Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Анализ условий полета к Луне2015.1.1. Луна как спутник Земли. Земля и Луна образуют систему двух взаимнопритягивающих тел, вращающихся вокруг общего центра, называемого барицентром. Если учесть отношение масс Земли и Луны 81.37 : 1 и среднее расстояниемежду их центрами (величину большой полуоси лунной орбиты) aM = 384 400 км,то можно установить, что барицентр расположен на расстоянии ∼ 4 660 км отцентра Земли.
Поэтому с приемлемой точностью можно не делать различиямежду движением Луны относительно барицентра и наблюдаемым ее движениемотносительно Земли. Гравитационный параметр Луны μM = 4 902.65 км3 /с2 .Радиус Луны RM = 1 736.7 км, эксцентриситет ее орбиты e = 0.0549, параметрp = 383 240 км. Минимальное невозмущенное расстояние от Земли до Луныравно 363 300 км, а максимальное — 405 500 км. Период обращения Луны на орбите вокруг Земли — сидерический месяц — достигает 27 сут 7 ч 43 мин 11.47 с,или 27.32166 земных суток. Период обращения Луны вокруг собственной оси(лунные сутки) равен сидерическому месяцу, вследствие чего Луна всегда обращенак Земле своим одним полушарием. Угол наклона лунного экватора к плоскостиее орбиты в среднем составляет 6◦ 40.7 .
В свою очередь, плоскость орбитыЛуны образует угол 5◦ 9 с плоскостью эклиптики, т. е. плоскостью движенияЗемли относительно Солнца. Под влиянием возмущающего воздействия Солнцалиния узлов, образованная плоскостями лунной орбиты и эклиптики, вращаетсяпо часовой стрелке (если смотреть с северного полюса) с периодом 18.6 года.Плоскость земного экватора образует с плоскостью эклиптики угол 23◦ 27 , так чтоугол между плоскостями лунной орбиты и земного экватора изменяется в диапазонеот iM = 23◦ 27 − 5◦ 9 = 18◦ 18 до iM = 23◦ 27 + 5◦ 9 = 28◦ 36 .Следовательно, компланарный перелет в плоскости орбиты Луны возможенв любое время, если широта точки старта удовлетворяет условию |ϕ0 | ≤ 18◦ 18 .Если же широта точки старта находится в диапазоне 18◦ 18 < |ϕ0 | ≤ 28◦ 36 , токомпланарный перелет возможен в ограниченные промежутки времени каждые18.6 года.Оценка невозмущенной скорости орбитального движения Луны показывает,что скорость меняется несущественно из-за малого эксцентриситета орбиты.
Так,скорость в перигее Vπ = 1.075 км/с, а в апогее Vα = 0.963 км/с; средняяскорость орбитального движения, или круговая скорость при rcir = aM , составляетVcir = 1.018 км/с.5.1.2. Задача трех тел. Сфера действия Луны. Рассмотрим полет КА поддействием притяжения Земли и Луны, причем возмущающим влиянием КА надвижение Земли и Луны будем пренебрегать.
Взаимное движение Земли и Луныпроисходит по законам Кеплера. Если принять орбиту Луны круговой, то получимограниченную круговую задачу трех тел, в которой отношения масс Земли, Луныи КА удовлетворяют неравенствам mE > mM mSC .Введем геоцентрическую инерциальную систему координат 0xyz, плоскость 0xyкоторой совпадает с плоскостью орбиты Луны, и запишем уравнения свободногодвижения КА в этой системе координат:ẍ = −μE x μMμM xM+ 3 (xM − x) − 3 ,r3ρaM202Глава 5. Полет к Луне и планетамμE y μMμM yM+ 3 (yM − y) − 3 ,(5.1.1)3rρaMμE z μM zz̈ = − 3 − 3 .rρЗдесь x, y, z — координаты КА; xM , yM , zM — координаты Луны; μE , μM — гравитационные параметры Земли и Луны;r = x2 + y2 + z2ÿ = −— расстояние КА до центра Земли;ρ = (xM − x)2 + (yM − y)2 + (zM − z)2— расстояние КА до центра Луны; aM — среднее расстояние между центрами Землии Луны.Численное интегрирование уравнений движения (5.1.1) позволяет определитьтраекторию полета КА при любых начальных условиях.
При некоторых упрощающих предположениях траектория КА может быть описана коническим сечением,в фокусе которого находится соответственно Земля или Луна. Предварительнорассмотрим понятия сферы притяжения и сферы действия. Оба понятия вводятсяпри наличии двух притягивающих тел m1 и m2 , отношение масс которых m̃ = m1 /m2настолько мало, что квадратом m̃2 можно пренебречь.Сферой (или областью) притяжения меньшего тела относительно большегоназывается множество всех точек пространства, в котором меньшее тело притягивает КА сильнее, чем большее.
Если a — расстояние между телами m1 и m2 , торадиус сферы притяжения вычисляется по формуле [5.1]√a m̃Rat =,(5.1.2)1 − m̃а ее центр находится на продолжении линии, соединяющей оба тела, за малымтелом, на расстоянииam̃ρat =1 − m̃от него.Понятие сферы действия является более сложным, однако именно оно представляет практический интерес. Рассмотрим сначала движение КА относительноменьшего притягивающего тела массой m1 и разделим полное ускорение КА надве составляющие: основное ускорение g1 , обусловленное притяжением меньшеготела m1 , и дополнительное Δg2 , с которым большее тело m2 возмущает траекториюКА относительно m1 .
Затем рассмотрим движение КА относительно большегопритягивающего тела массой m2 и также разделим полное ускорение КА на двесоставляющие: основное ускорение g2 , обусловленное притяжением большего телаm2 , и дополнительное Δg1 , с которым меньшее тело m1 возмущает траекторию КАотносительно m2 .Область пространства, в которой выполняется неравенствоΔg2Δg1<,g1g25.1. Анализ условий полета к Луне203называется сферой (областью) действия меньшего притягивающего тела относительно большего. Приближенно радиус сферы действия может быть вычислен поформуле [5.2]Rac = am̃2/5 .(5.1.3)Для системы Земля — Луна радиус сферы притяжения Rat = 43 140 км, а расстояние от центра Луны до центра сферы притяжения ρat = 4 780 км, что в ∼2.7 разабольше радиуса Луны. Радиус сферы действия Луны достигает Rac = 66 160 км.5.1.3.
Приближенные методы расчета траекторий сближения. Как показанов работе [5.3], при анализе траекторий сближения КА с Луной (т. е. траекторий,которые начинаются у Земли и на первом витке входят в сферу действия Луны)в первом приближении можно пренебрегать влиянием Луны вне ее сферы действияи влиянием Земли внутри сферы действия Луны.
Тогда внутри сферы действияЛуны траектория будет описываться селеноцентрическим коническим сечением,а вне сферы — геоцентрическим коническим сечением. Это существенно упрощаетвычисление траектории полета КА.В некоторых задачах, как например при расчете начальных данных траекторийпопадания в Луну, оказалось возможным вообще пренебрегать притяжением Луныи рассматривать всю траекторию как геоцентрическую [5.3]. Будем полагать,что КА стартует в плоскости движения Луны с низкой геоцентрической орбитывысотой около hcir = 200 км. Требуется вывести его на переходную траекторию,которая достигает круговой орбиты радиуса aM = 384 400 км. Оптимальной поэнергетике траекторией перелета в поле одного притягивающего тела являетсяполуэллипс Гомана.
Поэтому минимальное приращение скорости в перигее (прикомпланарном с начальной орбитой перелете) составляет ΔV1 = 3.133 км/с, чтовсего на ∼ 93 м/с меньше местной параболической скорости. Угловая дальностьгомановского перелета 180◦ . Следовательно, на траекториях компланарного перелета к Луне надо стремиться обеспечить угловое расстояние порядка 180◦ междурадиусами-векторами точек отлета и сближения с Луной.
Стартовая скорость приэтом оказывается близкой к параболической.Рассмотрим теперь приближенную методику расчета траекторий сближенияс учетом сферы действия Луны. Пусть известны начальный радиус-вектор r1 1 при старте КА с промежуточной орбиты. Тогда с помощьюи вектор скорости Vгеоцентрических интегралов энергии и площадей можно определить траекториюперелета до сферы действия Луны. Если в точке входа в сферу действия r2 — 2 — скорость КА относительно Земли, то погеоцентрический радиус-вектор, а Vизвестному в этот момент геоцентрическому радиусу-вектору Луны rM и ее M можно вычислить соответствующие параметрыскорости относительно Земли Vдвижения КА относительно Луны 2 = V2 − VM .r = r2 − rM , VПо ним вычисляются селеноцентрические интегралы энергии и площадей,которые определяют траекторию КА в сфере действия Луны.Аналогично производится пересчет селеноцентрических параметров движенияв геоцентрические при вылете КА из сферы действия Луны.204Глава 5.
Полет к Луне и планетамОценим наименьшую скорость входа КА в сферу действия Луны. Пусть перелетКА осуществляется в плоскости орбиты Луны, причем радиус апогея траекторииминимален: rα = 384 400 км − 66 000 км = 318 400 км. Такая траекториятолько касается сферы действия Луны и имеет минимальную возможную энергиюв геоцентрическом движении. Геоцентрическая скорость в апогее траектории прикасании сферы действия Луны составит Va = 0.225 км/с. Геоцентрическая скорость M (где VM = 1.018 км/с) в этот момент коллинеарна скорости V α , тогдаЛуны Vвеличина селеноцентрической скорости КА окажется минимальной | = |Vα − V M | = 0.793 км/с.|VМестная параболическая скорость на сфере действия Луны Vpar (66 000 км) == 0.385 км/с, следовательно, даже при минимальной скорости входа КА в сферудействия Луны величина этой скорости в два раза превышает местную параболическую скорость.
Таким образом, селеноцентрический участок траектории КАв сфере действия всегда является гиперболой, независимо от начальных данных.Возможные селеноцентрические траектории показаны на рис. 5.1. Точки входазанимают около половины сферы действия Луны [5.3].Рис. 5.1. Селеноцентрические траектории в сфере действия ЛуныИз-за гиперболической скорости полета КА в сфере действия, Луна не можетзахватить, т. е. перевести на селеноцентрическую замкнутую орбиту КА, запущенный с Земли, как бы мала ни была его начальная скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
