Буров А.Н. - Практикум по спецглавам математики (1250077), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти решения дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями и графически заданной правой частью:52a) x′′ + 9x = f (t), x(0) = 0, x′ (0) = 1,b) x′ + x = f (t), x(0) = x′ (0) = 0,c) x′′ + x = f (t), x(0) = x′(0) = 0,d) x′′ − x′ = f (t), x(0) = x′(0) = 0,53. Найти решения однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, применяя теорему о дифференцированииизображения:a) tx′′ + (2t − 1)x′ + (t − 1)x = 0 ;b) x′′ + (t + 1)x′ + tx = 0, x(0) = 1, x′(0) = −1 .54. Найти решения дифференциальных уравнений, применяя формулу Дюамеля:1a) x′ − x = t,x(0) = x′(0) = 0 ;e +3e2tb) x − x =,(1 + et )2′′′x(0) = x′(0) = 0 ;c) x′′ − x′ =1,1 + etx(0) = x′(0) = 0 ;d) x′′ + x =1,2 + cos tx(0) = x′(0) = 0 ;2e) x′′ + x = e−t ,x(0) = x′(0) = 0 .55.
Дифференциальное уравнение вибратора при наличии возмущающей силы f (t) имеет вид1x′′ + 2nx′ + k 2 x = f (t), k > n.m′Начальные условия x(0) = x (0) = 0. Найти x(t).5356. К цепи, состоящей из самоиндукции L, сопротивления R и ёмкости C, включённых последовательно, в момент времени t = 0 приложенаЭДС E = const.
В начальный момент ток I0 = 0, заряд Q0 = 0. Найтиток I в момент времени t из уравненияLdIQdQ+ RI + = E, где I =.dtCdt57. Дифференциальное уравнение свободных колебаний вибраторапри наличии силы сопротивления, пропорциональной первой степенискорости, имеет видmx′′ + βx′ + cx = 0 ,начальные условия: x(0) = x0, x′ (0) = x′0. Найти x(t).58.
Найти решения интегральных уравнений:Zta) y(t) = at + sin(t − τ) · y(τ) dτ ;0t2b) y(t) = +2Ztet−τ y(τ) dτ .059. Найти решения интегро-дифференциальных уравнений:Zta)et−τ sin(t − τ) · x(τ) dτ = x′′ − x′ + et (1 − cos t), x(0) = x′(0) = 1 ;0b)Zt0sh(t − τ) · x(τ) dτ = x′′ − x′ +1t sh t, x(0) = 1, x′ (0) = 0.260. Найти решения систем дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями: ′x + y = 0,x(0) = 1,a)′x + y = 0,y(0) = −1; ′3x + 2x + y ′ = 1,x(0) = 0,b)′′x + 4y + 3y = 0,y(0) = 0;x′ − x − 2y = t,x(0) = 2,c)′−2x + y − e = t,y(0) = 4; ′′2x + x − y ′ = −3 sin t, x(0) = 0, x′ (0) = 1,d)x + y ′ = − sin t,y(0) = 0;54e)f)g)x′′ − y ′ = 0,x − y ′′ = 2 sin t, ′x =y′ = ′z = ′′ x + y′y ′′ + z ′ ′′z −xx(0) = −1, x′ (0) = 1,y(0) = 1, y ′ (0) = 1;x − y + z,x + y − z,2z − y,x(0) = 9,y(0) = 5,z(0) = 7;x(0) = 0, x′ (0) = −1,y(0) = 0, y ′ (0) = −1,z(0) = 0, z ′ (0) = 1.= 2 sin t,= 2 cos t,= 0,61.
Найти общее решение ′xy′ ′zсистемы дифференциальных уравнений= 2x − y + 2z,= x + 2z,= −2x + y − z.553Ряды Фурье и интегралы ФурьеЗанятие № 12Линейные нормированные пространстваОпределение 19. Линейное пространство L называется нормированным, если определено отображение k k : L → R, называемое нормойвектора, такое, что: 1) x > 0 (∀x ∈ L) , при этом x = 0 ⇐⇒ x = 0; 2) λx = |λ| · x(∀λ ∈ R, x ∈ L)свойство однородностинормы; неравенство треуголь3) x + y 6 x + y (∀x ∈ L, y ∈ L)ника.Определение 20.
Множество M называется метрическимпространством, если определено отображение ρ : M × M → R, называемое расстоянием между точками множества M или метрикойна множестве M, удовлетворяющее следующим аксиомам:1) ρ (x, y) > 0 (∀x, y ∈ M), при этом ρ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = yрасстояние не может быть отрицательным, а равно нулю в том итолько в том случае, когда точки пространства, между которымиизмеряется расстояние, совпадают;2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (∀x, y ∈ M)симметричность расстояния(расстояние от точки x до точки y равно расстоянию от точки y доточки x);3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (∀x, y, z ∈ M)угольника.неравенство тре-Теорема 33. Нормированное пространство L можно рассматривать, как метрическое пространство, если метрику определить равенством:ρ (x, y) = x − y (∀x, y ∈ L) .(60)Замечание 14. Норма вектора из произвольного линейного пространства является обобщением понятия длины, или модуля, вектора двумерного или трехмерного векторного пространства.Действительно, qa = a = a2 + a2 + a2 , где a = a1 i + a2 j + a3 k = {a1 , a2, a3 } .12356Замечание 15.
Формула (60) обобщение известной формулы длярасстояния между концами векторов на плоскости или в пространстве, а−−→−−→именно, если a =OA= {a1 , a2, a3 }, b =OB= {b1, b2, b3}, то, как известно, −−→ pAB = b − a = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 .Пример 51. Арифметическое линейное пространствоRn = {x = (x1, x2, . .
. , xn) : x1 ∈ R, x2 ∈ R, . . . , xn ∈ R}является нормированным пространством с нормойqkxk = x21 + x22 + . . . + x2nи метрическим пространством с метрикойpρ (x, y) = ky − xk = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + . . . + (yn − xn )2 .Мы в дальнейшем будем рассматривать функциональные пространства F = {f : I → R} пространства функций, заданных на интервалеI ⊆ R. Операции сложения и умножения на число в этих пространствахопределим как:(f + g)(t) = f (t) + g(t); ∀f, g ∈ F ; ∀t ∈ I;(λ · f )(t) = λ · f (t); ∀f ∈ F ; ∀λ ∈ R; ∀t ∈ I.(61)(62)Пример 52. Линейное пространство C[a,b] непрерывныхна функцийотрезке [a, b] станет нормированным, если ввести норму f C следующим образом: f = max f (t)∀f∈C.(63)[a,b]C[a,b]Замечание 16.
Как показывает следующий пример, на одном и томже линейном пространстве можно ввести различные нормы.Пример 53. Так как непрерывные функции на замкнутом отрезкеявляются интегрируемыми в собственном смысле, на пространстве C[a,b]можно ввести норму f L1 следующим образом: f =L1Zbaf (t) dt;57∀f ∈ C[a,b] .(64)Пример 54. Рассмотрим пространство L2[a, b] функций с интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке [a, b] квадратом, то есть функций f (t), для которыхZbf 2(t) dt < +∞ .a Тогда на L2 [a, b] можно ввести норму f L2 следующим образомvu buZ f = ut f 2(t) dt(∀f ∈ L2[a, b]) .(65)L2aОпределение 21.
Последовательность {xn}n∈N элементов метрического пространства M называется сходящейся к элементуx0 ∈ M в метрике пространства M, если lim ρ (xn, x0) = 0.n→∞ Замечание 17. Сходимость в пространстве L2[a, b] с нормой f L2называется сходимостью в среднем квадратичном.Определение 22. Линейное пространство E называется евклидовым пространством, если на нем может быть определено скалярноепроизведение, то есть отображение ( , ) : E × E → R , удовлетворяющее аксиомам:1) (x, y) = (y, x)произведения;(∀x, y ∈ E)2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)скалярного произведения;3) (λx, y) = λ · (x, y)ного произведения;коммутативность скалярного(∀x1 , x2, y ∈ E)(∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R)аддитивностьоднородность скаляр-4) (x, x) > 0, при этом (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0определенность скалярного произведения.положительнаяЗамечание 18.
Так определенное скалярное произведение являетсяобобщением скалярного произведения векторов двумерного или трехмерного векторного пространства:(a, b ) = a · b = | a | · | b | · cos ∠ (a, b ) .58Пример 55. На арифметическом векторном пространстве Rnскалярное произведение можно ввести с помощью равенства:(x, y) = x1 y1 + x2y2 + . . . + xn yn =nXxk yk ,k=1где x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn , y = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ Rn .Теорема 34. Отображение евклидового пространства E в множество вещественных чисел, определенное равенством pf = (f, f )(∀f ∈ E ) ,является его нормой.Пример 56. Скалярное произведение в пространстве L2[a, b] определяется как(f, g) =Zbaf (t) · g(t) dt∀f, g ∈ L2[a, b] .(66)или, в более общем случае, как(f, g) =Zba∀f, g ∈ L2[a, b] ,f (t) · g(t) · p(t) dtгде p(t) > 0 ∀t ∈ [a, b]называемая весовой.(67)некоторая, заранее определенная функция,Определение 23.
Система функций {ϕk }k∈N некоторого функционального пространства F называется базисом, если:1) любая конечная подсистема {ϕk }, k = 1, 2, . . . , n образует линейно независимую систему;2) система {ϕk }k∈N полна в F , то есть∀f ∈ F ∃{ak }k∈N : lim ρ f,n→∞nXk=1ak · ϕk!= 0,то для любого элемента f ∈ F существует последовательность линейных комбинаций элементов базиса, сходящаяся к нему в метрикепространства F .59Замечание 19. Функциональные пространства бесконечномерны, поэтому в определении 23 приходится таким сложным образом формулировать 2-й пункт аналог того, что в конечномерном пространствелюбой элемент представляется линейной комбинацией базисных.Определение 24.
Система функций {ϕk }k∈N некоторого функционального евклидова пространства F называется ортогональной, еслиϕk 6= 0 ∀k ∈ N и (ϕi, ϕj ) = 0 при i 6= j. Если, дополнительно, ϕk = 1∀k ∈ N, система называется ортонормированной.Пример 57. Система функций2πt2πt, sin n1 , cos nb−ab − a n∈N(68)является ортогональной системой в пространстве L2 [a, b]метрическая система.В частности, важными случаями являютсяnπtnπt1 , cos, sinна L2[−l, l]lln∈Nи{1 , cos nt , sin nt}n∈N на L2 [−π, π]Пример 58. Полиномы Лежандра(n )n 2dx−11L0(x) = 1 , Ln (x) = n ·2 n!dxnтригоно-(69)(70)(71)n∈Nобразуют ортогональную систему в пространстве L2[−1, 1].Приведем явные выражения для первых пяти многочленов ЛежандраL0(x) = 1;L2(x) =L1(x) = x;13 2x − ;22L3(x) =5 33x − x;2235 415 2 3x −x + .848Пример 59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
