Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.6).Тогда достаточно просто вычисляются матрицы направляющих косинусов, соответствующие последовательным поворотом на углы ψ, ϑ, γ: cos ψ 0 − sin ψ cos ϑ sin ϑ 0 100 0 Lψ = , Lϑ = − sin ϑ cos ϑ 0 , Lγ = 0 cos γ sin γ . 0 1 sin ψ 0 cos ψ 0 0 − sin γ cos γ 0 1Согласно рассматриваемому преобразованию системы координат, матрица направляющих косинусов, отвечающая переходу от начальной стартовой к связаннойсистеме координат, будет вычисляться как произведение отдельных матриц:L = Lγ Lϑ Lψ .(1.2.1)Производя перемножение матриц, получимcos ϑ cos ψsin ϑ− cos ϑ sin ψ.sinγsinψ−cosγsinϑcosψcosγcosϑsinγcosψ+cosγsinϑsinψL= cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ − sin γ cos ϑ cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ (1.2.1а)Если в начальной стартовой системе координат задан некоторый вектор своими⎡⎤составляющимиa1lnaln = ⎣ a2ln ⎦ ,a3lnто составляющие этого вектора в связанной системе координат⎤⎡a1a = ⎣ a2 ⎦a3можно вычислить с помощью матрицы L:a = Lalnили⎤⎡⎤a1lna1⎣ a2 ⎦ = L ⎣ a2ln ⎦ .a3a3ln⎡(1.2.2)Формула (1.2.2) определяет преобразование вектора из начальной стартовойв связанную систему координат..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»20Глава 1.
Уравнения движенияПереход от связанной к начальной стартовой системе координат производитсяс помощью обратной матрицы L−1 (или транспонированной матрицы LT в силуортонормированности матрицы L):aln = L−1a = LT a.Пользуясь указанным способом, можно найти матрицу перехода от скоростнойсистемы координат к связанной.
При этом ограничимся случаем, когда ЛА имеетплоскость симметрии, а ориентация вектора скорости задается углами атаки αи скольжения β: cos α cos βsin α − cos α sin β sin α sin β Ã = . − sin α cos β cos αsin β0cos βПересчет произвольного вектора av , заданного в скоростной системе координатсвоими составляющими⎡⎤a1vav = ⎣ a2v ⎦ ,a3vв связанную систему координат осуществляется по формулеa =Ãav .Таким образом, при заданных углах, определяющих положение одной системыкоординат по отношению к другой, всегда можно вычислить матрицу перехода какпроизведение отдельных матриц, отвечающих последовательным поворотам на этиуглы.1.3.
ФИГУРА И ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИОдной из основных сил, действующих на ЛА в полете, является сила земногопритяжения: = mg.GЗдесь m — масса ЛА, g — ускорение силы притяжения. Величина g в расчетахзависит от принятой модели фигуры Земли и соответствующей ей модели гравитационного поля. Из-за сложности фигуры Земли ее практически невозможноописать точно.
Неоднородность структурного состава Земли, наличие областейс повышенной гравитацией (так называемые «масконы» — mass concentration) ещеболее усложняют проблему. Поэтому с учетом основных требований задачи используется та или иная модель..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.3. Фигура и гравитационное поле Земли21Рассмотрим возможные модели гравитационного поля в порядке их усложненияи приближения к истинному полю Земли.Рис. 1.7. Модели фигуры Земли1.3.1. Однородное плоскопараллельное поле.
Наиболее простым приближением является представление фигуры Земли в виде тела, ограниченного плоскостью(рис. 1.7 а). В этом случае гравитационное поле является однородным и плоскопараллельным: ускорение силы притяжения не зависит от высоты и направленопо нормали к поверхности (g = const). Можно принять g = 9.81 м/с2 . Подобнаягрубая модель гравитационного поля оказывается приемлемой в задачах стрельбына дальность порядка сотен километров, движения ЛА относительно центра масс,построения итеративных (или многошаговых) алгоритмов наведения и т. п.1.3.2.
Центральное (ньютоновское) поле. В следующем приближении Землюпредставляют в виде равного ей по объему шара радиусом Rav = 6371.11 км. Такоймодели фигуры Земли соответствует центральное или ньютоновское гравитационное поле: ускорение силы притяжения изменяется обратно пропорциональноквадрату расстояния до центра Земли и направлено по радиусу к центру Земли(рис. 1.7 б).
Вектор ускорения силы притяжения в центральном поле вычисляетсяпо формулеμ rg = − 2 ,r r.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»22Глава 1. Уравнения движенияздесь μ = fME — произведение гравитационной постоянной f на массу Земли ME ,r — радиус-вектор текущего положения ЛА, r = |r| — расстояние от центра Землидо ЛА. Можно принять μ = 398600.4 км/с2 [1.9].Модель центрального гравитационного поля (рис. 1.7 б) обычно используетсядля предварительных баллистических расчетов полета ЛА вблизи Земли, когда нетребуется высокой точности.
Такая модель обеспечивает хорошую точность прирасчетах траекторий космических аппаратов, удаленных от поверхности Земли нарасстояние порядка тысяч километров. В целом ряде других баллистических задачтакая модель оказывается приемлемой по точности и одновременно достаточнопростой в вычислительном аспекте.1.3.3. Геоид, общий земной эллипсоид, референц-эллипсоид. Равнодействующая силы земного притяжения и центробежной силы инерции от суточноговращения Земли, приложенная к телу на поверхности Земли, называется силойтяжести. Обе составляющие силы тяжести нельзя разделить экспериментально,поскольку действие их проявляется физически одинаково.
Вектор силы тяжестипараллелен отвесу, т. е. параллелен нормали к уровенной поверхности потенциаласилы тяжести. Геоидом называют тело, ограниченное уровенной поверхностьюпотенциала силы тяжести, которая совпадает со свободной невозмущенной поверхностью океанов. Последняя могла бы образоваться при отсутствии приливови отливов, вариаций атмосферного давления, ветра, неравномерного нагреванияСолнцем и других причин, вызывающих волнение и течения. Поверхность геоидапродолжается и под материками (рис.
1.7 в). Поскольку потенциал силы тяжестизависит также от неоднородности внутреннего строения Земли, то поверхностьгеоида оказывается сложной.Достаточно хорошей аппроксимацией геоида является тело, ограниченноеэллипсоидом вращением, который получается вращением эллипса вокруг малойоси (рис. 1.7 г). Такое тело называется сфероидом или общим земным эллипсоидом.Его центр совпадает с центром масс Земли, а плоскость экватора параллельнаплоскости экватора Земли. Объемы геоида и общего земного эллипсоида равны.Параметры общего земного эллипсоида выбираются из условия минимума суммыквадратов разности по высоте между поверхностями эллипсоида и геоида. Обычноиспользуют следующие параметры общего земного эллипсоида, принятые Международным астрономическим союзом (МАС) в 1964 г. и несколько уточненныев последние годы [1.9]:большая полуось (экваториальный радиус) a = 6 378 137 м,сжатие α =a−ba=1298.25= 0.003352892, где b — малая полуось.Общий земной эллипсоид необходим для решения глобальных баллистическихзадач, когда протяженность траектории соизмерима с размерами Земли.
В некоторых, более ограниченных задачах оказывается целесообразным повысить точностьлокального описания фигуры Земли и ее гравитационного поля (например, натерритории одного государства) за счет использования референц-эллипсоида. Ука-.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.4.
Аэродинамические силы и моменты23занный эллипсоид ориентируют таким образом, чтобы его поверхность наилучшимобразом совпадала с поверхностью геоида в данной области. При этом центр массфигуры, ограниченной референц-эллипсоидом, может не совпадать с центром массЗемли, однако их оси вращения должны быть параллельны.В России в качестве референц-эллипсоида принят в 1946 г. эллипсоид, предложенный Ф. Н. Красовским. Параметры этого эллипсоида и некоторых другихприведены в табл. 1.1 [1.10].Таблица 1.1Параметры референц-эллипсоидовКогда предложен, гБольшая полуось, мСжатиеДеламбр18006 375 6531 : 334.0Эверест18306 377 2761 : 300.81Кларк18666 378 2061 : 294.98Хайфорд19106 378 3881 : 297.0Хейсканен19296 378 4001 : 298.2Красовский19406 378 2451 : 298.3АвторСовременные данные геодезии и астрономии свидетельствуют о том, чтодействительная фигура Земли достаточно хорошо описывается трехоснымэллипсоидом.
На основании измерительной информации, использованной приопределении параметров эллипсоида Красовского, получены следующие значенияосей трехосного земного эллипсоида [1.10]:a = 6378351.30 м, b = 6378137.70 м, c = 6356863.02 м.Такой эллипсоид называют трехосным эллипсоидом ЦНИИГА и К (Центрального научно-исследовательского института геодезии, аэросъемки и картографии).Более точная модель гравитационного поля Земли дана в Приложении 1.1.4.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫПри полете ЛА в атмосфере на него действуют аэродинамические силы и моменты, возникающие от набегающего потока воздуха. Равнодействующую всехсил, приложенную в центре давления ЛА, называют полной аэродинамическойсилой Ra . Ее обычно приводят к центру масс, добавляя соответствующий момент.Результирующий момент, действующий относительно центра масс ЛА, называют a.полным аэродинамическим моментом MКоэффициенты составляющих полной аэродинамической силы и полного аэродинамического момента определяются по результатам продувок в аэродинамических трубах или численного моделирования процесса обтекания с использованиемЭВМ. Эти коэффициенты могут уточняться в дальнейшем по данным летныхиспытаний..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»24Глава 1.
Уравнения движенияПолную аэродинамическую силу раскладывают по связанным осям или поскоростным осям, а полный аэродинамический момент — только по связаннымосям.1.4.1. Летательный аппарат с плоскостью симметрии. Для летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, обычно результаты аэродинамическихпродувок (или численного моделирования) относят к осям полусвязанной системыкоординат 0xsb ysb zsb , которая повернута относительно связанной на угол атаки α.При наличии углов атаки α и скольжения β полная аэродинамическая сила Raраскладывается на следующие три составляющие (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
