рассмотрим несколько примеров.85Пример 66. Предположим, что концы стержня погружены втермостат, то есть на них поддерживается постоянная температура, которую можно считать равной нулю (мы всегда можем сделатьзамену u = u1 − T0). Таким образом, надо решить уравнение (111) приначальных условияхu(x, 0) = f (x),f (0) = f (l) = 0,06x6lи краевых условияхu(0, t) = u(l, t) = 0,0 6 t < ∞.Решение. Решим задачу методом Фурье разделения переменных.Если предположить, что u(x, t) = X(x) · T (t), то уравнение (111) принимет видT′X ′′XT ′ = a2 X ′′ T или=.a2 TXЛевая часть последнего выражения не зависит от x, а правая от t,значит, это константа, которую обозначим через −λ2 (случай нулевойи положительной константы можно исключить).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
