Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (3-е изд., 2015) (1246992), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Эллиптическая орбита. Геометрия эллиптической орбиты характеризуется значением эксцентриситета из диапазона 0 < e < 1 и параметром p. Любыедва других параметра из набора a, b, c, rπ , rα (см. рис. 4.1) и т. п. могут такжеоднозначно определять эллиптическую орбиту. Рассмотрим, например, rπ и rα .Пользуясь соотношениями (4.1.3) и (4.1.4), выразим эксцентриситет e и параметрp через rπ и rα :e=rα − rπ,rπ + rαp=2rπ rα.rπ + rα(4.1.19)156Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРис. 4.1. Эллиптическая орбитаБольшая полуось эллиптической орбиты a (рис. 4.1) определяет среднее расстояние КА от центра притягивающего телаrπ + rαa=.2Величину c называют линейным эксцентриситетом, так какce= .aМалую полуось b можно вычислить из соотношенийb = a 2 − c2 = a 1 − e2 .При e = 0 имеет место круговая орбита, которая характеризуется постояннымрадиусомr = p = rcirи постоянной скоростью'Vcir (r) =μ,r(4.1.20)определенной с помощью формулы (4.1.9).
Эту скорость называют круговой илипервой космической.Определим теперь скорость в характерных точках эллиптической орбиты.Прежде всего, отметим, что скорости в перицентре и апоцентре связаны правиломрычага (4.1.12), а вычисляются они по формулам (4.1.10) и (4.1.11). Однакоэти формулы не очень удобны для практического применения, поскольку онитребуют знания величин эксцентриситета и параметра орбиты. Более наглядными4.1. Классификация невозмущенных траекторий157оказываются формулы, которые определяют скорости в апсидальных точках орбитычерез радиусы перицентра и апоцентра.
Если подставить соотношения (4.1.19)в (4.1.10) и (4.1.11), то после несложных преобразования получим с учетом (4.1.20):'2rαVπ = Vcir (rπ ),(4.1.21)r + rα' π2rπ.(4.1.22)Vα = Vcir (rα )rπ + rαРассмотрим уравнение, устанавливающее связь между временем полета и положением КА на эллиптической орбите. Подобное соотношение было уже полученодля вычисления времени полета ГЧ на пассивном участке, однако в уравнение(3.2.32) входят начальные и конечные параметры траектории, которые удобны длязадач баллистической стрельбы, но усложняют вычисления в задачах орбитальногодвижения.
Для таких задач целесообразнее в качестве аргумента использоватьвеличины, фиксирующие угловое положение КА в плоскости орбиты.Рис. 4.2. Связь между эксцентрической и истинной аномалиямиКак и прежде, будем исходить из интеграла площадей, при этом учтем уравнение орбиты (4.1.2) и соотношение (4.1.5).
Тогда по аналогии с (3.2.20) можнозаписатьp3/2 ϑdϑt − tπ = √,(4.1.23)μ 0 (1 + e cos ϑ)2где tπ — время пролета перицентра (ϑ = 0). Этот интеграл зависит от величиныe, т. е. от класса траектории полета. В случае эллиптической траектории вместоистинной аномалии вводят новую переменную E — эксцентрическую аномалию.Геометрическую связь между эксцентрической и истинной аномалиями иллюстрирует рис.4.2.Введем прямоугольную систему координат 0xy, начало которой совпадаетс центром эллипса, ось 0x направлена по линии апсид в сторону притягивающего158Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полетела F1 , а ось 0y направлена по малой полуоси эллипса (рис.4.2). Тогда координатыточек эллипсаx = a cos E, y = b sin E = a 1 − e2 sin E.(4.1.24)Параллельным сдвигом вдоль оси апсид на величину c = ae получим из 0xyвспомогательную систему координат F1 ξη, в которой координаты точек эллипсаξ = x − ae = a(cos E − e), η = y = a 1 − e2 sin E.Но с другой стороны, для полярной системы координат с полюсом в точке F1ξ = r cos ϑ,η = r sin ϑ.Используя уравнение связиr2 = ξ 2 + η 2 ,установим соотношение между истинной и эксцентрической аномалиями:22r2 = a2 (cos E − e) + a2 1 − e2 sin2 E = a2 (1 − e cos E) .Отсюдаr = a (1 − e cos E) ,а из уравнения орбиты (4.1.2)r=тогдаp,1 + e cos ϑp.1 + e cos ϑС помощью соотношений (4.1.3) и (4.1.4) найдемp = a 1 − e2 ,a (1 − e cos E) =а затем1 − e cos E =откудаcos E − e,cos ϑ =1 − e cos EДалее,(4.1.25)1 − e2,1 + e cos ϑ√1 − e2 sin Esin ϑ =.1 − e cos E(4.1.26)'√1 − e2 sin E1 + e sin Esin ϑϑ==,tg =21 + cos ϑ1 − e cos E + cos E − e1 − e 1 + cos Eилиϑtg =2'1+e Etg .1−e 2(4.1.27)Именно в таком виде обычно используется уравнение связи истинной и эксцентрической аномалий.4.1.
Классификация невозмущенных траекторий159Произведем теперь замену переменной ϑ на E в подынтегральном выражении(4.1.23). Предварительно с помощью соотношений (4.1.26) найдемcos E − ecos ϑ dϑ = 1 − e2dE,2(1 − e cos E)√откуда1 − e2dE.dϑ =1 − e cos E√Тогдаp3/2 E (1 − e cos E)21 − e2t − tπ = √dE,2μ 01 − e cos E(1 − e2 )илиp3/2t − tπ = √(E − e sin E) .3/2μ (1 − e2 )Но согласно (4.1.25)p= a,1 − e2поэтому окончательно получимa3/2t − tπ = √ (E − e sin E) .μ(4.1.28)Это соотношение называют уравнением Кеплера. Оно устанавливает связьмежду положением КА на эллиптической орбите и временем полета от перицентрадо рассматриваемой точки.Если требуется определить время перелета КА по эллиптической траекториимежду двумя точками, истинные аномалии которых ϑ1 и ϑ2 известны, то с помощьюформулы (4.1.27) можно определить их эксцентрические аномалии E1 и E2 , а затем,используя уравнение Кеплера, вычислить длительность перелетаa3/2t2 − t1 = √ [E2 − E1 − e ( sin E2 − sin E1 )] .μ(4.1.29)Когда протяженность перелета равна одному обороту по орбите, т.
е.E2 = E1 + 2π, уравнение (4.1.29) определяет период обращенияa3/2T = 2π √ .μ(4.1.30)Отсюда видно, что период обращения зависит только от параметра μ — произведения гравитационной постоянной на массу притягивающего тела и величиныбольшой полуоси орбиты a, т. е. среднего расстояния КА от центра притягивающеготела.Пусть T1 и T2 — периоды обращения двух космических аппаратов относительноодного и того же притягивающего тела и a1 , a2 — большие полуоси соответствующих эллиптических орбит. Тогда с помощью формулы (4.1.30) можно установить, чтоT12a31=.T22a32(4.1.31)160Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеЭто соотношение определяет третий закон Кеплера, который применительнок рассматриваемой задаче можно сформулировать так:Квадраты периодов обращения двух космических аппаратов относительноодного и того же притягивающего тела пропорциональны кубам их среднихрасстояний от центра притягивающего тела.Уравнение Кеплера (4.1.28) может быть использовано для определения положения КА на орбите в заданные моменты времени.
В этом случае приходится решатьтрансцендентное уравнение относительно E. Обычно применяются различныеитерационные методы [4.2, 4.4].4.1.2. Гиперболическая траектория. Если постоянная интеграла энергии h̃ > 0,то имеет место гиперболическая траектория. Эта траектория является незамкнутой,и КА может удалиться по ней от притягивающего тела неограниченно далеко(r → ∞), причем движение происходит по той ветви гиперболы, в фокусекоторой находится притягивающее тело. Значение истинной аномалии, при которомзнаменатель уравнения траектории полета (4.1.2) обращается в нуль, называетсяпредельным (ϑlim ):1, r |ϑlim → ∞.ϑlim = arccos −(4.1.32)eСледовательно, при полете по гиперболической траектории истинная аномалиябудет изменяться в диапазоне11− arccos −≤ ϑ ≤ arccos −.eeС учетом значения постоянной интеграла энергии (4.1.17) для гиперболическойтраектории имеем2μ2V2 −= V∞,rно согласно (4.1.18),2μ2= Vpar(r) ,rпоэтому22+ V∞,V 2 (r) = Vpar(4.1.33)т.
е. квадрат местной гиперболической скорости равен сумме квадратов местнойпараболической скорости и скорости на бесконечности. В этой связи величинуV∞ часто называют гиперболическим избытком скорости.Рассмотрим теперь основные геометрические соотношения для гиперболической траектории (рис. 4.3). Радиусы перицентра (F1 π) и формального апоцентра(F1 α) вычисляются по формуламpp, rα =,rπ =1+ee−1тогдаrα − rπ = 2a4.1. Классификация невозмущенных траекторий161Рис. 4.3.
Гиперболическая траекторияили2p,e2 − 1rα − rπ =откудаa=Далее,rπ = a (e − 1) ,и отсюда можно найтиp.e2 − 1(4.1.34)rα = a (e + 1) ,e=1+rπ.aВычислим 0π = 0D cos (π − ϑlim ) = 0De , но по построению 0π = a. Следовательно,0D = ae = c и 0D = 0F1 .2Затем определим (0D) = c2 = a2 e2 и, учитывая, что из прямоугольного треуголь2ника Dπ0 имеем (0D) = a2 + b2 , получим! 2be= 1+a162Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеиb=ae2 − 1.(4.1.35)С учетом (4.1.34) и (4.1.35) получим: b2p = a e2 − 1 = .(4.1.36)aВведем теперь понятие прицельной дальности [4.5].
Когда истинная аномалияблизка к −ϑlim , направление движения КА практически совпадает с асимптотойгиперболы. Если предположить, что в этот момент сила притяжения исчезла, тоКА пролетит на расстоянии F1 N от притягивающего тела (рис.4.3). Это расстояниеF1 N и называют прицельной дальностью.Определим величину F1 N. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники0πD и 0NF1 . У них равны гипотенузы 0D = 0F1 = c, как было показано, и равныуглы ∠π0D = ∠N0F1 = π − ϑlim в силу симметрии асимптот гиперболы. ПоэтомуΔ0πD ∼ Δ0NF1 ,F1 N = Dπ = b,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
