Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(2.! 78) Подставляя (2.173) в уравнение (2.177), находим йс(с) = ! + — ~"Л'(с')осла(с')с(с'. 1 (2.! 79) 'о = '-с ' = ' с» = '-с + " где)с †ш интегрирования. Тогда решение (2,! 73) перепишется в виде (г,!8О) В данной формуле приняты обозначения Л„= Л(с„); ЛС„= у(с„). Запссшелс решение кинематического уравнения (2.130) в текущссй молсейт времени с = с„, + с "внутри" шага: Л(с) = Л(с„с + ) — Л(сл )ой(т) и Л свйг(т), (2,131) где й„с - решение на л-1 шаге; Л(с) = ЛС(т) - решение "внутри" шага.
Начальное значение Л'(т) также принимается равнылс единице. 244 Кватернион Ф(с) удовлетворяет кииелсатичсскоиу уравнению (2.177) с начальным условием Л'(со) = 1. В салсом деле, при с = се Ф(се) = 1 и Л(с) = = Л(со). Следовательно, при отыскании решения уравнения (2.177) в виде (2. 178) задача сводится к определению квагерниона Лс(с). Для построения алгоритма численного лснтес7зпрованна положим в соотношении (2,178): С учетом того что кватернион )т(т) удовле)варяет тому же кинематикому уравнению, решение (2.! 79) может быль записано в инте)ральной зме в том же виле: (2.182) Первое приближение решения интегрального уравнения (2.182) имеет )т')(т) = 1 ь - ~"ьзгЫт', 1 2 (2.183) Второе приближение после подставки (2 ! 83) в (2.182) запишется в с ме(е М 2) с ~з (7) 1 2е .Юл(т) )т.
= (2.184) с " 1 + -/яе(т')Й" + -~ 1це(т')г)т' Ф(дк(т'))).'. о е е В общем случае при учете последующих слагаемых матрпцант будет >едставлен рядом: У«) = 1 + -/~~((М + -~ 1'- 1- 2 о о ~~ ~(')))т' е оы (т")с)т" « ... (2,185) 245 Зависимость (2.185) может быть использована при построении клен ныл методов для любого вшта первичной информации об угловой юрости ыг.
Рассмозриы случай получения первичной информации на :нове измерений. Заметим, что, как и при интегрировании кинематичесхх уравнений Пуассона, решение (2.185) существенно упрощается, если ервичиая информация получается в виде квазикоординат. Тогда ервичная информация на и-шаге прелставляет собой первую разность гого вектора, взятую "назад": ЧЕл = Ее((л) ЕлК-1) = ~ сЯ)4Р' Запишем (2185), заменив в нем интегралы от угловой скорости через введенные выше квазикоординаты: Лг(~) = ! - -'Е, - — ('Ел, (г ° 1,~ ГЕ,«,дг ме~й' ., (2.18б) г-1 е-!)г 2 е,х(!ь - 6 + й) - "ець - чЕшь + ч ещ !1 21 (2.! 87) и - 2) Ч.Е, Л !ЕМ гле еиг — значения квазикоорлинаты по осям базиса Е. 1 = 1, 2, 3; г— безразмерное время внутри шага, ! = — ', 0 с г с 1; Ь - шаг решения, юя = = гг, + Ь; ч" Ед.
— разности, взятые "назад", и = 1, 2, 3, 4..4 Я„- остаточный член. Процедура получения и геометрический смысл второго слагаемого (2.182) показаны на рис. 2.23, откуда видно, что че, е„(г,, - т) - е„„- — '(ь - .), Тогда задача сводится к отысканию функции ыл(т) ло данным измерений иа интервале интегрирования. Для построения решения на шаге интегрирования необходимо на основе измеренных значений квазикооРдинатЕеь =едЩпостРонтьпРиближенноезначениефУнкции Ея(с). ьхипроксимируем функцию Ед интерполяционным полииомом, опиРаЯсь на измеРенные значениЯ Ееь в Узлах иитеРполЯции га. В качестве интсрполяциоиных полииомов можно использовать ряд Тейлора, интерполяциоиичю формулу Ньютона и др. Воспользуемся в данной заааче интерполяционной формулой Ньютона и проанализируем варианты численных методов интегрирования кинематического уравнения.
Особенность интсрполяцнонной формулы Ньютона состоит в том, что интерполяция выполняется "внутри" шага Л, т.е. на интервале [гь, гД по получении последнего значения О „= ееЕь) по формуле 1и Ч9„, 9, (г, + т) = 9 „(т - Ь) —. Ь оэтому окончательно 8,' (та, т) 6мм — ч8,ав. 1! Таким образом, зна.ние квазикоординаты ,,(!» !+ т) при учстетольэ второго сласаемого наэдится при алпроксимаии функции 8!е(!) иа шаге О !и а авн нгегрировання Ь лииеиой зависимостью, что приэдит к ошибке 39!~(т) = 9;Е(т)- 8,'„(с).
Уточнение г „! з 9сеф, 1+т)=9мв вс- Ч9щ„" — Ч 9веа" — Ч 9 да с 9,пав Ь~ 2! 5! ' 4! та! ! - — Ч 9~еа-...~+ — "! — Чарва- — Ча9аяа+ — Ч 9вяа+... + 5! ~ Ьа(2! 4! 5! т!! в 2 5 а — — Чв9,в„+ — Чв9ога+ — Ч 9,яа+... 1+ Ьв(З! 4! ' 5! + — ~ — т~.9,яа+ — Ч 9аяа~..~ и — — Ч 9~Вас... «4~4!" ' 5! -'~ Ьа 5! (2.! 33) 247 «ачення 8,'(т) осуществлягся учетол! послЕдующиХ Рис.
З,2З, Лннсянаа аппроасннапна нваанаоорэннас загаемых ряда (2.137). Исользуя эту формулу, представим интерполяциоиный полнном в виде яда по степеняи т, подставив в последний безразмерное время ! = —: с. Ь Величина угловой скорости на этом же шаге получается как производнаж ~~„ ,1 ыш= — = — Ч ешь-- Ч Е,яь- -Ч Вць- Ч4в~ея- дт Ь~ 2 6 !2 ! - — ч'в„„-...~~ — ~ч'е„,- — ч'в„,+ — ч'в„„.. 2О '" "'~ Ьз~ 12 12 + — — че,„с-хе, +-че,„~...~ Ьз~2 я 4 (2.! 89) Подставляя (2.188) и (2.189) в соотношение (2.!86) и учитывая члены до четвертого порядка малости включительно, получим следующее выражение для решения Л(т) в лшмент т = Ь: Ч,(Ь)=Л- (Чвеь)'+ — (Ч'В„)'+...1--Чв„х 8 16 ~ 2 х 1- — (Че )з' — (Чзвяь)з+ — (Чвяь-Ч~вяь)- 24 32 24 (2Л90) - — (че,„) ч е„+ — че,„хч е,„. 1 2 2 1 2 46 24 + — чв хче„+ — че„хчв з 48 144 )ч,(ь) = 1 ° -че„; 1 2 (2Л 91) 243 При получении данного соотношения кватернпонные произведения были заменены на операции векторного и скалярного умножений.
Оставляя в полученной формуле члены соответствующего порядка малости, можно получить алгоритмы численных методов первого, второго и третьего порядков: У(И=1+ 178„- 1(78„)2 2 ~ 8 (2.192) Уь(Ь) 1 + -78яь1 — — («78я ) (2.193) - †(«т8яь) — ~8, зб, , 1 з 1 8 в ь' Ллгор««ть«ы численных методов определения ориентации ЛА через «раметры Ролрнга-Гамильтона на основе использования матрицанта >едставпяют собой рекуррентные соотношения различного порядка, пользование которых в БЦВМ является предпочтительным с точки ения быстродействия по сравнеищо с обычными численными методами. 4,6.
Методы коррекции решений в процессе интегрирования «иематическнхуравнений Как отмечалось выше, элементы матрицы направляющих косинусов параметры Родрига-Гамильтона представляют собой совокупности «быточных параметров ориентации, которые подчинены естественным :ловиям связи. Для матрицы направляющих косинусов даннью условия «язи определяются свойством ее ортогональности, а для параметров одрига-Гамильтона — свойством равенства нормы кватерниона, яисывающего вращение твердого тела, единице. При интегрировании кинем атических уравнений вследствие действия огрешностей, сопровождающих процесс решения этих уравнений «огрешности метода интегрирования, погрешности ««зл«ерем««й« эмпоиеит вектора угловой скорости, погрешности, связанные с вантованием информации в БЦВМ, н др.), указанные условия связи арушаются.
т.е матрица иаправляюших косинусов теряет свойство ртогональности, а кватернион вращения — свойство его норьшрованноси, В связи с этим возникает проблема коррекции получаемых решений утем ортогонализации матрицы направляющих косинусов и норировки кватерниона вращения, рассмотрил« сначала вопрос коррекции матрицы иаправляющих осииусов. Пусть А(«) — матрица направляющих косинусов, искаженная огрешностями интегрирования уравнений Пуассона. Наиболее потребительный способ ортогонализации матрицы А заключается в том, то данная матрица заменяется такой ортогональной матрицей А', оторая иаиболее близка к матрице А по критерию ь«н««««л«уь«а суммы квадратов разностей одноименных элементов матриц А н Х; У У~( )г щщ 1 (2.194) ~ = !Х - А1з - т1п, (2.19 э) Будем предполагать, что матрица А(с) остается иевырожденной в процессе интегрирования уравнений Пуассона, когда ортогональная матрица Х, удовлетворяющая условию минимальности (2.194), определяется следующей формулой (см, Приложение 3): Х (А т)-1(1 т !)У2 (2.! 96) Для вычисления квадратного корня из симметрической матрицы А'А (ввиду невырожденности матрицы А матрица АгА положительно определена н имеет положительные собственные значения) достаточно привести матрицу АгА к диагональному виду: 2Э = Ят(А тА)Х, (2.! 97) где 5 — ортогональная матрица, определяемая с помощью известных вычислительных процедур приведения симметрических матриц к диагональному виду.
Если через а~ обозначить диагональные элементы матрицы 2э (ими очевидно, являются собственные значения матрицы АтА), то матрица Ю' определяется как диагональная матрица с элементами Д. Учитывая изложенное, формулу (2.!9б) перепишем в виде Х= (Ат) $50изт, (2Л 98) Таким образоли в ходе интегрирования уравнений Пуассона целесообразно осуществлять контроль ортогональносп! матрицы А путем вычисления следующего показателя неортогональности: Ь !А А — Е1,, Ьзй (2. ! 99) 250 Заметим, что в приведенном выражении использовано понятие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
