2019 лекции 8-10 (1247449), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если разделить егона плотность вещества, получится кинематический коэффициент вязкости : = /mn = D.(8.8)Отметим, что в газе  не зависит от его плотности, так как   1/( n ).8.5. Коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости в идеальном газеДля идеального газа возможен более точный расчет коэффициентов диффузии,теплопроводности и вязкости. Из общего потока молекул, пролетающих сквозь выбранное6нами сечение, выделим те, что движутся к нему с абсолютной скоростью v снаправлением внутри телесного угла d  sin  d d , где θ – угол между направлениемдвижения и осью х – см.

рис. 8.4. Причем из этих молекул выделим дополнительноподансамбль таких, которые испытали последнее столкновение на расстоянии r отвыбранной точки наблюдения (рис. 8.4), вероятность чего есть h(r )dr , где h(r ) –распределение по длинам пробега (5.7). Плотность молекул в точке последнегостолкновения при этом есть n( x  r cos ) . Дифференциальную плотность потокавыбранных таким образом молекул обозначим как dj (v , r ) , она равна произведениюизвестной нам дифференциальной плотности вида (2.5) на вероятность h(r )dr :dj (v , r )  v cos  n( x  r cos  )dW (v )1sin  d d h( r )dr4yrxvzРис. 8.4Так как величина свободного пробега  мала по сравнению с макроскопическимимасштабами, и справедливо поэтому разложениеn( x  r cos  )  n( x) dnr cos  ,dxто тогда имеем:dj (v , r )  vdW (v)ddn{n( x)cos sin  d h(r )dr  cos 2 sin  d rh(r )dr} .4dxДля вычисления полного потока необходимо теперь провести все необходимыеинтегрирования.

Учитывая, что2 vdW (v)  v ,  d  2 ,  cos sin  d  0 ,  cos0002 sin  d  2 / 3 , rh(r )dr   ,0получим:7j1 dnv .3 dxОтсюда видим, что поток определяется выражением вида (8.3) с коэффициентомдиффузии1D  v .3(8.9)От сделанной выше приблизительной оценки точный результат (8.9) отличаетсямножителем 1/3.Сделаем численные оценки коэффициента диффузии для азота при нормальныхусловиях. Здесь длина свободного пробега 0,6∙10–5 см, средняя скорость 4,5∙104 см/с.Отсюда D = 0,09 см2/с.Расчеты коэффициентов теплопроводности и вязкости в идеальном газе можно такжепровести аналогично описанной схеме. Для определения потока тепла вместо n(x) здесьнеобходимо использовать ncV / N A  T ( x) .

Для коэффициента теплопроводности тогдаполучимкncV1 ncVDv .NA3 NA(8.10)Для вязкости в идеальном газе вместо n(x) необходимо в расчетах использовать mnu(x) .Тогда соответственно имеем13  mnv  .(8.11)В идеальном газе коэффициент кинематической вязкости  = /mn совпадает скоэффициентом диффузии.Отметим, что коэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости в газесвязаны между собой.

Действительно, коэффициенты температуропроводности (8.6) икинематическая вязкость (8.8) просто равны коэффициенту диффузии. Причиной такогосовпадения является то, что в основе всех этих явлений лежит одна и та же причина –тепловое движение молекул.Однако отметим также, что, ввиду приближенности проведенного здесьрассмотрения, не надо переоценивать точность полученных формул. Например, изсравнения (8.10) и (8.11) следует, что отношение коэффициентов теплопроводности ивязкости естьcк /  VmN AЭксперимент однако показывает, что это отношение для благородных газов на самом делев 2.5 раза больше. Одной из причин такого расхождения является различие размеровобласти локального равновесия для процессов теплопроводности и вязкости.8Действительно, в первом случае при соударениях молекул релаксирует их энергия, вовтором – импульс. В этих двух случаях эффективность соударений для установленияравновесия может быть разной.Точными остаются законы Фика, Фурье и Ньютона.

Фигурирующие в этих законахкоэффициенты диффузии, теплопроводности и вязкости в большинстве случаевизмеряются экспериментально. При этом для газов можно пользоваться приближеннымиоценками на основе указанных формул.8.8. Теплопроводность ультраразреженного газаКак было отмечено, коэффициент теплопроводности не зависит от плотности газа, таккак уменьшение плотности при понижении давления компенсируется увеличением длинысвободного пробега молекул. В результате поток тепла между двумя параллельнымистенками, имеющими различные фиксированные температуры, не зависит от давлениягаза. Однако ясно, что при полном отсутствии газа между стенками потока тепла не будет.Это противоречие снимается тем, что изложенная выше теория была развита впредположении о существовании локального термодинамического равновесия, чтовозможно лишь при выполнении условия   l , где l – характерный линейный размерсистемы.

В разреженном газе это условие выполняться уже не будет. Молекулы будутсталкиваться чаще со стенками сосуда, чем друг с другом. Установление равновесия вподобном ультраразреженном газе (в котором   l ) осуществляется в результатестолкновений его молекул со стенками. Если молекулы газа имеют более высокуютемпературу, то они отдают стенке избыточную энергию. Более холодные молекулы пристолкновении со стенкой приобретают дополнительную энергию.lj1j2Рис. 8.5T1T2Пусть между двумя параллельными стенками, имеющими температуру Т1 и Т2,находится такой ультраразреженный газ (рис. 8.5).

Разность температур будем считатьнебольшой, | T1  T2 | (T1  T2 ) / 2 . В стационарных условиях от стенки к стенкедвижутся молекулы, не сталкиваясь друг с другом. Будем считать, что молекулыобладают средними энергиями, соответствующими температурам стенок, от которых ониотскочили. Учтем также, что молекулы в потоке без столкновений между собой согласно9(2.10) обладают более высокой средней поступательной энергией  на величину kT/2каждая. (Ранее при расчете теплопроводности в плотном газе в п. 8.3 эту добавку мы неучитывали, так как там расчет из-за неопределенности в размере области локальногоравновесия был менее точным, и учет такой добавки означал бы превышение точности.)Здесь можно воспользоваться формулой (2.11) для потока энергии q  J  , учтя при этом,что для многоатомных молекул средняя энергия в потокеc1    V  k  T .

Тогда NA 2  cV 1  k  T1 , а уносят с нееN A 2 падающие на поверхность 2 молекулы приносят энергию  cV 1  k  T2 . Так как падающий поток J в равновесии должен равняться NA 2 энергию потоку исходящему, то создаваемый от поверхности 1 к поверхности 2 поток энергииравенc1 1 c1 q  J  V  k (T1  T2 )   nv  V  k  (T2  T1 )4  NA 2  NA 2 (8.12)1nv . При этом мы пренебрегаем4отличием в средних скоростях падающих и исходящих молекул (скорость v в (8.12)определяется средней температурой (T1  T2 ) / 2 ).

Это можно сделать в силу указаннойЗдесь использовано выражение для общего потока J выше малой разности температур, учет этого отличия приведет к поправкам второгопорядка малости.Таким образом, поток тепла в ультраразреженном газе линейным образом зависитот плотности газа. Если Т2 > T1, то поток на поверхность 2 является отрицательным. Дляповерхности 1 все то же самое, только меняются индексы.Интересно сравнить выражение (8.12) с полученным выше выражениям (8.10) дляпотока тепла в плотном газе:1 ncVdTqdense  v3 NAdxБудем считать, что изменение температуры на расстоянии между стенками l мало, тогда вэтом выражении можно приближенно подставитьрассмотрим одноатомный газ, для которогоdT T2  T1.

Для простых оценокdxlcV3 k . ТогдаNA 21qdense   nkv (T2  T1 )2l(8.13)10В переходном случае, когда   l , (8.13) переходит в (8.12) (где надо положитьcV3 k ).NA 2То есть теоретическое описание обоих предельных случаев – разреженного и плотногогаза – при переходе от одного случая к другому между собой согласуются количественно.8.7. Эффузия, эффект КнудсенаВ главе 2 мы уже рассматривали истечение газа из сосуда через малое отверстие –когда его диаметр и толщина стенки сосуда малы по сравнению с длиной свободногопробега.

Возникающий в таких условиях поток молекул газа называют эффузионнымпотоком, а само явление – эффузией. Величина эффузионного потока определяетсяформулой (2.4):J1nv .4Пусть теперь два сосуда с разными температурами в каждом, Т1 и Т2, разделеныканалом – см.

рис. 8.9.T1p1T2p2T1p1T2p2Рис. 8.6.p1 = p2J1 = J2Если диаметр канала большой (на рис. 8.6 слева), то условием равновесия являетсяравенство давлений в сосудах, р1 = р2, что при разных температурах обеспечиваетсясоответствующей разницей в плотностях газа n1 и n2 (вблизи отверстия при этом будетградиент температуры и плотности).Для малого же диаметра (на рис. 8.6 справа) приравнивать надо не давления, а потоки:11n1v1  n2 v244Тогда условие равновесия принимает вид n1 / n2  T2 / T1 , или, с использованиемуравнения состояния идеального газа:p1 / p2  T1 / T2.(8.14)То есть давление в сосудах в равновесии теперь оказывается разным.11T1pT1 < T 2T2pРис.

8.7. Возникающий при одинаковых давлениях всосудах эффект Кнудсена.J1 > J2Теперь рассмотрим, что произойдет, если слева и справа давления поддерживаютсяодинаковыми, p1  p2  p (температуры по-прежнему разные), - см. рис. 8.7. Этаситуация неравновесная, потоки слева и справа будут разные.

Для потока из i-го сосуда (i= 1, 2) можно написать:Ji 1 pipvi 4 kTiTiоткуда видно, что из холодного сосуда в горячий поток больше, чем наоборот. Явлениеперетекания газа через малые поры при равенстве давлений из холодного сосуда кгорячему называется эффектом Кнудсена.Если между сосудами имеется два канала, с малым и большим диаметрами, возникнетнеравновесная ситуация со стационарным обменом молекулами между сосудами. Такаяситуация демонстрируется в следующем опыте (рис. 8.8). Берется стакан из пористогоматериала в виде необожженной глины; размеры отдельных пор в таком материалесущественно меньше длины свободного пробега молекул в воздухе ( S    6 106см).

Внутрь стакана помещается электрический нагреватель. Воздух из стакана можетвыходить через стеклянную трубку, конец которой опущен в воду. При нагреве воздуха встакане его температура становится выше, чем в атмосфере. Из-за эффекта Кнудсенавоздух начнет поступать внутрь стакана через его поры и затем выходить черезстеклянную трубку и воду в виде пузырьков. Процесс становится стационарным и можетпродолжаться сколь угодно долго.Рис. 8.8Эффект Кнудсена играет значительную роль в природе.

С ним связан обмен воздуха впочве, необходимый для «дыхания» корней растений. Почвенный грунт является12пористым, с малым размером пор. В дневное время воздух прогревается солнечнымилучами, и его температура выше, чем температура почвы. В ночное время воздух быстроохлаждается, его температура становится ниже, чем у почвы. Давление же воздуха ватмосфере и в почве из-за наличия крупных пор всегда одинаково.

Характеристики

Список файлов лекций