2019 лекции 8-10 (1247449), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пустьчастица совершает шаги величиной а влево и вправо с одинаковой вероятностью – см.рис. 10.3.Рис. 10.3.Легко найти средний квадрат перемещения xN2 такой частицы за N шагов.Еслизаписать xN  xN 1  a то средний квадрат перемещения через N шагов равенxN2  xN2 1  2 xN 1a  a 2  xN2 1  a 2 ,так как удвоенное произведение для разных частиц усредняется из-за знакопеременностидо нуля. То есть каждый шаг увеличивает квадрат расстояния на а2.

Отсюда следует, чтоxN2  a 2 N .23Если считать, что частица совершает перемещения через равные промежутки времени τ0,то за время t она совершит N  t /  0 перемещений. ТогдаxN2 a20t(10.4)Таким образом, среднеквадратичное перемещение частицы пропорционально времени.Теперь модель усложним, допуская, что перемещения происходят с каждым шагомна разное расстояние, а между двумя последовательными перемещениями можетсуществовать корреляция. При этом будем считать, что через некоторое количество шаговтакая корреляция все-таки полностью теряется. Разобьем промежуток времени tнаблюдения за частицей на N одинаковых интервалов τ = t/N, считая при этом τдостаточно большим, чтобы за этот интервал корреляция между последовательнымиперемещениями x(ti )  x(ti 1 ) , где ti  i (i = 1, 2…N), действительно терялась. Так какtN  t , то формально перемещение частицыx(t ) за полное время t можно представить вNвиде суммы перемещенийx(t )   ( x(ti )  x(ti 1 )) .

Усредним квадрат этого выраженияi 1поброуновскимчастицам.2( x(ti )  x(ti 1 ))( x(t j )  x(t j 1 )) (i  j )Таккакпо нашемуперекрестныечленывидаусловию отсутствия корреляцииусредняются до нуля, то тогда получимNx 2 (t )   ( x(ti )  x(ti 1 ))2 .i 1С другой стороны, при стационарном случайном процессе и при полной эквивалентностивсех положений в пространстве результаты усреднения каждого из членов полученнойсуммы должны быть равны друг другу; обозначим их как  2 ( )  ( x(ti )  x(ti 1 ))2 .

Тогда витоге получаемx 2 (t )   2 ( ) N  2 ( )t.Среднее значение квадрата перемещения x 2 (t ) от величины интервала τ нашегоискусственного разбиения однако зависеть не должно. Это может иметь место, толькоесли  2 ( )  const  . Тогда сразу получаем, что величина x 2 (t ) пропорциональна времениt:x 2 (t )  const  t ,(10.5)что аналогично рассмотренной выше простой модели одинаковых шагов – ср. (10.4), длякоторой const a20.

О значении const в этом уравнении пойдет речь ниже.2410.3. Уравнение ЛанжевенаПерейдем теперь к количественному описанию движения броуновской частицы.Ограничимся случаем одномерного движения. Частицу будем считать большой посравнению с молекулами среды. На частицу за счет соударений c молекулами действует«толкающая» сила, которая придает частице импульс для движения. Обозначим эту силукак f(t), она флуктуирует от столкновения к столкновению, и ее среднее значение равнонулю. Есть еще сила вязкого сопротивления движению; как мы видели в пп.

9.1 и 9.3, этасила пропорциональна скорости движения. Согласно (10.1) эту силу можно записать как1 dx, где В – подвижность (для краткости в дальнейшем вместо x(t) пишем везде простоB dtх).Тогда на временах, больших времени одного столкновения, уравнение движениядля броуновской частицы массы М представляется в видеMd 2x1 dx f (t ) 2dtB dt(10.6)Это уравнение называется уравнением Ланжевена.Действующие на частицу согласно уравнению (10.6) две силы имеют на самом делеодин источник своего происхождения – соударения с молекулами среды. Появление двухсил от одного источника можно пояснить следующим образом. Скорости движениямолекулы и частицы до соударения обозначим соответственно как vх и Vх. Для упругогостолкновения частицы с молекулой из (1.10) можно получить, что изменение импульсачастицы после ее столкновения молекулой естьM (Vx  Vx ) 2M2mmvx MVx .mMmMПервое слагаемое справа здесь соответствует импульсу, переданному при соударениичастице молекулой, второе – импульсу, переданному при соударении молекуле частицей.Так как vх у всех молекул разные, первое слагаемое быстро и хаотически меняется отстолкновения к столкновению.

Второе слагаемое при столкновениях меняется мало, таккак для большой (и поэтому тяжелой) частицы мало изменяется Vх. Тогда действительнодействующую на частицу силу можно разбить на две составляющие, из которых однаприводит к движению и быстро флуктуирует, а вторая движение тормозит и меняетсямедленно; причем эта вторая сила пропорциональна скорости.10.4. Формулы Эйнштейна-Смолуховского и Стокса-ЭйнштейнаЗаймемся теперь получением следствий из уравнения Ланжевена. Умножим обечасти (10.6) на x:Mxd 2x1 dx xf (t )  x2dtB dt25или, так как2d 2 x d  dx   dx x 2  x   ,dtdt  dt   dt xdx 1 dx 2,dt 2 dt(10.7)то можно написать21d dx 21 dx 2 dx .M M    xf (t ) 2 dt dt2 B dt dt (10.8)Усредним последнее уравнение по большому числу частиц (стартовавшим однако при t =0 из одной точки).

Так как сила f (t ) может действовать в любом направлении с равнойвероятностью и эта вероятность от х не зависит, то среднее произведение xf (t ) равно2 dx нулю. Согласно (1.30) для частицы в среде должно быть M    kT . Далее, можно dt dx 2 d x 2(возможность внесения знака усреднения внутрь производнойdtdtследует из самого определения производной через линейное приращение функции). А таксчитать, чтокак согласно (10.5) x 2 (t ) является линейной функцией от времени, то вторая производнаяот x 2 (t ) равна нулю. Тогда в итоге получаем, чтоkT 1 d x22 B dt(10.9)и тогда, если в начальный момент времени x = 0, получаем:x 2  2kTBt  2Dt .(10.10)Здесь использовано соотношение Эйнштейна (10.3).

Формула (10.10) называетсясоотношением (формулой) Эйнштейна–Смолуховского.При движении в пространстве перемещения вдоль каждой координаты складываются, итогда средний квадрат радиус-вектора частицы R 2 к моменту t равенR 2  6 Dt .(10.11)Из (10.2) и (10.3) следует, что для частицы сферической формыD  kTB kT.6 a(10.12)Полученная формула (10.12) называется формулой Стокса – Эйнштейна.Формулу (10.12) можно применять для измерения постоянной Больцмана k, есликаким-либо способом измерена подвижность В. Это можно сделать, используя26соотношение (9.13) для частицы в поле сил тяжести или помещенной в центрифугу.Можно еще каким-либо образом частицу зарядить и изучать ее движение в электрическомполе.Интересный экспериментальный факт состоит в том, что, хотя формула СтоксаЭйнштейна получена для частиц макроскопических размеров, она оказываетсясправедливой и при переходе к молекулам.

Это обстоятельство часто используется дляоценок их коэффициентов диффузии. Проделаем такие оценки для процессасамодиффузии молекул воды при комнатной температуре (25оС). Вязкость воды при этойтемпературе около 1 сП (10-2 П). Для оценок возьмем радиус а равным 1 ангстрему (10-8см). Тогда из (10.12) получаем, что D ~ 2,2 10-5 см2/с. Эта величина с хорошей точностьюсовпадает с тем, что получается из экспериментальных измерений.В заключение оценим размеры наблюдаемой в оптическом микроскопе броуновскойчастицы в воде. Это должна быть частица, которая, во-первых, имеет достаточно большиеразмеры – не меньше, чем половина длины волны видимого света: это есть величинапримерно 10-4 см (или 1 микрон).

Здесь мы имеем нижнюю оценку на размер частицы(частицы меньшего размера не увидим). С другой стороны, эта частица должна иметьдостаточно малые размеры, чтобы видимым образом участвовать в молекулярномдвижении. (Образно говоря, броуновская частица одновременно должна одновременнопринадлежать макро- и микромиру). Малость размеров означает возможность наблюденияперемещения за время порядка одной секунды. Для частицы размером а перемещениехорошо будет видно, если частица сместилась также на расстояние порядка а.

Для оценкикоэффициента диффузии используем формулу Стокса-Эйнштейна (10.12), в которойиспользуем вязкость воды при комнатной температуре,  = 10–2 пуаз, Т = 300 К. Тогда,подставляя в (10.11) x 2 ~ 6a2, t = 1 с, получаем верхнюю оценку на размер частицы: a ~10–4 см. Интересно, что нижняя и верхняя оценки для измерений, основанных насовершенно разных физических принципах, тем не менее совпали.10.5. Одномерные блуждания: распределение по величинам перемещенийСравнение результата (10.4) для модели одинаковых шагов с результатом (10.7),полученным из уравнения Ланжевена, показывает их аналогию – если положить, что D =а2/2.

Последнее выражение имеет сходный вид также и с выражением для коэффициентадиффузии (10.3) для идеального газа, если там положить λ = а.Теперь для модели одинаковых шагов поставим вопрос о функции распределенияпо величинам перемещений. Эта задача сводится к задаче о вероятности того, что приобщем числе N шагов влево сделано m шагов (соответственно N – m сделано шаговвправо).

Так как нас не интересует, в какой последовательности сделаны шаги, эта задачаэквивалентна задаче вероятности того или иного размещения N шаров по двум ячейкам.При равной вероятности попадания шара в каждую из ячеек эта вероятностьдолжна равняться числу способов реализации данного размещения, деленному на полноечисло способов. В качестве примера на рис. 10.4 показан случай размещения 3-х шаров, N= 3.

Характеристики

Список файлов лекций