2019 лекции 8-10 (1247449), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда разницатемператур по эффекту Кнудсена вызывает потоки воздуха в двух разных направленияхднем и ночью, что и обеспечивает поступление воздуха к корням растений.8.8. Диффузия в кристаллахБольшинство твердых тел имеет кристаллическое строение. (Есть еще аморфныетвердые тела).

Процессы диффузии в кристаллах определяются наличием в них дефектов.Есть два типа дефектов – точечные и линейные. К точечным дефектам относятся вакансиии междоузельные атомы – см. рис. 8.9.Рис. 8.9.Бездефектный кристалл NaCl.Дефекты в виде вакансийВакансия + междоузельный атомЛинейными дефектами являются дислокации – см. рис. 8.10. Они бывают двухтипов – краевая дислокация и винтовая дислокация. В первом случае из структурыкристалла «выпадает» линия атомов, во втором – структура искажается за счетскручивания.Рис. 8.10. Дислокации в кристалле.

Вверху – появлениекраевой дислокации, внизу – винтовой.Наиболее быстро протекает диффузия вдоль линейных дефектов. Однако такаядиффузия ограничена размером дислокации. Для диффузии во всем объеме кристаллаважны вакансии. Рассмотрим механизм диффузии с участием вакансий подробно.Вероятность образования вакансии в узле кристалла определяется равновесиеммежду двумя энергетическими состояниями, отличающимися по энергии на величинуEvacancy. Эта вероятность подчиняется распределению Больцмана; для узла кристалла,соседнего с рассматриваемым атомом, она имеет видWvacancy  s exp(EvacancykT)13где s – число ближайших соседей в решетке. Вероятность перемещения этого атома ввакансию определяется вероятностью преодоления некоторого барьера Em, созданногодругими атомами решетки – см.

рис. 8.11. Здесь можно считать, что имеется аналогия схимической реакцией. Так же как и в (5.11), эта вероятность естьR jump  R0 exp( Em)kTРис. 8.11.Для простоты будем считать диффузию одномерной – то есть диффузияпроисходит вдоль одной оси кристалла. Будем считать, что вдоль этой оси периодрешетки одинаков и равен а. Введем среднюю скорость перескока между узлами решеткисоотношением v jump  aWvacancy R jump . Так же, как и в случае расчета диффузионногопотока в газе (см. п. 8.2), поток через некоторую перпендикулярную выбранной осиплощадку будет определяться произведением средней скорости v и плотности n(х).Необходимо только в (8.1) заменить v на v jump , а λ на а. Важно отметить, что, в отличиеот случая диффузии в газе, аналогичное (8.1) соотношение в рамках рассматриваемоймодели получается не приближенным, а точным. Это является следствиемфиксированности «свободного пробега», равного теперь периоду решетки, и перескоковстрого в одном направлении.

В результате для коэффициента диффузии вместо D  v будем иметь:D  v jump a  a 2Wvacancy R jump  a 2 sR0 exp(EvacancykT) exp(EmE)  D0 exp( act )kTkTгде D0 – предэкспоненциальный множитель, а Eact = Em + Evacancy.То есть диффузия атомов в кристаллах происходит активационным образом приизменении температуры, с энергией активации Eact. Величины D0 и Eact находятся ихэксперимента. Причем такой активационный характер диффузии по вакансионномумеханизму имеет место не только для одномерной, но и для трехмерной диффузии вкристалле.14Глава 9.

Вязкая жидкость9.1. Движение пластины в вязкой жидкостиМы будем рассматривать жидкости, для которых выполняется уравнение  dudx(9.1)Такие жидкости называются ньтоновскими. Пусть между двумя параллельными твердымипластинами с расстоянием h находится жидкость с вязкостью η (рис. 9.1). Пусть нижняяпластина покоится, а верхняя движется со скорость u0.Рис. 9.1Примыкающая к стенкам жидкость движется вместе с пластинами, так что скоростьтечения жидкости у нижней и верхней стенок равна соответственно нулю и u0. Междулюбыми рядом расположенными слоями в жидкости действует сила трения, которая врасчете на единичную площадку в сечении между слоями описывается выражением (9.1).В равновесии силы, действующие на некоторый выбранный слой сверху и снизу, равны.Это означает, что для данной задачиdu const.dx(9.2)Решением этого уравнения с указанными начальными условиями (u(0)  0, u(h)  u0)является линейное изменение скорости u с координатой х:u( x) u0h(9.3)x.При этом напряжение силы трения, действующей на 1 см2 поверхности каждой из твердыхплоскостей и стремящейся замедлить их относительное движение, дается величиной u0h.(9.4)Эта величина пропорциональна скорости верхней плоскости u0 и обратнопропорциональна расстоянию между ними.

Отсюда следует, что сила сопротивления F,15действующая со стороны жидкости на верхнюю пластину площадью S (на такую женижнюю действует увлекающая сила –F) естьF  S  Su0h(9.5)9.2. Течение по трубе, формула ПуазейляРассмотрим течение жидкости по цилиндрической трубе радиусом R и длиной L. Наконцах трубы поддерживаются различные давления p1 и p2, за счет перепада которыхp  p2  p1 и происходит движение жидкости. Скорость u(r) течения жидкостинаправлена везде вдоль оси трубы и зависит от расстояния r от оси. Для напряжения силытрения справедливо выражение  du(r)dr.(9.6)Рассмотрим объем жидкости, ограниченный проведенной внутри трубы коаксиальной сней цилиндрической поверхностью некоторого радиуса r (рис.

9.2).Рис. 9.2.Сила трения, действующая на рассматриваемый объем жидкости, определяетсяумножением напряжения τ и площади поверхности 2πrL:2 rL  2 rLdu (r ).dr(9.7)Эта сила компенсируется силой, возникающей из-за перепада давлений, равной πr2(p1 –p2). Приравнивая эти две силы, получим уравнениеdu (r )r( p1  p2 ),dr2 LОткуда получаем, чтоu(r)  r24Lp  const.Постоянная в приведенном решении определяется из условия равенства нулю скоростина поверхности трубы, т. е. при r = R. Отсюда16u (r ) p( R 2  r 2 ).4 L(9.8)Как видно из (9.8), скорость меняется по квадратичному закону от нуля на стенке доp 2максимального значения u (0) R на оси трубы (говорят о параболическом профиле4 Lскоростей).

Отметим, что скорость u(r) согласно (9.8) пропорциональна градиентускорости ( p1  p2 ) / L и обратно пропорциональна вязкости η.Определим объем жидкости, вытекающей из трубы в единицу времени. Выделим двакоаксиальных цилиндра с радиусами r и r + dr. Можно считать, что жидкость междустенками цилиндров движется с одной и той же скоростью u (r ) . Тогда объем этойжидкости, вытекающий за время t, естьdV (r )  u(r )t 2 rdr.Отсюда и из (9.8) следует:RV ( R)  t  2 ru(r )dr  t0p R 2 2( R  r )rdr2 L 0После интегрирования получим полный объем жидкости, вытекающей из трубы за однусекунду как:p 4V ( R) / t R.(9.9)8LCогласно этой формуле объем жидкости, вытекающей из трубы, пропорционаленразности давлений, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален вязкости.Эта формула называется формулой Пуазейля.С помощью формулы Пуазейля можно определять вязкость – измеряя скоростьвытекания жидкости из трубки под действием внешнего давления.

Приборы дляизмерения вязкости называются вискозиметрами, по этому принципу работает такназываемый капиллярный вискозиметр.Отметим, что из (9.8) следует, что действующую со стороны трубы силу сопротивлениятечению можно представить в видеF  R 2p  4Lu(0) .(9.10)9.3. Движение шара, формула СтоксаВ двух изложенных выше задачах (течение в плоском канале и в цилиндрическойтрубе) удается получить точное решение. В более сложных ситуациях расчеты становятсянамного сложнее. Но существует довольно простой физический подход, который основанлишь на соображениях размерности.

Он заключается в том, что часто ответ можно просто«угадать», исходя из размерности физических величин, от которых он может зависеть.17Разумеется, в таком подходе решение определяется с точностью до неизвестногобезразмерного коэффициента.Рассмотрим движение шара в вязкой жидкости. Шар движется с некоторой скоростьюu. Попробуем определить силу сопротивления F, испытываемую этим шаром. (Эта задачаобратна задаче обтекания неподвижного шара потоком жидкости со скоростью u, обезадачи эквивалентны.) В задаче есть всего четыре параметра: радиус шара a (размерностьсм), плотность жидкости ρ (г∙см–3), вязкость η (г∙сек–1∙см–1), скорость движения шара u(см∙сек–1).

Попробуем «угадать», какой должна быть сила F (г∙см∙сек–2). Подсказкой здесьявляются выражения (9.5) и (9.10), из которых следует, что эта сила пропорциональнавязкости, параметру размерности длины и скорости.Тогда для случая шара можно написать:F  const au.(9.11)Причем формула (9.11) представляет собой единственный способ комбинации указанныхразмерностей (причем плотность жидкости сюда не входит).Коэффициент пропорциональности в (9.11) требует отдельных вычислений, которымимы здесь заниматься не будем.

Характеристики

Список файлов лекций