2019 лекции 8-10 (1247449), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Полное число способов есть 23 = 8 – так как каждый шар можно поместить либослева, либо справа. При этом возможны комбинации, показанные на данном рисунке;каждая из них соответствует числу шагов влево и вправо. Из рисунка видно, что27вероятность того, что будет сделано 3 шага влево есть 1/8, вероятность 2 шагов влево иодного шага вправо равна 3/8 и так далее.3 шага влево, смещение на -3а2 шага влево, 1 вправо, смещение на - а1 шаг влево, 2 вправо, смещение на + а3 шага вправо, смещение на + 3аРис. 10.4.В общем случае N шаров всего 2N способов их разместить по двум ячейкам – таккак каждый шар можно поместить либо слева, либо справа. Нам нужно посчитать числоспособов ( N , m) , когда в левой ячейке окажется m шаров. Тогда вероятность этогособытия будет q( N , m) 1( N , m) . Пусть N шаров уже размещены так, что m шаров2Nнаходятся слева, и соответственно N – m справа.

Поменяем местами любые два шара, отэтого ничего не изменится. Один выбранный шар можно поменять с другими N способами(если ни с кем не менять, это тоже один из способов). Потом меняем второй шар, такможно сделать уже только N – 1 способом. И так далее, всего получится N(N-1)(N-2)…1 =N! способов. Но перемена внутри каждой ячейки ничего не дает, поэтому( N , n) N!, m  0,1,...N . .m!( N  m)!(Напомним, что 0! = 1.) В комбинаторике это число ( N , n) называется числом сочетанийNиз N по m, обозначается как C Nm или   .mОтметим, что бином Ньютона естьNN!a mb N  m .m  0 m !( N  m)!( a  b) N  (10.10)Поэтому число сочетаний из N по m называется еще биномиальным коэффициентом (из Nпо m).Из (10.10) при a = b =1 получаемNN! m!( N  m)!  2Nm028Отсюда следует, что для вероятности состояния с заданным mq( N , m ) 11N!( N , m)  NN22 m!( N  m)!(10.11)Выполняется, как это и должно быть, нормировкаN q( N , m )  1(10.12)m 0Пройденный путь определяется разницей между числом шагов вправо и влево, тоесть числом n = (N – m) – m = N – 2m.

Число n может быть как положительным, так иотрицательным, и что оно меняется с шагом ±2. Тогдаq( N , m )  p N ( n ) N!,2 ( )!( N2n )!NN n2n   N ,(  N  2),...( N  2), N .Формула Стирлинга в простом ее приближении дает значение факториала в видеln( L!)  L ln L  L . Тогдаln( pN (n ))  N ln N  N2n ln N2n  N2n ln N2n  N  N2n  N2n  N ln 2 N ln N  N2n ln( N2 (1  Nn ))  N2n ln( N2 (1  Nn ))  N ln 2  N2n ln(1  Nn )  N2n ln(1  Nn )Cчитая, что n << N, в последнем выражении проводим разложение логарифмов в рядТейлора до слагаемых второго порядка малости по n/N, и, пренебрегая членами третьегопорядка малости, получаем:ln( pN (n))   N2n (  Nn  12n2N2)  N2n ( Nn  12n2N2)n2.2NПри использовании более точной формулы Стирлинга ln( L!)  L ln L  L  ln 2 L ваналогичных вычислениях должно получиться:1n2p N ( n) exp( ).2N2N(10.13)Хотя эта формула была выведена в предположении малых n << N, ее можноиспользовать и при любых n.

Действительно, при n, сравнимых с N, значение (10.13)29становится неотличимым от нуля, и точный вид функциональной зависимости от nстановится уже неважным.При изменении n на величину своего шага ±2 при n << N показатель экспоненты в(10.13) меняется мало: его изменение есть разность (n ± 2)2/2N и n2/N , равная ± 2n/N +2/N<< 1. Малость изменения pN (n) на шаге означает, что целочисленность n перестаетиметь значение, и формально n можно считать непрерывной переменной.

Перейдем отпеременной n к пройденному пути х = nа, где а – величина шага. Затем введем среднеевремя между шагами τ, и от числа шагов N перейдем к времени наблюдения t = Nτ. При t>> τ дискретностью t можно пренебречь и также считать ее непрерывной переменной.Тогда при замене в (10.13) n на х/а и N на t/τ и при N  получаем вероятностьнахождения частицы в момент времени t в интервале расстояний от x до x + dx:x2p ( x, t ) exp( ),4 Dt4 Dt1(10.14)где введен коэффициент D = a2/2τ. Функция p( x, t ) определяет вероятность найти вмомент времени t частицу в интервале от х до x + dx:dW ( x, t )  p( x, t )dxи имеет поэтому смысл функции распределения по величинам х. Причем при всех t p( x, t )dx  1 .То есть полная вероятность найти частицу всегда равна единице.Легко убедиться, чтоx 2x2p( x, t )dx  2 Dtчто соответствует соотношению Эйнштейна–Смолуховского (10.8).

Таким образом,введенный здесь коэффициент D в точности соответствует коэффициенту диффузии.Полученный результат (10.14) является частным случаем так называемойцентральной предельной теоремы теории вероятностей, которая утверждает, что суммадостаточно большого количества независимых случайных величин, имеющих примерноодинаковый масштаб изменения, распределена по нормальному закону.При малых t распределение (10.14) вырождается в δ-функцию относительнокоординаты х. Данный результат физически понятен: в нашем рассмотрении в начальныймомент времени частица находится в начале координат.Функция распределения (10.14) получена здесь для модели одинаковых шагов.Однако она допускает обобщение для движения реальной броуновской частицы в среде.Действительно, время наблюдения можно разбить на интервалы, между которыми30корреляция между последовательными перемещениями теряется, а при переходе кнепрерывным переменным величина каждого шага перестает иметь значение.10.6.

Нестационарная диффузия, уравнение диффузииДиффузионные потоки ранее в п. 8.2 рассматривались либо в некоторыйконкретный момент времени, либо в стационарных условиях, когда на границахискусственно поддерживается некоторая разность концентраций. В общем же случаедиффузия приводит к нестационарной ситуации – к изменению со временем плотностичастиц в данной точке пространства.

Для такой ситуации надо вводить для плотностичастиц время t как вторую переменную, и говорить соответственно о плотности n( x, t ) .Заметим, что выше такой случай как раз и рассматривался – для начального условияn( x,0)  N ( x) , где N – общее число частиц (причем n( x, 0)dx  N ).Для описания одномерной диффузии в общем случае необходимо рассматриватьпотоки через стенки тонкого параллелепипеда с площадью основания S и толщиной dx, вкоторый входят и выходят через его грани два разных диффузионных потока – см. рис.10.5.Рис. 10.5.Изменение числа частиц в объеме Sdx определяется изменением плотности n( x, t ) в этомобъеме: dn( x, t ) Sdx. С другой стороны, это изменение за время dt определяетсяпроизведением разности диффузионных потоков слева и справа на величину Sdt:dn( x, t )Sdx  ( j ( x, t )  j ( x  dx, t ))SdtОтсюда получаем:n( x, t ) j ( x, t )  j ( x  dx, t )j  n( x, t )  Dtdxx xx.(10.15)Это так называемое уравнение диффузии (еще его называют вторым законом Фика).

Вслучае, когда коэффициент диффузии D от координат не зависит, имеем31n2nD 2 .tx(10.16)n 0, n( x, t )  n( x) , и решение (10.16) естьtОтметим, что в стационарном случаеn( x)  C1  C2 x , где C1 ,C2 - постоянные интегрирования, которые находятся из граничныхусловий.Пусть теперь задача нестационарная, и пусть частицы в начальный момент времениNсосредоточены в начале координат, т.е. n( x,0)   ( x ) . Прямой подстановкойSубеждаемся, что полученное выше решение задачи (10.14) для диффузии из началакоординат является также и решением уравнения (10.16): то есть для любого моментавремени t и любой координаты х имеемn ( x, t ) NS14 Dtexp( x2)4 Dt.(10.17)На рис. 10.6 показана эволюция n( x, t ) в три последовательные момента времени,t0, 2t0, 3t0 (начальная дельта-функция тоже условно изображена в виде стрелки).n(x,t)Рис.

10.6.-4-2024xВеличина dW ( x, t ) n( x, t ) Sdxявляется вероятностью найти частицу в моментNвремени t в интервале расстояний от x до x + dx. Из (10.17):dW ( x, t ) 14 Dtexp(x2)dx4 Dt.Для произвольного начального распределения решением диффузионного уравнения(10.16) является свертка( x  x)2n( x, t )  n( x,0) exp( 4Dt )dx4 Dt 1(10.18)32.

Характеристики

Список файлов лекций