Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 43
Текст из файла (страница 43)
За это время выполненбольшой объем научных исследований и произведен забор лунного грунта.Используя посадочную ступень в качестве стартового устройства, 21 сентябряв 10 ч 43 мин станция стартовала к Земле. Двигатель был выключен при достижении скорости 2 708 м/с, и дальнейший полет осуществлялся по баллистическойтраектории, без коррекции. 24 сентября в 8 ч 10 мин возвращаемый аппаратвошел в атмосферу Земли. Перегрузки в процессе спуска достигали 350 единиц,а полет в атмосфере занял около 16 мин.Отсутствие коррекции на траектории перелета Луна — Земля потребоваловысокой точности формирования начальных условий движения и уменьшениячувствительности траектории к ошибкам за счет повышения начальной скорости.Результатом последнего явилось сокращение времени перелета до трех суток.5.3.
ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМРасчет межпланетных траекторий КА является более сложной задачей, чем расчеттраекторий к Луне, так как приходится учитывать наличие нескольких притягивающих тел. Кроме того, длительность межпланетных перелетов на несколькопорядков больше длительности перелета к Луне. Это вносит свои трудностив расчет межпланетных траекторий. Из-за громоздкости численных методов ониоказываются неудобными при массовых расчетах по выбору рациональной схемыперелета, сроков отправления и прибытия и т.
п.5.3. Полет к планетам217В этой связи большое практическое применение получили методы приближенного расчета межпланетных траекторий, основанные на разделении траекториипо участкам полета в сферах гравитационного действия разных небесных тел.Вводятся гелиоцентрический и планетоцентрические участки траектории, которыедолжным образом стыкуются на границах перехода от одного участка к другому.Планетоцентрические участки часто ограничивают сферами действия планет,хотя в некоторых задачах более целесообразным оказывается использование гравитационных сфер больших размеров, таких как предложенная М.
Д.Кисликомсфера радиусом RK = 1.15am̃1/3 [5.2] или гравитационная сфера минимальныхотклонений радиусом Rm = am̃1/3 [5.13]. Здесь a — среднее расстояние междуцентрами планеты и Солнца, m̃ — отношение массы планеты к массе Солнца. Радиусы указанных гравитационных сфер для планет Солнечной системы приведеныв табл. 5.3.Таблица 5.3Характеристики орбит и гравитационных сфер планетСолнечной системыПланетаНаклонениеЭксцентриситетк плоскостиорбитыэклиптикиБольшаяполуосьорбиты,а. е.Радиус сферы, млн кмдействияМеркурийВенераЗемляМарсЮпитерСатурнУранНептунПлутон7◦3 2401◦ 511◦ 192◦ 300◦ 461◦ 4717◦ 9◦0.20560.00680.01680.09330.04830.05590.04630.00900.24860.38710.72331.01.5245.2039.55519.2230.1139.520.1130.6160.9250.57848.254.651.987.037.6Кислика0.3671.682.481.8088.1108.3116.4193.195.4минимальныхотклонений0.3201.462.161.5676.694.1101.2167.983.0Заметим, что при расчете межпланетной траектории путем соединения отдельных участков, расположенных в разных гравитационных сферах, основная ошибкаможет возникать не из-за неправильно выбранного радиуса сферы, а вследствиенеточного знания истинного положения планеты, вокруг которой строится гравитационная сфера.В проектно-баллистических расчетах допустима импульсная аппроксимацияманевра КА на межпланетной траектории, так как длительность активного участкаоказывается на много порядков меньше длительности участков пассивного полета.Перелет КА от Земли к планете назначения можно интерпретировать как задачувстречи в гравитационном поле Солнца, если принять, что сферы действия планетстянуты в точки, совпадающие с их центрами масс, а притяжением планет нагелиоцентрическом участке можно пренебречь.
Но даже в упрощенной постановкечасто учитывают наклонение орбиты планеты назначения к плоскости эклиптики218Глава 5. Полет к Луне и планетами эксцентриситеты орбит Земли и планеты (табл. 5.3). В противном случае могутвыпасть характерные особенности получаемых результатов, например, при расчетеоптимальных дат старта и прибытия.Если заданы даты старта с Земли t1 и прибытия на планету назначения t2 , томожно по Астрономическому ежегоднику определить начальный r1 (для Земли)и конечный r2 (для планеты) радиусы-векторы.
Разность Δt = t2 − t1 задаетдлительность перелета КА между r1 и r2 . Требуется найти траекторию (или орбиту)перелета, удовлетворяющую заданным условиям, т. е. решить задачу Ламберта.5.3.1. Задача Ламберта. Получим уравнение Ламберта для эллиптической траектории перелета. Пусть r1 и r2 — радиусы начальной M1 и конечной M2 точектраектории, время перелета между которыми равно Δt, d — длина хорды M1 M2(рис. 5.6 а). Для упрощения выкладок будем полагать, что дуга M1 M2 расположенана орбите после перицентра, но до апоцентра.
Обозначим эксцентрические аномалии точек M1 и М2 через E1 и E2 , тогда из уравнения (4.1.29) найдемa3/2Δt = √ [E2 − E1 − e (sin E2 − sin E1 )]μилиE1 + E2E2 − E1a3/2E2 − E1 − 2e sincos.(5.3.1)Δt = √μ22Выразим правые части (5.3.1) через длины отрезков r1 , r2 , d. Предварительновведем число k, определяемое условиямиE1 + E2cos k = e cos, 0 ≤ k ≤ π.(5.3.2)2ОбозначимE2 − E1l=,(5.3.3)2причем из ограничения на длину дуги M1 M2 следует, чтоπ0<l≤ .2Преобразуем формулу (5.3.1) с помощью k и l:a3/2a3/2Δt = √ (2l − 2 sin l cos k) = √ {2l − [sin (k + l) − sin (k − l)]} .(5.3.4)μμВведем новые вспомогательные величиныε = k + l, δ = k − l,(5.3.5)тогда (5.3.4) приведется к видуa3/2Δt = √ [(ε − sin ε) − (δ − sin δ)] .μ(5.3.6)Соотношение (5.3.6) называют формулой Ламберта.Установим теперь связь ε и δ с r1 , r2 , d, a, e, μ.
Согласно уравнению орбитыс эксцентрической аномалией в качестве аргумента E имеем,r1 = a (1 − e cos E1 ) ,r2 = a (1 − e cos E2 ) ,5.3. Полет к планетам219Рис. 5.6. Классификация эллиптических траекторий перелета в задаче ЛамбертатогдаE1 − E2E1 + E2cos,r1 + r2 = 2a 1 − e cos22или с учетом (5.3.2) и (5.3.3)r1 + r2 = 2a (1 − cos k cos l) ,откудаr1 + r2cos k cos l = 1 −.2a(5.3.7)220Глава 5. Полет к Луне и планетамСледовательно,22d 2 = a2 (cos E2 − cos E1 ) + b2 (sin E2 − sin E1 ) =E1 + E2E2 − E1E2 − E1E1 + E2sin2+ 4b2 sin2cos2== 4a2 sin22222E1 + E2= 4a2 sin2 l 1 − cos2 k == 4a2 sin2 l 1 − e2 cos22= 4a2 sin2 k sin2 l.Отсюдаd = 2a sin k sin l.Здесь взят знак «+» с учетом ограничений на k и l.
Из последней формулы имеемd.(5.3.8)2aВычитая и складывая почленно соотношения (5.3.7) и (5.3.8), получим, принимая во внимание условия (5.3.5),sin k sin l =cos ε = 1 −r1 + r2 + d2a(0 < ε < π),(5.3.9)r1 + r2 − d(0 < δ < π).(5.3.10)2aИтак, время перелета по дуге M1 M2 , начальное и конечное положение КА,определяемые величинами радиусов r1 , r2 и хордой d, а также величина большойполуоси a связаны формулой Ламберта (5.3.6) и соотношениями (5.3.9), (5.3.10).По условию рассматриваемой задачи величины Δt, r1 , r2 , d заданы.
Тогда (5.3.6)является трансцендентным уравнением относительно большой полуоси a, котороеможет быть решено численно.Если известна величина a, то можно найти параметр p орбиты перелета.С этой целью предварительно установим соотношение между разностью истинныханомалий точек M2 и M1Φ = ϑ2 − ϑ1cos δ = 1 −и разностью их эксцентрических аномалий E2 − E1 . Из уравнения орбиты (4.1.2)можно выразить1 pcos ϑi =− 1 , i = 1, 2,e riи затем разность cos ϑ2 − cos ϑ1 привести к видуr1 r2ϑ1 + ϑ2Φr1 − r2= −2sinsin .ep22Аналогично найдем из уравнения орбитыr = a(1 − e cos E),чтоcos Ei =ri 11−,eai = 1, 2(5.3.11)5.3.
Полет к планетам221иE2 + E1E2 − E1r1 − r2= −2a sinsin.e22(5.3.12)Приравнивая правые части (5.3.11) и (5.3.12), получимr1 r2ϑ1 + ϑ2ΦE 2 + E1E2 − E1sinsin = a sinsin.p2222Здесьϑ1 + ϑ2=sin2'!(5.3.13)1[1 − cos (ϑ1 + ϑ2 )] =2(1 − e2 ) (1 − cos E1 cos E2 + sin E1 sin E2 )=2 (1 − e cos E1 ) (1 − e cos E2 )!'ap 1 − cos(E2 − E1 )apE2 + E1==;sinr1 r22r1 r22=тогда уравнение (5.3.13) преобразуется к виду√Φ √E 2 − E1,r1 r2 sin = ap sin22гдеE2 − E1ε−δ=.22Окончательно для параметра орбиты p перелета имеем следующую формулу:p=Φ2a sin2 ε−δ2r1 r2 sin2.(5.3.14)Зная величины a и p, можно определить эксцентриситет орбиты перелета изсоотношения (4.1.25).Полученные соотношения справедливы для вполне определенного расположения траектории перелета: дальше перицентра, но ближе апоцентра. В этом случаени фокус F1 , в котором находится притягивающее тело, ни свободный фокус F2не попадают вовнутрь сегмента s, образованного хордой d и дугой траекторииперелета M1 M2 (рис.
5.6 а).Если сегмент s содержит оба фокуса F1 и F2 (рис. 5.6 б), то формула Ламбертапринимает видa3/2Δt = √ [2π − (ε − sin ε) + (δ − sin δ)] .μ(5.3.15)Когда сегмент s содержит фокус F1 , но не содержит фокуса F2 (рис. 5.6 в), тоa3/2Δt = √ [(ε − sin ε) + (δ − sin δ)] .μ(5.3.16)222Глава 5. Полет к Луне и планетамНаконец, в случае, когда сегмент s не содержит F1 , а содержит фокус F2(рис. 5.6 г), имеемa3/2Δt = √ [2π − (ε − sin ε) − (δ − sin δ)] .μ(5.3.17)В последних двух случаях при вычислении параметра p орбиты перелетав формулу (5.3.14) следует подставлять −δ.Если положение фокусов F1 и F2 эллиптической траектории относительносегмента s заранее не известно, то при определении типа траектории перелетаполезным оказывается понятие граничной орбиты.
У граничной орбиты свободныйфокус F2 находится на хорде d, соединяющей точки M1 и M2 (рис. 5.6 д), отсюдаr1 + F2 M1 + r2 + F2 M2 = 4abound ,где F2 M1 + F2 M2 = d. Тогда значение большой полуоси граничной орбиты1abound = (r1 + r2 + d).(5.3.18)4Для граничной орбиты из формулы (5.3.9) следует ε = π, а формула Ламбертаимеет вид3/2aboundΔtbound = √[π − (δ − sin δ) sign (sin Φ)] .μ(5.3.19)Если заданное время перелета удовлетворяет условиюΔt < Δtbound ,то перелет КА возможен только по эллиптической траектории первого рода [5.14],у которой свободный фокус F2 лежит вне сегмента s (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
