2019 лекции 8-10 (1247449), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Оказывается, что const  6 , т. е.F  6  au.(9.12)Эта формула называется формулой Стокса (закон Стокса).Если помещенный в жидкость шар начинает в ней падать под влиянием действующейна него силы P, определяемой силой тяжести и выталкивающей силой, то увеличениескорости в ходе падения будет происходить до тех пор, пока сила сопротивления (9.12) нескомпенсирует силу P. Тогда скорость падения станет постоянной; из условия P = F онанаходится как1(9.13)uP.6 aСкорость падения u согласно (9.13) должна уменьшаться с ростом вязкости и суменьшением размера а (вес P пропорционален а3).

Коэффициент пропорциональностимежду силой и скоростью тела при установившемся его движении в вязкой среденазывается подвижностью (см. об этом подробнее в следующей главе).Аналогично для скольжения плоской пластины по поверхности вязкой жидкости из(9.5) следует, что скорость ее движения естьhu0 FS.(9.14)То есть и здесь скорость пропорциональна силе.Измерение скорости падения шарика можно использовать для определениявязкости жидкости (вискозиметр с падающим шариком).189.4.

Турбулентное течениеРассмотренные случаи течения жидкости между двумя пластинами, в трубе и приобтекании шара соответствуют случаю так называемого ламинарного (слоистого) течения,когда разные слои жидкости определенным образом перемещаются друг относительнодруга.

Течение не изменяется со временем, является стационарным. Из опыта известно,однако, что такая картина наблюдается только при относительно небольших скоростяхтечения. При увеличении скорости движение жидкости становится неупорядоченным,разные слои начинают перемешиваться между собой, вся картина становитсянестационарной. Такое неупорядоченное нестационарное движение называетсятурбулентным. Турбулентность возникает при наличии некоторых возмущений потока,например, из-за шероховатости обтекаемой поверхности, ее сотрясения и т. п. При малыхскоростях или малых размерах эти возмущения быстро «залечиваются», при больших ониспонтанно увеличиваются.При турбулентном движении происходит интенсивное перемешивание жидкости.Именно этот процесс становится эффективным источником переноса импульса.

Вязкостьтеряет свое значение и может вообще не являться физическим параметром задачи. Этотфакт упрощает рассмотрение явлений по методу размерностей.Например, пусть у нас имеется турбулентное движение жидкости в трубе. Из-заинтенсивного перемешивания можно утверждать, что скорость будет одинакова по всемусечению трубы, за исключением лишь тонкого пристеночного слоя, где она падает донуля. Градиент давления p / L по трубе имеет размерность г∙см–2∙сек–2. Параметрамизадачи являются еще скорость u (размерность см∙сек–1), плотность  (размерность г∙см–3)и радиус трубы R (размерность см). Выражение для скорости движения жидкости по трубеможно получить лишь единственным образом:u  constp R,L (9.15)где const – некий безразмерный коэффициент.

Отметим существенную разницу вфункциональной зависимости от параметров в (9.15) по сравнению со случаемламинарного течения (ср. (9.8)).Полный объем жидкости, вытекающей из трубы за одну секунду, в этом случае естьV / t   R 2u  const R 5/2p 1L  .(9.16)Таким образом, при турбулентном течении функциональная зависимость от градиентадавления слабее, чем при ламинарном (ср. (9.9)).Зададимся целью определить, при каких параметрах происходит переход отламинарного течения к турбулентному. Для этого сравним формулы расхода жидкости(9.9) и (9.16).

Приравняв их, найдем значение градиента давления p / L , при котором этопроисходит:19p / L ~  2 /  R3 .Подставив это значение градиента в (9.15), получим, что скорость, при которойпроисходит переход к турбулентному течению по порядку величины оценивается какu~.RИлиuR~1Вводят безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса, который характеризуетпереход от ламинарного течения к турбулентному:Re uL uL,(9.17)где L – характерный размер системы, в случае течения по длинной трубе это ее радиус.Опыт показывает, что движение по трубе является ламинарным при Re < 1700,движения шара в жидкости  при Re < 1000. Формула Стокса (9.12) работает только приRe < 1.Движения жидкости, имеющие одинаковое значение числа Рейнольдса при разныхзначениях параметров ρ, η, u, a, называют подобными. Все характеристики движения(скорости, координаты и т.

д.) в таких случаях отличаются лишь своими масштабами.20Глава 10. Броуновское движение и диффузия10.1. Подвижность частиц. Связь между коэффициентами подвижности и диффузииПусть на частицу макроскопических размеров – то есть размеров, существенно большеразмеров молекул, – в жидкости или газе действует постоянная сила F . Силой F можетбыть сила тяжести (в совокупности с выталкивающей силой в данной среде), длязаряженных частиц – сила со стороны внешнего электрического поля. Под действием этойсилы частица будет двигаться в ее направлении. Препятствовать этому движению вжидкости или газе будет направленная противоположно сила вязкого трения.

В результатедействия этих противоположных сил частица приобретает некоторую скоростьрегулярного движения (скорость дрейфа), направленную в сторону действия силы F .Выше на примерах движения в вязкой жидкости плоской пластины и круглого шарика мывидели, что скорость регулярного движения пропорциональна величине силы – см.соответственно формулы (9.5) и (9.13).Такая пропорциональность появляется и для движения при наличии внешней силымалой частицы, размеры которой сравнимы с молекулами. После очередногостолкновения с молекулой частица приобретает за счет действия внешней силы Fдополнительную скорость V Ft , где M – масса частицы, t – время послеMстолкновения.

Если считать, что после следующего столкновения частица из-за своихмалых размеров сразу «забывает» приобретенную до этого дополнительную скорость, тоусреднение по временам пробега приводит к результату:V F,Mгде  есть среднее время между столкновениями. Таким образом, можно считать, что и вобщем случае движения частицы произвольной формы в жидкой среде или в газе средняяскорость дрейфа также пропорциональна скорости:V  BF ,(10.1)где B   / M есть коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент называетсяподвижностью.

При этом для движения шарика в вязкой жидкости под действиемвнешней силы согласно (9.13) имеемB16 a.21Наличие ненулевой скорости V означает возникновение одномерного потока молекулjF в направлении силы F со средней скалярной скоростью в этом направлении V  BF .Величина этого потока определяется произведением скорости дрейфа и плотности частиц:jF  nV  BFn.В поле силы F частица обладает потенциальной энергией U (x)  Fx (ось x направленав сторону действующей силы). Если состояние стационарное и температура постоянна, токонцентрация частиц должна меняться в пространстве в соответствии с закономБольцмана:n  n0 exp( U ( x) / kT )  n0 exp( Fx / kT ).(10.2)Так как концентрация согласно (10.2) распределена вдоль оси х неравномерно, то долженвозникать направленный противоположно диффузионный поток:jD   Ddn / dx.В состоянии равновесия суммарный поток частиц равен нулю:jF  jD  BFn  Ddn / dx  0.Подстановка (10.2) в это выражение дает соотношение, связывающее коэффициентдиффузии и подвижность частиц:(10.3)D  kTB .Это соотношение называется соотношением Эйнштейна.

Оно связывает подвижностьчастицы в среде при наличии внешней силы и коэффициент диффузии, возникающей из-занеравномерной концентрации. Такая связь возникает из-за того, что обе величиныопределяются столкновениями частицы с молекулами. Действительно, из (10.3) следуетцепочка оценок:kTD  v   v 2   kTBMСоотношение (10.3) показывает, что такая приблизительная оценка приводит однако кточному равенству.10.2. Броуновское движениеПусть в жидкости в равновесии с окружающей средой находится макроскопическаячастица. При уменьшении размера частицы до порядка микрона оказывается, что еенаблюдаемое (в микроскоп) движение становится хаотическим (рис.

10.1). Такоедвижение называется броуновским.22Рис. 10.1Появление броуновского движения объясняется совокупным действием столкновений сокружающими молекулами (рис. 10.2). Частица начинает передвигаться, если число и силаударов с одной стороны оказывается больше, чем с другой. Разница числа ударовстановится ощутимой, только если частица достаточно мала.Рис. 10.2Так как движение вдоль разных осей координат происходит независимо, дляописания броуновского движения можно рассматривать движение частицы вдоль толькоодной координаты х. Вначале используем упрощенную модель одинаковых шагов.

Характеристики

Список файлов лекций