Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 37
Текст из файла (страница 37)
. . , 7)(4.4.5)и конечные условия «мягкой» встречиxi (T) = 0(i = 1, . . . , 6) .(4.4.6)Время сближения T и запас топлива не фиксированы.Найдем оптимальную программу вектора тяги P(t)) при полярном способеуправления, минимизирующую расход топлива на сближение [4.21]. Допустимаявеличина тяги (или секундного расхода массы) определяется условием (4.4.4),а направляющие косинусы вектора тяги связаны соотношениемα21 + α22 + α23 = 1.(4.4.7)Для минимизации расхода топлива на сближение определим max-оптимальноеуправление u = (α1 , α2 , α3 , β̃), обеспечивающее максимум конечной массы x7 (T).Условия абсолютного минимума гамильтонианаWexh(ψ2 α1 + ψ4 α2 + ψ6 α3 ) − ψ7 + ψ1 x2 + ψ3 x4 + ψ5 x6 +H = β̃x7+ ϑ̈ (ψ2 x3 − ψ4 x1 ) + ϑ̇2 (ψ2 x1 + ψ4 x3 ) + 2ϑ̇ (ψ2 x4 − ψ4 x2 ) ++μψ2 x1 + ψ4 (r + x3 ) + ψ6 x5ψ4 − μ,32rrSC(4.4.8)190Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном поленеобходимые для обеспечения максимума x7 (T), имеют видα1 = −ψ2,ψβ̃ =α2 = −β̃maxβ̃minψ4,ψα3 = −ψ6,ψпри H1 > 0,при H1 < 0,(4.4.9)(4.4.10)где ψi = −∂H/∂xi (i = 1, .
. . , 7) — сопряженные переменные,H1 =— функция переключения,Wexhψ + ψ7x7(4.4.11)ψ22 + ψ42 + ψ62 ,(4.4.12)ψ7 (T) = −1.(4.4.13)ψ=Как следует из условия (4.4.10), для оптимального по расходу топлива сближения КА с целью, находящейся на произвольной траектории в центральном полепритяжения (условие эллиптичности орбиты цели не использовано при доказательстве), величина тяги должна принимать граничные значения в допустимомдиапазоне регулирования (4.4.4), если H1 = 0.С учетом условия «свободного» времени H (T) = 0 и конечных условий (4.4.6)получим H1 (T) = 0, т.
е. последнее переключение при «мягкой» встрече совпадаетс моментом окончания маневра.Нетрудно показать, что для сближения за минимальное время двигатель КАдолжен непрерывно работать на режиме максимальной тяги. Действительно, в этомслучае ψ̇7 = Wexh β̃ψ/x27 ≥ 0, но ψ7 (T) = 0, отсюда ψ7 (t) ≤ 0, и поэтому Wexh ψ/x7 − ψ7 > 0. Так как рассматривается min-оптимальное управление,то для обеспечения абсолютного максимума гамильтониана следует приниматьβ̃ (t) ≡ β̃max .4.4.3.
Случай круговой орбиты цели. Оценим возможное число переключениявеличины тяги при минимизации расхода топлива в частном случае компланарногосближения КА с целью, находящейся на круговой орбите. Используя предположение о малости расстояния между КА и целью по сравнению с величинойрадиуса круговой орбиты цели, получим линеаризованные (по составляющимгравитационного ускорения) уравнения оптимального движения:W̃exh β H̃1 ψ2x˜1 = x̃2 , x˜2 = 2x̃4 −, x˜3 = x̃4 ,x̃7ψW̃exh β H̃1 ψ4, x˜7 = −β H̃1 ,(4.4.14)x˜4 = −2x̃2 + 3x̃3 −x̃7ψ%β max при H̃1 > 0,β H̃1 =β min при H̃1 < 0,4.4. Задача встречи191гдеW̃exh =Wexh,ϑ̇rβ =β̃,ϑ̇x70x1x2x3x4x7, x̃2 =,, x̃3 = , x̃4 =, x̃7 =rrxϑ̇rϑ̇r70W̃exhψ + ψ7 .H̃1 =x̃7x̃1 =Штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному времени τ = ϑ̇t.В этом случае первые четыре уравнения сопряженной системы интегрируютсяв конечном видеψ1 = C1 ,ψ2 = 2 (C2 sin τ − C3 cos τ ) + 3C1 τ + C4 ,ψ3 = 3 (C3 cos τ − C2 sin τ ) − 2 (3C1 τ + C4 ) ,ψ4 = C2 cos τ + C3 sin τ + 2C1 ,(4.4.15)где Ci (i = 1, .
. . , 4) — постоянные интегрирования. = (ψ2 , ψ4 )Наличие этих интегралов позволяет исследовать годограф вектора ψи, учитывая соотношениеH̃1 (τ ) =W̃exh ψ (τ ),x̃7 (τ )(4.4.16)определить возможное число переключений тяги.Предварительно найдем условие стационарности ψ2 (τ ):cos (τ + ϕ0 ) = −λ̃,(4.4.17)гдеC2cos ϕ0 = ,C22 + C323C1λ̃ = 2 C22 + C32C3sin ϕ0 = − ,C22 + C32 C1 C22 + C32 = 0 .(4.4.18)В зависимости от величины параметра λ̃ следует различать два возможныхслучая:1. При |λ̃| ≥ 1 функция ψ2 (τ ) меняется монотонно, возрастая (С1 > 0) илиубывая (C1 < 0).2. При 0 < |λ̃| < 1 функция ψ2 (τ ) имеет стационарные точки(2k + 1)π ± α0 , если C1 > 0,τ + ϕ0 =2kπ ± α0 , если C1 < 0, (k = 0, 1, .
. .),192Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полегде α0 = arccos |λ̃| ≤ π2 . Поэтому во втором случае существует неограниченноечисло чередующихся участков возрастания и убывания ψ2 (τ ).Используем полученные результаты для прогнозирования возможного числапереключений тяги при компланарном сближении. В общем случае ψ-траекторияпредставляет собой кривую типа циклоиды:sin ξ+ ξ + A0 ,λ̃cos ξ2,+ψ4 (ξ) = 3C132λ̃ψ2 (ξ) = 3C1где ξ = τ + ϕ0 , A0 = C4 /(3C1 ) − ϕ0 .Отсюда следует, что амплитуда колебания ψ2 (ξ) в два раза превосходит амплитуду ψ4 (ξ). Кроме того, ψ2 (ξ) содержит вековое слагаемое ξ, в то времякак ψ4 (ξ) является ограниченной периодической функцией.
Поэтому функцияψ (ξ) = ψ22 (ξ) + ψ42 (ξ) в основном зависит от первой составляющей и имееттакой же характер изменения, как |ψ2 (ξ)|.По числу перемен знака производной ψ(ξ) на неограниченном интервале ξможно выделить три основных случая:1. При |λ̃| ≥ 1 и A0 > 0 нет перемены знака.2. При |λ̃| ≥ 1 и A0 < 0 не более одной перемены знака.3. При 0 < |λ̃| < 1 неограниченное число перемен знака.Учитывая соотношение (4.4.16), получим соответствующие оценки для числапереключений тяги при неограниченном времени сближения:1. Не более одного переключения (Pmin − Pmax ).2.
Не более двух переключений (Pmax − Pmin − Pmax ).3. Неограниченное число переключений.Как показано в работе [4.21], при сближении в процессе одного витка целиможет иметь место не более трех включений максимальной тяги на оптимальнойпо расходу топлива траектории полета (рис. 4.21).На рис. 4.22 показан пример траектории сближения с тремя включениямимаксимальной тяги.Используя результаты анализа сближения в пределах одного витка цели, можнооценить число включений максимальной тяги при «мягкой» встрече, если времяманевра не превосходит половины периода обращения цели. В последнем случаечисло включений максимальной тяги не больше двух [4.21].Если положить Pmin = 0 и неограниченно увеличивать Pmax , то режим работыдвигателя будет приближаться к импульсному, а расход топлива на сближение принеизменных начальных условиях будет уменьшаться из-за расширения диапазонадопустимых управлений по величине тяги.
Полученные оценки возможного числапереключений тяги сохраняются и на случай импульсного управления, хотя приэтом исключаются программы регулирования тяги б, в, е, ж, к, л, показанныена рис. 4.21.4.4. Задача встречи193Рис. 4.21. Возможные программы регулирования тяги при сближении за один виток целиЛинеаризованные уравнения движения в орбитальной системе координат обеспечивают удовлетворительную точность при начальных расстояниях не больше 100 ÷ 150 км и времени сближения до половины периода обращения цели[4.22]. При больших начальных расстояниях и временах сближения получаемыекачественные и количественные результаты должны рассматриваться в качествепервого приближения и требуют уточнения с привлечением исходных нелинейныхуравнений движения.Задача оптимального по времени сближения КА, имеющего шесть двигателей,расположенных по связанным осям (декартового управление), исследуется в работе [4.18].194Глава 4.
Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРис. 4.22. Траектория сближения с тремя включениями максимальной тяги: W̃exh = 0.385,x̃10 = −0.240, x̃20 = −0.095, x̃30 = −0.050, x̃40 = −0.0644.4.4. Импульсные программы управления. На этапе ближнего наведениямогут применяться различные импульсные программы управления. Одна из такихпрограмм обсуждается ниже.
Это — двухимпульсная программа сближения, первыйимпульс которой прикладывается в начальный момент маневра и предназначендля ликвидации промаха, а второй импульс прикладывается в конечный моментманевра и служит для парирования разницы в скоростях.Рассмотрим линеаризованные уравнения типа (4.4.14), описывающие свободное (P = 0) пространственное относительное движение КА в окрестности цели,находящейся на круговой орбите:x˜1 = x̃2 ,x˜3 = x̃4 ,x˜5 = x̃6 ,x˜2 = 2x̃4 ,x˜4 = −2x̃2 + 3x̃3 ,x˜6 = −x̃5 .(4.4.19)4.4. Задача встречи195При начальных условиях (4.4.5) решение системы (4.4.19) представимо в видеx̃1 (τ ) = 2 (2x̃20 − 3x̃30 ) sin τ − 2x̃40 cos τ + 3 (2x̃30 − x̃20 ) τ + x̃10 + 2x̃40 ,x̃3 (τ ) = x̃40 sin τ + (2x̃20 − 3x̃30 ) cos τ + 4x̃30 − 2x̃20 ,x̃5 (τ ) = x̃60 sin τ + x̃50 cos τ.(4.4.20)Потребуем, чтобы в некоторый конечный момент времени τf = ϑ̇T промахобращался в нуль: x̃1 (τf ) = x̃3 (τf ) = x̃5 (τf ) = 0.
Приравняв к нулю левые части(r) (r)уравнений (4.4.20), найдем потребные составляющие начальной скорости x̃20 , x̃40 ,(r)x̃60 , обеспечивающие ликвидацию промаха в заданный момент времени τf :(r)x̃10 sin τf + [6τf sin τf − 14 (1 − cos τf )]x̃30,3τf sin τf − 8 (1 − cos τf )2 (1 − cos τf )x̃10 + (4 sin τf − 3τf cos τf )x̃30,=3τf sin τf − 8 (1 − cos τf )x̃20 =(r)x̃40(4.4.21)(r)x̃60 = −x̃50 ctg τf .Разница между потребными и фактическими составляющими начальной скорости КА определяет величину первого импульса, отнесенного к круговой скоростицели:'2 2 2(r)(r)(r)ΔṼ1 =x̃20 − x̃20 + x̃40 − x̃40 + x̃60 − x̃60 .(4.4.22)Продифференцируем уравнения (4.4.20) по τ и после подстановки τ = τf ,(r)(r)(r)x̃20 = x̃20 , x̃40 = x̃40 , x̃60 = x̃60 получим составляющие относительной скоростив конечный момент времени:(r)(r)(r)x̃2f = 2 2x̃20 − 3x̃30 cos τf + 2x̃40 sin τf + 6x̃30 − 3x̃20 ,(r)(r)x̃4f = x̃40 cos τf + 2x̃20 − 3x̃30 sin τf ,(r)x̃6f = x̃60 cos τf − x̃50 sin τf .Отсюда найдем величину второго импульса, с помощью которого в моментсближения относительная скорость гасится до нуля:(4.4.23)ΔṼ2 = x̃22f + x̃24f + x̃26f .Величина суммарного импульса ΔṼΣ = ΔṼ1 + ΔṼ2 при фиксированныхначальных условиях зависит только от длительности маневра τf , которую можновыбирать из условия минимизации затрат скорости ΔṼΣ .Если в момент τf окажется, что промах не ликвидирован из-за наличияметодических, приборных и исполнительных ошибок, то можно снова решитьзадачу двухимпульсного сближения на оставшемся расстоянии и т.
д. Такой способ управления иногда называют методом свободных траекторий, поскольку научастке между коррекциями КА движется под действием только силы притяжения.196Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеВсе методы управления, основанные на использовании орбитальных законовдвижения, имеют общие недостатки. Так, ошибки знания орбиты цели равносильны погрешностям управления. Если орбита цели отличается от круговой, тоалгоритм управления существенно усложняется.
Кроме того, на борту КА должноиметься устройство для построения орбитальной системы координат. От указанныхнедостатков свободны методы наведения, использующие линию визирования.Как правило, они неэкономичны по расходу топлива, поэтому их целесообразноприменять при малых начальных расстояниях, например на участке причаливания.4.4.5. Методы наведения с использованием линии визирования. При использовании измерений расстояния и скорости сближения по линии визирования получаются достаточно простые алгоритмы наведения, обеспечивающие сближение, даже если отсутствует информация о параметрах орбиты цели.
При самонаведении пометоду погони вектор скорости КА должен быть направлен по линии визированияцели. В случае метода параллельного наведения регулирование скорости полетаКА подчиняется требованию поступательного перемещения линии визированияв инерциальной или орбитальной системах координат; одновременно происходитсближение вдоль линии визирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
