Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определено минимальноерасстояние, на котором можно включать маршевый двигатель ракеты-носителябез угрозы для экипажа самолета-носителя и с минимальной потерей выводимойполезной нагрузки.Книга содержит много примеров, которые демонстрируют практическую реализацию рассматриваемых задач баллистики, а также статистические данные поопубликованным российским и зарубежным работам.Автор надеется, что научный подход и практические рекомендации будут полезны специалистам в области баллистики, так как книга включает фундаментальныезадачи движения летательных аппаратов и современные методы решения проблемывысокоточного наведения на базе терминальных алгоритмов для БЦВМ. Эта книгаможет также служить учебным пособием для аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей при углубленном изучении задач баллистикилетательных аппаратов.Автор признателен члену-корреспонденту РАН Э. Л.
Акиму, чья поддержка,внимание и полезные рекомендации помогали в работе над книгой и способствовали улучшению ее содержания. Автор также благодарен А. П. Леутину за ценныезамечания, которые были учтены при доработке текста..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»Глава 1УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯЛетательные аппараты, такие как ракета, крылатая ракета, космический корабль,космический самолет и др., имеют общие особенности движения, связанные с использованием тяги двигателя для изменения скорости и траектории полета. Поскольку тяга создается за счет сгорания топлива, то масса ЛА может существенноменяться в процессе полета. Эта особенность учитывается при выводе векторныхуравнений движения ЛА на участке полета с работающими двигателями.Для вывода уравнений движения и исследования задач, связанных с полетомЛА, используются различные системы координат, каждая из которых позволяетупростить рассматриваемую задачу.
Сложность получающихся уравнений движения зависит также от принятой в задаче модели фигуры Земли и соответствующегоей гравитационного поля. Поэтому будут обсуждаться некоторые модели гравитационного поля Земли.Аэродинамические нагрузки, действующие на ЛА в атмосфере, зависят отскорости полета и плотности атмосферы. Истинная плотность атмосферы потраектории полета всегда отличается от стандартной, которая представляет собойрезультат осреднения измеренных параметров атмосферы на большом интервалевремени и большой территории.
Необходимо иметь оценки возможных вариацийплотности для расчета предельных нагрузок, действующих на ЛА, и разбросаконечных параметров траектории атмосферного участка. В этой связи исследуетсяглобальная модель вариаций плотности атмосферы на высотах от 0 до 120 км.Подробно будут проанализированы действующие силы и моменты. Будут выведены уравнения движения центра масс ЛА в начальной стартовой (инерциальной)системе координат и уравнения движения относительно центра масс в связаннойсистеме координат. Эти уравнения наиболее часто используются в задачах баллистики и динамики.1.1.
ОСОБЕННОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫКАК ТЕЛА ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВАДвижение ракеты на активном участке связано с расходом топлива. Следовательно,масса ракеты является переменной, и этот факт должен учитываться при выводеуравнений движения ракеты на основе теорем механики об изменении количествадвижения и об изменении кинетического момента.К одним из первых работ по исследованию проблем динамики ракет как системпеременного состава относятся [1.1 и 1.2].
Различным аспектам динамики ракетпосвящены работы [1.3–1.7] и другие.На основе проведенного анализа механики движения системы переменногосостава был сформулирован следующий принцип затвердевания для ракеты [1.4]..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»10Глава 1. Уравнения движенияУравнения движения корпуса ракеты в произвольный момент времени t могутбыть записаны в виде уравнений движения твердого тела (постоянного состава),если представить себе, что ракета затвердела в момент времени t и к полученному i,таким образом фиктивному твердому телу приложены: 1) внешние силы ΣFдействующие на ракету, кроме силы F ∗ = (pa − ph )Saex , 2) тяга двигателя P, c.3) кориолисова сила FЗдесь pa — давление газов на срезе сопла, ph — атмосферное давление, Sa —∗площадь сопла, ex — единичный вектор по направлению к голове ЛА.
Сила Fучитывается в тяге двигателя.1.1.1. Уравнение движения центра масс ракеты. Количество движения фиктивного твердого тела вычисляется по формуле (f ) = mV c(f ) ,Kгде m — масса фиктивного твердого тела, соответствующая массе ракеты в момент c(f ) — скорость центра масс C фиктивного твердого тела.времени t, VТогда c(f ) (f )dVdK c(f ) ,=m= mWdtdt(f ) c — ускорение центра масс фиктивного твердого тела. С учетом принципагде Wзатвердевания имеем уравнение движения центра масс фиктивного твердого тела: c(f ) = c.mWFi + P + F(1.1.1)Рассмотрим теперь движение центра масс ракеты, который помимо перенос ce , W ce — переносная скорость и переносноеного движения вместе с корпусом (V cr и ускорениемускорение) перемещается относительно корпуса со скоростью VWcr .
Абсолютная скорость центра масс ракеты задается уравнением ce + V cr ,c = VV(1.1.2)а абсолютное ускорение центра масс ракеты задается уравнением ce + W cr + 2ω × V cr ,c = WW(1.1.3) cr — ускорениегде ω — вектор угловой скорости вращения корпуса ракеты, 2ω × VКориолиса.В момент времени t, когда предполагается затвердевание ракеты, центры массфиктивного твердого тела и ракеты совпадают.В этот момент ce = V c(f ) , W ce = W c(f ) .VС учетом (1.1.3) имеемc −W cr − 2ω × V cr c(f ) = WW(1.1.4)и после подстановки в (1.1.1) получим уравнение движения центра масс ракеты: i + P + cr + 2mω × V cr . c = ΣFF c + mWmW(1.1.5).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.1. Особенности уравнений движения ракеты как тела переменного состава11 cr и 2m cr обусловлены перемещением центра масс ракетыСлагаемые mWω×Vотносительно корпуса и обычно малы. Поэтому ими часто можно пренебречь; тогдавекторное уравнение движения центра масс ракеты приводится к виду c = ΣF i + P + F c.mW1.1.2.
Уравнения движения ракеты относительно центра масс. Предварительно установим связь между производными по времени некоторого вектора aв невращающейся Axnr ynr znr и вращающейся Cxr yr zr системах координат. Пустьω = (ωx , ωy , ωz ) — угловая скорость вращения системы координат Cxr yr zr относительно Axnr ynr znr ; i, j, k — единичные векторы, направленные по осям вращающейсясистемы координат; ax , ay , az и ωx , ωy , ωz — соответственно составляющие векторовa и ω во вращающейся системе координат.
Тогдаa = axi + ayj + azk,и, дифференцируя по времени, получим в невращающейся системе координат:da didjdkdax day daz k + ax + ay + az .(1.1.6)=i+j+dt nrdtdtdtdtdtdtПоскольку i, j, k являются единичными векторами, то их производные определяют скорости концов этих векторов. Отсюда имеем формулы Пуассонаdidjdk=ω × i,=ω × j,= ω × k,dtdtdtс помощью которых три последних слагаемых в соотношении (1.1.6) принимаютвидdidjdkax + ay + az=ω × a.dtdtdtПервые три слагаемые соотношения (1.1.6) представляют собой производнуювектора a во вращающейся системе координат:da dax day daz k.=i+j+dt rdtdtdtТогда имеемda da =+ω × adt nrdt r(1.1.7)— формулу связи производных в невращающейся и вращающейся системах координат.Получим теперь уравнения вращательного движения ракеты относительноцентра масс, используя принцип затвердевания. Главный момент количества движения (кинетический момент) относительно центра масс фиктивного твердого телавычисляется по формуле)L(fω.c = I(1.1.8).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»12Глава 1.
Уравнения движения IxxI = −Iyx −IzxЗдесь−IxyIyy−Izy−Ixz−IyzIzz— тензор инерции, т. е. матрица, по главной диагонали которой стоят осевые моменты инерции Ixx , Iyy , Izz , а на остальных местах — соответствующие центробежныемоменты инерции Ixy , Ixz , . . . , Izy , взятые со знаком «−»; ω — абсолютная угловаяскорость тела.С учетом формулы связи (1.1.7) имеем(f )dLc)+ω × L(fc = Mc .dt(1.1.9)dL(f )Здесь dtc — производная кинетического момента во вращающейся системе коор c — главный момент всех внешнихдинат Cxr yr zr , связанной с корпусом ракеты, M cc :сил ΣMci , тяги двигателя Mcp и кориолисовых сил M c = ΣM ci + M cp + M cc .M(1.1.10)С учетом принципа затвердевания(f )dLcdω=I.(1.1.11)dtdtПодставляя теперь соотношения (1.1.8) и (1.1.11) в уравнение (1.1.9), получимdω c.+ω × Iω=MdtОтсюда найдем векторное уравнение движения ракеты относительно центрамасс:dω Σ,= I −1 M(1.1.12)dtIгде I −1 — обратная матрица, c − ω × IΣ = MωM— вектор обобщенного момента с компонентамиMΣx = Mcx + (Iyy − Izz )ωy ωz − Ixy ωx ωz + Ixz ωx ωy + Iyz (ωy2 − ωz2 ),MΣy = Mcy + (Izz − Ixx )ωz ωx − Iyz ωy ωx + Iyx ωy ωz + Izx (ωz2 − ωx2 ),MΣz = Mcz + (Ixx − Iyy )ωx ωy − Izx ωz ωy + Izy ωz ωx +Ixy (ωx2−(1.1.13)ωy2 ),Ixx , Iyy , Izz и Ixy , Ixz , Iyz — соответственно осевые и центробежные моменты инерцииракеты относительно центра масс.Элементы матрицы I −1 представляются в следующем виде: m11 m12 m13 I = m21 m22 m23 , m31 m32 m33 .Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.2.
Системы координат13где2)/Δ,m11 = (Iyy Izz − Iyzm12 = m21 = (Izz Ixy + Izx Iyz )/Δ,2(Izz Ixx − Izx)/Δ,2(Ixx Iyy − Ixy )/Δ,m23 = m32 = (Ixx Iyz + Ixy Izx )/Δ,m22 =m33 =иm31 = m13 = (Iyy Izx + Iyz Ixy )/Δ222Δ = Ixx Iyy Izz − 2I xy Ixz Iyz − I xx Izy− I yy Izx− I zz Ixy.1.2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТДля описания движения ЛА необходимо ввести некоторую систему отсчета. Отвыбора системы отсчета зависят уравнения движения.Принято называть абсолютной прямоугольную декартову систему координат,начало которой совпадает с центром масс Солнечной системы, а оси неподвижныотносительно звезд. Всякая система координат, перемещающаяся поступательноравномерно и прямолинейно относительно абсолютной системы координат, называется инерциальной.
Уравнения движения в инерциальной системе координатимеют такой же вид, как и в абсолютной.В неинерциальной системе координат помимо относительного ускорения, описывающего перемещение в этой системе, необходимо учитывать также переносноеи кориолисово ускорения, что усложняет уравнения движения центра масс ЛА.Если рассматриваемая задача позволяет пренебречь переносным и кориолисовымускорениями, то уравнения движения в неинерциальной системе координат оказываются такими же, как и в инерциальной. Выбор системы координат долженудовлетворять требованиям удобства описания движения и упрощения получаемыхуравнений.Достаточно подробная классификация систем координат дана в инженерномсправочнике [1.8].
Некоторые наиболее употребляемые системы координат приведены в ГОСТе 20058-74 «Аппараты летательные. Механика полета в атмосфере».Ниже рассматриваются только самые необходимые для последующего изложения системы координат с указанием областей их наиболее рациональногоприменения.1.2.1. Геоцентрическая сферическая система координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
