Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. прицельная дальность равна мнимой полуоси. Полученный результат позволяетвычислить величину постоянной интеграла площадей (3.1.8) через скорость V∞и перпендикулярное к ней плечо b в бесконечно удаленной точкеC = bV∞ ,(4.1.37)а затем дать энергетическое толкование величине действительной полуоси. В самомделе, параметр траектории, согласно (4.1.5), естьp=или с учетом (4.1.37)p=C2μ2b 2 V∞.μНо, с другой стороны, по формуле (4.1.36)p=b2,aa=μ.2V∞поэтому(4.1.38)Приведем для гиперболической траектории геометрический вывод уравненияКеплера, связывающего положение КА на траектории с временем полета отперицентра [4.5].
Из построений на рис. 4.4 следует, что площадь, заметаемаярадиусом-вектором r, естьSF1 πM = SF1 0M − Sπ0M ,гдеSF1 0M =111F1 0 · MN = cb sh H = aeb sh H,222Sπ0M = abH,24.1. Классификация невозмущенных траекторий163Рис. 4.4. К выводу уравнения Кеплера для гиперболической траекториипоэтому1ab (e sh H − H) .2Используя понятие секториальной скорости (4.1.15), можно записатьSF1 πM =1C (t − tπ ) ,2а затем приравнять эти соотношения с учетом (4.1.36) и равенства√C = μp = μa(e2 − 1).SF1 πM =Тогда окончательно получим уравнение Кеплера для гиперболической траекторииa3/2t − tπ = √ (e sh H − H).μВеличина H вычисляется через истинную аномалию по формуле'He−1 ϑth =tg .2e+1 2(4.1.39)(4.1.40)164Глава 4.
Орбитальное движение космического аппарата в центральном поле4.1.3. Параболическая траектория. Если на траектории выполнено условие(4.1.18), т. е. скорость равна параболической, или, как ее еще называют, второйкосмической, КА обладает минимальной необходимой энергией, которая позволяетему удалиться от притягивающего тела неограниченно далеко, однако скоростьпри этом будет стремиться к нулю.
Сравнивая соотношения для первой и второйкосмических скоростей, получим√Vpar (r) = 2Vcir (r).(4.1.41)Для практического использования параболическая траектория (e = 1) представляет ограниченный интерес, так как малейшая ошибка в скорости приводитк эллиптическому или гиперболическому движению. Однако параболическая траектория имеет важное значение в теоретических исследованиях, поскольку онаявляется границей между двумя основными классами траекторий.4.1.4.
Положение КА в пространстве. Для определения положения КА в пространстве можно использовать любую совокупность из шести независимых постоянных движения и текущее время. Например, задать три координаты и трисоставляющие скорости в некоторый момент времени. Однако эти величины непозволяют наглядно охарактеризовать траекторию, в связи с чем наиболее употребительна следующая система элементов траектории (орбиты), заимствованная изастрономии.Рис.
4.5. Параметры траектории в пространствеПлоскость движения фиксируется с помощью долготы восходящего узла Ωи наклонения i (рис. 4.5). Восходящий узел соответствует переходу траектории изюжного полушария в северное, а нисходящий узел — обратному переходу. Линиюпересечения плоскостей траектории полета и экватора называют линией узлов.(Заметим, что все геометрические построения рис. 4.5 выполнены на сфере единичного радиуса для иллюстрации основных угловых соотношений.) Долгота Ω(0 ≤ Ω < 2π) отсчитывается от некоторого направления, например, от направления4.2.
Компланарные маневры165на точку весеннего равноденствия Υ. Наклонение орбиты i (0 ≤ i ≤ π) определяетугол в восходящем узле между плоскостью экватора и плоскостью траектории.При i = 0 и i = π траектория располагается в плоскости экватора, причемв первом случае движение происходит по вращению Земли, а во втором — против.При i = π/2 траектория совпадает с плоскостью меридиана.Положение перицентра в плоскости траектории фиксируется с помощью угла ω(аргумента перицентра) между восходящим узлом и радиусом-вектором перицентра rπ . Аргумент перицентра меняется в диапазоне 0 ≤ ω < 2π.
Параметр p, какуже отмечалось, определяет линейные размеры траектории, а эксцентриситет e —ее форму. Наконец, момент времени пролета перицентра tπ позволяет произвестипривязку по времени.Таким образом, параметры Ω, i, ω, p, e полностью задают траекторию КАв пространстве. Зная tπ можно для любого фиксированного момента времени tвычислить с помощью уравнения Кеплера положение КА в пространстве и в случаенеобходимости определить координаты и составляющие скорости в любой системекоординат (см., например, [4.2]).
Наоборот, если известны два положения КАв принятой системе координат и моменты прохождения через эти точки, то можноопределить все элементы траектории полета КА [4.6]. Выкладки упрощаются,если известны три положения КА и момент пролета одной из измеренных точек.Заметим, что указанное число измерений является теоретически минимальным.В действительности, из-за наличия ошибок измерений и других неблагоприятныхфакторов (например, неточности модели движения) число измерений должно бытьсущественно больше. Обработка измерений проводится по специальной методике[4.6, 4.7].4.2.
КОМПЛАНАРНЫЕ МАНЕВРЫМаневром называется управляемое движение КА, в результате которого первоначальная траектория свободного полета меняется на некоторую другую, конечную.Маневр является компланарным, если на протяжении всего рассматриваемоговремени КА остается в одной и той же плоскости. Начальная и конечная траекториимогут принадлежать одному классу или различным.В типичной ситуации начальная и конечная траектории заданы, а требуетсяопределить оптимальные условия проведения маневра, минимизирующего расходтоплива.
Сюда входят выбор моментов включения двигательной установки, нахождение величины и оптимальной ориентации вектора тяги [4.8].4.2.1. Маневры с ограниченной тягой и импульсные маневры. Траекторию,связывающую начальную и конечную траектории КА, называют переходной. Переходная траектория содержит участки активного полета (с работающим двигателем)и пассивного (с выключенным двигателем).
Возможен точный и приближенныйрасчет переходной траектории. Точный расчет осуществляется путем численногоинтегрирования на ЭВМ уравнений активного и пассивного участков. Приближенный расчет основан на том, что обычно длительность активных участковпренебрежимо мала по сравнению с длительностью пассивных участков. Это166Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полепозволяет аппроксимировать активный участок скачкообразным (импульсным)изменением скорости и не учитывать изменение координат на активном участке.Чтобы в импульсной постановке повысить точность определения необходимыхдля выполнения маневра затрат характеристической скорости (которая с помощьюформулы Циолковского легко пересчитывается в потребный запас топлива КА),необходимо учесть потери скорости, которые неизбежно возникнут в процессе реального маневра.
Если рассматривается разгон с околокруговой орбиты,то можно численным интегрированием предварительно установить зависимостьотносительных суммарных потерь ΔṼloss = ΔVloss /ΔVf от величины полногоприращения скорости ΔVf , а затем пользоваться этой зависимостью для введенияпоправок при расчете импульсного разгона. Поправочная зависимость оказываетсяполезной и в тех случаях, когда маневр совершается вблизи апсидальных точек,т. е. в перицентре или апоцентре, где скорость горизонтальна.При маневрах в космическом пространстве необходимо учитывать практическитолько гравитационные потери и потери скорости на управление. Как показалаоптимизация управления вектором тяги при разгоне с космической траектории,тяга должна быть направлена почти по касательной к траектории (т. е.
угол атакиблизок к нулю). В этом случае обеспечивается наибольшее увеличение интегралаэнергии при разгоне [4.9]. Но если угол атаки близок к нулю, то потери скорости науправление пренебрежимо малы, и остается учесть только гравитационные потери.Зависимости ΔṼgrav = f (ΔVf ), построенные на рис. 4.6, получены путемрасчета разгона КА с круговой орбиты при действии тяги по касательной к траектории. Видно, что гравитационные потери существенно зависят от начальнойРис. 4.6. Относительные гравитационные потери при разгоне с круговой орбиты покасательной4.2.
Компланарные маневры167тяговооруженности КА n0 и меньше зависят от удельной тяги Psp v . Рассмотренный диапазон n0 = 0.25 ÷ 0.7 примерно соответствует оптимальным значениямначальной тяговооруженности, которые обеспечивают максимальную массу полезной нагрузки с учетом потерь скорости и изменения массы конструкции приварьировании n0 [4.10].Если в маневре предполагается снижение скорости, то оптимальная ориентациявектора тяги должна обеспечивать угол атаки α ≈ π. Гравитационные силыбудут препятствовать торможению КА, следовательно, возникнут гравитационныепотери скорости, которые приближенно можно учесть с помощью построенныхзависимостей ΔṼgrav = f (ΔVf ).
Таким образом, задачи разгона и торможения КАоказываются обратимыми.Импульсное управление не только удобно с точки зрения упрощения расчетов,но оказывается, что именно на таких траекториях в ряде задач достигается абсолютный минимум характеристической скорости, потребной для маневра, которая часторассматривается в качестве минимизируемого функционала. Так, в работе [4.11]доказано, что оптимальные переходы между произвольными компланарными, свободно ориентированными орбитами имеют импульсный характер. Можно ожидать,что и в других задачах маневрирования в космическом пространстве импульсноеуправление будет обеспечивать абсолютный минимум затрат характеристическойскорости.
Действительно, любое расширение области допустимых управленийпо величине тяги будет способствовать (с учетом оптимальности граничногоуправления) уменьшению минимизируемого функционала — характеристическойскорости. Поэтому при неограниченном увеличении тяги в пределе реализуются импульсное управление и абсолютный минимум затрат характеристическойскорости на маневр. Отсюда видно важное значение, которое имеем импульсноеуправление в проектно-баллистических расчетах.4.2.2. Импульсные маневры между эллиптическими орбитами. Случай перехода КА между компланарными эллиптическими орбитами наиболее часто встречается в практике.
Постановка задачи может быть различной. Иногда требуетсяопределить оптимальную траекторию перехода между заданными орбитами припроизвольном расположении начальной и конечной точек переходной траектории.В другом случае одна из указанных точек (или обе) могут быть фиксированы.Наконец, в некоторых задачах ориентация начальной и конечной орбит может выбираться из условия минимизации затрат характеристической скорости на маневр.Переходная траектория реализуется с различным числом импульсов. Одноимпульсный переход возможен только в том случае, когда орбиты имеют по крайнеймере одну общую точку. Маневры с двумя и большим числом импульсов применяются при произвольном расположении орбит. Чем меньше число импульсов, темпроще проводить оптимизацию маневра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
