Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Полиномы Чебышеваpnn2 2n−1pd1−x( − 2) · n!Tn (x) =· 1 − x2 ·(2n)!dxnL4(x) =(72)1образуют ортогональную систему с весом p(x) = pв про1 − x2странстве L2[−1, 1].60Приведем явные выражения для первых пяти многочленов ЧебышеваT0(x) = 1,T3(x) = 4x3 − 3x,T1(x) = x,T2(x) = 2x2 − 1,T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1.Задачи для самостоятельного решения62.
Доказать, что линейными являются следующие пространства:a) C[a,b] = {f : [a, b] → R, f непрерывна};b) Pn [a, b] = {f : [a, b] → R, f − многочлен степени 6 n};Rb 2c) L2[a, b] = {f : [a, b] → R, f (t) dt < +∞}.a63. Доказать, что в пространстве L2[a, b] операция (66) является скалярным произведением, отображение (65) нормой, аvu buZ2uρ (f, g) = f − g L2 = t f (t) − g(t) dtaявляется метрикой на L2[a, b].64. Доказать, что ортогональная система в нормированном пространстве является линейно независимой.65. Доказать ортогональность систем тригонометрических функций(68), (69), (70). Найти нормы этих функций.66. Доказать, что система T -периодических функций()eikωt2πp, ω=TT k∈Zобразуют ортонормированный базис в L2 − T2 , T2(73)67.
Доказать, что система полиномов Лежандра (71) образуютортоq 2гональную систему в L [−1, 1] и показать, что L =.2n L22n+168. Доказать, что система полиномов Чебышева (72) образуют орто1гональную систему с весом p(x) = pв пространстве1 − x2L2[−1, 1].Занятие № 13Разложение функций в ряд Фурье61Определение25. ОбобщеннымрядомФурьефункцииf (t) ∈ L2 [a, b] по ортогональной системе функций {gk (t)}, k ∈ N называется функциональный рядc1 · g1(t) + c2 · g2 (t) + . . .
+ cn · gn (t) + . . . =коэффициенты которого находятся по формуламck =(f, gk ),kgk k2∞Xk=1ck · gk (t) ,k = 1, 2, . . . , n, . . . .(74)(75)Если ряд (74) составлен по функции f (t), будем записывать это какf (t) ∼∞Xk=1ck · gk (t) .Возникают вопросы сходимости ряда (74) к функции f (t).Если f (t), gk (t) ∈ L2 [a, b], тоvu buZuρ(f (t), Sn(t)) = f (t) − Sn (t)L2 = t [f (t) − Sn2 (t)]2 dt.aПоэтому можно дать следующее определение.Определение 26. Среднеквадратичной ошибкой ∇2n назовем величину, определенную равенством2∇2n = f (t) − Sn (t) =Zba2f (t) − Sn2 (t) dt,где Sn (t) частичная сумма ряда (74).Иногда вводят относительную среднеквадратичную ошибку2∇n1=b−aZba2f (t) − Sn2 (t) dt.Теорема 35 (Парсеваля).
Пусть∇2nnX2= f (t) − Sn (t) , где Sn (t) =ck · gk (t)k=1для некоторого ряда. Тогда ∇2n достигает минимума в случае ряда Фурье, то есть в случае, когда коэффициенты ck находятся по формулам(75).62При доказательстве теоремы Парсеваля (см.
задачу 69) возникаеттождество Бесселя2nnX2 X22 f (t) − = f (t) −,ag(t)c·g(t)(76)kkkkk=1k=1которое позволяет записать:1) формулу для вычисления ∇2n с помощью коэффициентов ряда Фурьеn22 X2(77)∇n = f (t) −c2k · gk (t) ;k=12) неравенство Бесселяn2 X2f (t) >c2k · gk (t) .(78)k=1В случае когда коэффициенты ck вычисляются по формулам (75),выполняется равенство∞22 Xf (t) =(79)c2k · gk (t) ,k=1называемое равенством Парсеваля.Замечание 20.
В случае ортонормированной системы функций{gk (t)} равенство Парсеваля принимает более простой вид∞Xf (t)2 =c2k ,k=1что является обобщением теоремы Пифагора на бесконечномерные пространства.Замечание 21. Равенство Парсеваля является условием полноты системы функций {gk (t)}.Действительно, переходя в тождестве Бесселя (76) к пределу при n →∞, получим эквивалентность условийnX=0lim f(t)−c·g(t)(80)kkn→∞k=1иlimn→∞nX2f (t)2 −c2k · gk (t)k=1!= 0,а выполнение условия (80) влечет за собой полноту рассматриваемойсистемы {gk (t)}, k ∈ N.63Определение 27.
ИнтегралE=Zba2f 2(t) dt = f (t)L2в радиотехнике называют энергией сигнала.Равенство Парсеваля (79) позволяет записать энергию в видеE=∞Xk=12c2k · gk (t) .Определение 28. ОтношениеE1=b−ab−aZbf 2(t) dtaназывают средней на [a, b] мощностью сигнала f (t).Задачи для самостоятельного решения69. Доказать теорему Парсеваля 35.nX22Указание. Вычислить ∇n = f (t) −ak gk (t) . Учитывая ортоk=1гональность системы {gk (t)}, используя аксиомы скалярного произведения, показать, что ∇2n будет наименьшей при ak = ck .70.
Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра на отрезке[−1, 1] многочлен 2x3 − 3x2 + 4x − 5.71. Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева на отрезке[−1, 1] многочлен x3 − 2x2 + 3x − 4.Занятие № 14Тригонометрические ряды ФурьеГармонический анализРазложение по тригонометрическим системам функцийСреди ортогональных систем функций естественным образом выделяются тригонометрические системы (68–70), которые позволяютлюбой периодический процесс (колебание) разложить в сумму гармонических колебаний.64Для системы функций (70) ряд Фурье может быть записан в виде∞a0 X+an cos nt + bn sin nt,f (t) ∼2n=1где коэффициенты an и bn вычисляются по формуламa0 =1πZπf (t) dt, an =−π1bn =πZπ1πZπf (t) cos nt dt, n = 1, 2, 3, .
. . ,(81)−πf (t) sin nt dt, n = 1, 2, 3, . . . ,(82)−πфункция f (t) задана на отрезке (−π, π].Для более общего случая системы (69) получаем∞nπtnπta0 Xf (t) ∼+an cos+ bn sin,2lln=1где коэффициенты an и bn вычисляются по формуламa0 =1lZlf (t) dt, an =−l1lZlf (t) cosnπtdt, n = 1, 2, 3, .
. . ,l(83)−lbn =1lZlf (t) sinnπtdt, n = 1, 2, 3, . . . ,l(84)−lфункция f (t) задана на отрезке (−l, l].Замечание 22. Если рассматривать f (t) как T -периодическую2πфункцию с периодом T = 2l, ввести обозначение ω =, учесть, чтоTдля T -периодической функции справедливо равенствоZTf (t) dt =c+TZc0f (t) dt ∀c ∈ R ,можно получить следующую форму ряда Фурье:∞a0 Xf (t) ∼+an cos nωt + bn sin nωt,2n=165(85)2a0 =Tc+TZ2f (t) dt, an =Tcc+TZf (t) cos nωt dt, n = 1, 2, 3, . . . ,(86)c2bn =Tc+TZ(87)f (t) sin nωt dt, n = 1, 2, 3, .
. . ,cгде cпроизвольное вещественное число.Представление периодической функции f (t) в виде ряда Фурье (85)можно записать как сумму гармонических колебаний (гармоник) следующим образом:∞a0 Xf (t) ∼+an cos nωt + bn sin nωt =2n=1∞a0 X=+An cos (nωt − ϕn ) =2n=1(88)∞a0 X=+An sin (nωt + ψn ) ,2n=1где An =pa2n + b2nамплитуда, nω(89)частота, ϕn = arctgbn,ananсдвиги по фазе соответствующей гармоники.bnВ задаче 66 мы доказали ортонормальность системы функций (73).Теперь, если ввести обозначение T = 2l, ряд Фурье для T -периодической функции f (t) можно записать в комплексной форме:ψn = arctgf (t) ∼∞Xn=−∞cn einωt,1где cn =2lZlf (t)e−inωt dt,n ∈ Z.(90)−lЗамечание 23. T -периодическая функция (сигнал) f (t) полностьюопределяется своими спектрами: амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)набором {An}n∈N и фазо-частотной характеристикой(ФЧХ) набором {ϕn}n∈N . Поэтому в технических дисциплинах разложение функции в тригонометрический ряд Фурье называют спектральным гармоническим анализом.Вопросы сходимости тригонометрических рядов66Если T -периодическая функция f ∈ L2 [−l, l], то ее ряд Фурье сходится в среднем квадратичном, т.
е.limn→∞Zl[f (t) − Sn (t)]2 dt = 0,−lгде Sn (t) частичная сумма ряда Фурье (см. замечание 21 на стр. 63).Полнота системы тригонометрических функций доказывается в курсахфункционального анализа.Однако с точки зрения применения рядов Фурье важно найти условия, которые бы гарантировали сходимость ряда Фурье не только в среднем, но и поточечно, а, возможно, и равномерно. Отметим, что самыепростые из этих условий формулируются достаточно сложно, поэтомуприведем самые слабые из них. Для тех функций (сигналов), которыемы будем рассматривать, этих условий будет достаточно.Рассмотрим достаточный признак поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье.Теорема 36 (Дирихле).
Если T -периодическая функция f (t) на замкнутом промежутке длины T удовлетворяет следующим условиям:1) f (t) либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрывапервого рода;2) f (t) либо монотонна, либо имеет конечное число максимумов иминимумов,то:1) ряд Фурье сходится для каждого значения t;2) сумма ряда Фурье равна f (t) во всех точках непрерывности этойфункции;3) в точках разрыва первого родаS(t0) =1[f (t0 + 0) + f (t0 − 0)] ,2где t0точка разрыва, S(t0)сумма ряда Фурье в этой точке,f (t0 +0) и f (t0 −0) соответственно правый и левый пределы функцииf (t) в точке t0 .Приведем достаточный признак равномерной сходимости.Теорема 37.
Если функция f (t), заданная на отрезке [−l, l], непрерывна на этом промежутке, имеет в нем ограниченное изменение и,67кроме того, f (−l) = f (l), то ее ряд Фурье сходится на всем промежутке равномерно.Замечание 24. Под функцией ограниченного изменения (вариации)на отрезке [a, b] понимается функция, для которой существует такое чисn Pf (tk )−f (tk−1) 6 A < ∞ для любого разбиения отрезкало A > 0, чтоk=1[a, b]a = t0 < t1 < t2 < . . . < tk < . . .
< tn = bпри любом, сколь угодно большом n. В частности, такими будут функции, удовлетворяющие второму условию теоремы Дирихле о поточечнойсходимости.Для многих задач математической физики и технических приложенийрядов Фурье важны вопросы почленной дифференцируемости, интегрируемости и скорости сходимости рядов Фурье.Определение 29. Функция f (t) называется абсолютно интегрируемой на отрезке [a, b], если существуют оба интегралаZlZlf (t) dt−l−lf (t) dt.Теорема 38. Если f (t) абсолютно интегрируема на [−l, l], то интеграл от нее получается почленным интегрированием ряда Фурье, тоесть для любых t1 , t2 таких, что −l 6 t1 < t2 6 l, справедливоZt2t1f (t) dt =Zt2t1∞ Zt2 Xa0nπtnπtan cosdt ++ bn sindt.2lln=1t1Замечание 25.
Наиболее примечательно в предыдущей теореме то,что она справедлива без каких-либо дополнительных предположений,кроме абсолютной интегрируемости f (t). Не делаются предположениядаже о сходимости ряда Фурье для f (t).Теорема 39. Пусть функция f (t) непрерывна на [−l, l], удовлетворяет условию f (−l) = f (l) и имеет, за исключением, быть может,конечного числа точек, производную f ′ (t). Пусть f ′(t) абсолютно интегрируема на [−l, l]. Тогда ряд Фурье для производной f ′(t) можетбыть получен из ряда Фурье функции f (t) почленным дифференцированием.68Замечание 26. В предыдущей теореме утверждается лишь только,что ряд Фурье для f ′(t), составленный непосредственно по соответствующим формулам для коэффициентов, совпадает с рядом, полученнымдифференцированием ряда для f (t). Сходимость этого ряда к f ′ (t) необходимо устанавливать отдельно, пользуясь какими-либо достаточнымипризнаками.Теорема 40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
