Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (2003) (1246774), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Приращение определяется с точностью до эеличнны кванта. Однако "неучтенная" таким образом составляющая трирашения не накапливается при интегрировании, а епопадаетч в ;ледующий шаг интегрирования, Такая схема реализации решения <инематических уравнений является наиболее предпочтительной для БИНС. Наконец, возлсогкен вариант использования гибридной схемы янтегрирования кинематических уравненнй, представленной парис. 2,22.
В этой схеме латчик первичной информации имеет непрерывный аналоговый выходной сигнал, пропорциональный угловой скорости, Цикл интегрирования в целях повышения точности выполняется в два этапы первичное интегрированиеосуществляется аналоговым интегрирующим устройством; затем информация квантуется н дальнейшее интегрирование производится в БЦВМ. В данной схеме первый этап интегрирования выполняется при малых значениях угловых рассогласований. Если кватерннон первичного интегрирования Л(т) мал, то Л(т) -" (1, А„Аз, Аэ), где А,- малые величины Ц = 1, 2, 3), В этом случае кинематйческое уравйение существенно упрощается н преобразуется в систему трех скалярных уравнений вида: 2А, ы,я ч Аэьээя — )сэсиэя, 21з = ьээя ' "эьесе "ьеэк (2.144) 2)э = сиэя "|мял иэьэт нли в векторной форме 21 = мл + 2 х ьэг.
При достижении углом поворота некоторого порога эч е хс 1э с .где с- величина кванта Й э 3 с интегрирования, выполняется второй этап интегрированна — операция 235 Рис.2.22. Схема аиахеео-иифреаиеи ииееерирееаиии кинеиатичееких трааиеиня "шага' решения в БЦВМ. При этом определяется величина кватерниона л(е) по компонентам )ч, 22, хз на выходе аналого-цифрового преобразователя ЛЦП. Например, величина кватерниона Л(т) представляется в виде л(т) = (1,2„лз, 12).
где! = 1 — -с-. Осушествляется цикл решения 4 кинематических уравнений в БЦВМ по алгоритму (2.145) Л(г + т) = Л(()еЛ(т) и производится "сброс" аналоговых интеграторов в нуль. Соотношение (2.145) можно рассештривать как универсальное соотношение интегрирования кинематических уравнений. Физический смысл этого алгоритма может быть понятен, если обратиться к процедуре вывода кииематических уравнений, Известно, что кватернион Л(е+ Лг) есгь произведение кватерннонов Л(1) и ЛЛ(Ы): л(г + лг) = л(е) лл(лг), (2,14б) тле ЛЛ(Лю) - кватернион бесконечно малого поворота. 236 Оценим влияние лискрета преобразования величин Л«в цифру на нность реализации кинематических уравнений. Если )т - разрядность )П, то вектор Л(т) будет определяться с точностью до величины бс = . '2 '~ и позтол«у ошибка б«ое = Ьео«ов, 12.142) Используя соотношение 12.
140) двя оценки погрешности интегрировав "сверху", имеем: « Ь9т = Бе /1ь«.1«1«илн Ь9 = 9 е 2"»', о Как показывают расчеты 141, на точность реализации не влияет число згов. Выбором величины кванта с при заданной размерности «еобрвзоватсля ошибку можно сделать как угодно малой. Так, ,пример, по««и любом угловом движении ЛЛ 9г а 2г, Пясть Ж= 1О. Тогда Э« = 2х 2 ' а и поэтому для обеспечения точности п9, =!" необходилю .йользовазь квант интегрирован«гя е не более 3', при «У = 1б - не более Таким образом, анализ различных схем интегрирования кинемати«ских уравнений«показал существенное влияние вила первичной «формации как на возможность использования известных численных ггодов интегрирования, когда первичная информация формируется в «аяитическом виде, так и непосредственно на практическую реализацию ИНС, определяемой прежде всего точ постными характеристиками ДУС разрядностью преооразующих устройств.
Наибольшее влияние на ш«бку определения ииерциального базиса оказывают систематические згрешности ДУС, обуславливающие накопление "ухода" базиса с :чением вреь«сни, Наиболее предпочтительной схемой интегрирования хиематических уравнений является схел«а, использующая однократно нте«рирующие ДУС, где процесс квантования информации совмещается процессом первичного интегрирования н поэтому составляющая ухода ие зависит от процедуры квантования.
4.5. Приближенное и численное интегрирование кипе««атических равнений Для интегрирования кинематических уравнений вращательного вижения могут применяться универсальные методы интегрирования истец обыкновенных диффсреициальных уравнениИ 1иаприь«ер. метод 'уиге-Кутта). 237 Наряду с зтим актуальной является проблема разработки специальных методов интегрирования кииематических уравнений с целью получения более экономичных н точных вычислительных процедур. При зтом учитываются как особенности структуры кинематических уравнений, так н особенности представления первичной информации о параметрах вращательного лвижения ЛЛ в БИНС. Одно из направлений построения специальных методов интегрирования кииематических уравнений основано на свойстве линейности уравнений Пуассона и кннематическнх уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона, Свойство линейности позволяет найти частное решение кинематнческих уравнений с помощью нормированной матрицы фундаментальных решений, называемой матрицантом и вычисляемой методом последовательных приближений Пикара (см.
[53). Рассмотрим сущность ланного метода применительно к задаче численного интегрирования кинематнческих уравнений Пуассона: (2.149) где А — матрица направляющих косинусов; 0 — кососимметрическая матрица угловой скорости й (матрица вращений): О ызх ы~я ызя О -ы, мзв м~л О (2.150) А(б - "СЩ), (2.151) где С вЂ” постоянная матрица. Частное решение, соответствующее начальному условию Ао, имеет вил: А(О = Ао9' '(гю)РИ (2А 52) Матрица М(п ко) = Ч' '(гс)Ч'(к) представляет собой нормированную фундаментальную матрицу и называется матрицантом исходной сис- 238 Уравнение (2,149) необходимо интегрировать с начальным условием А(се) = Ае.
Как известно пз теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение системы (2.! 49) может быть выражено с помощью матрицы фундаментальных решений. Можно похазать, что решением уравнения(2.149) является ортогональнаяматрицаиаправляюшнх косинусов, удовлетворяющая условию; .мы (2.149). Нетрудно видеть, что матрица нт удовлетворяет уравнению .149), (2.153) М= М(2, является решением данного уравнения прн единичном начальном :повии»М(!е) = Е, Таким образом, залача нахождения искомого решения уравнения :уассона по формуле(2 152) сводится к задаче вычисления иатрицанта. „тя определения матрицы М можно воспользоваться методом последоваельных приближений (методом Пикара) Мь = Мь !12.
(2. 154) де А — номер приближенного решения. При атом (2.155) ткуда следует, что нулевое приближение Ме = Е, ~ервое приближенис М, - Е ~'п(г)й', »» с Ф» ~торос приближение М, Е ° ~ГЗ(п)еп + ~ ~'м(г')»й' ВАЯЙ' и т.л, »» », ч Таким образом, лля Мя получаем рял, состоящий из 1+1 слагаемых. Лри й - ряд бесконечен: » с» Е+ 1(Цс')Ыр+ Г 1ы(! )й ()(г) г + - (2156) ч»» н сходится абсолютно и равномерно: И йюМ„. ьОграиичиваясь конечным числом членов ряла, можно получить приближенную формулу для расчета матрицы М.
Из (2,156) видно, что матрицант М может быть вычислен с ошибкой по двум причинам; вопервых, из-за принимаелюго при расчетах ограничения числового ряда и. во-вторых, приближенного представления матрицы 0(г). Если положить постоянным значение матрицы угловой скорости (2(г) на шаге 239 интегрирования Ь, то решение уравнения Пуассона примет вид: А(г) Ае(ем),.„, (2.157) где ЬХ = (ео"), »- матрицант, выраженный в виде матричной зкспоненты [Я Представляя матрицант через ряд Маклорена, получим (2зЬ з 12»Ь» М(Ь) = (ео').„= Е+ (2Ь+ — + ...
+ —, Ь» . (2,!5!.) и» 2! Ь1 Остаточный член ряда (2.153) в Форме Лагранжа имеет внд: Н = -г — ) — сов", 0 с 9 с 1. аЬ "' (2.15 У) (Ь + !)! Для приближенной оценки остаточного члена ряда ограничимся линейным приближением в разложении матричной степени (2.160) Считая, что ошибка бА», вызванная усечен нем ряда (2.153), пропорци.
оиальна величине остаточного члена Н» и времени работы сряе БИНС, получим 0А» = Нь — "". Ь (2А61) 240 В табл. 1 приведены результаты расчета ошибки ЬА» в зависимости от периода дискретности Ь, времени работы системы сг,е и среднего значения угловой скорости й прн Ь = 1, 2 и 3. Из табл, 1 следует, что умейьшение шага интегрирования на порядок приводит к аналогичному уменьшеншо величины ошибки ЬА». Данная ошибка, линейно зависящая от времени работы БИНС, в прелелах исследуемого времени полета ЛЛ (50-300 с) изменяется примерно на порядок. С увеличением числа слагаемых ряда величина ошибки существенно уменьшается. На величину ошибки бА оказывает влияние переменность угловой скорости на периоде Ь, Для повышения точности решения навигационной задачи целесообразно учесть изменение матрицы О на шаге дискретности.
гой целью могут использоваться ннтерполяционный и экстраполяци- !ый алгоритмы. Таблица! 0 =Ой О! йв() йл.! ° 4л.!(! - гл !) . йл ! " ' - (2162) ( 2„) 2! ькстраполяциоиного алгоритл2а при 2„< ! < 2„+,. й,(!) й„. Й„(! — с„) + Й„" + ... (г - 2„)2 (2.163) Выражая производные через конечные разности йл йл ! '! й Ь й„ ! - й„ 2 й„ - 2й„, и й„ 2 из из* зе р (в = 1, 2)- конечные разности, получим: Воспользуемся рядом Тейлора в моменты времени 2л „!„2, 2„для паси интерполяционного алгоритма при б„! < ! < б„: ()е(~) = О„, е — ! + — г "з г Ь 2Ь» (2.164) а,(г) = а„° — +— 73 ~2 э Ь 2Ьэ (2.165) Подставив (2.! 64) и (2.16Я в рял (2.158) и удерживая только первые разности, находим выражение ддя маэрицанта при г = Ь дзя иитерполяци.
ониой формы: ЬУ (0 Е+ (() + () ) ((2 ж () )2 (2.166) - — (а„,а„- а„а„,), Ьэ и лля зкстраполяционной формы: М(,) „Е „Ь л л-! Ь а ю-! (2 167) 0 -О, Ф О, 0 -0„ -0 0„0 [' П„(г) й. (2.168) На основании формулы трапеции значения интеграла (2.168) соответственно равны ')Я + — (()„й„, — (),,(2,). Ьэ Аналогичным образом могут быть получены алгоритмы, учитывающие вторыеразиости.Сравненисинтерполяционногои зкстраполяционного алгоритмов показывает, что в БИНС предпочтителен зкстраполяци. онный алгоритм (см. [41). В приведенных выше алгоритмах в качестве исходной информации используются значения угловой скорости.
Решение существенно упрощается,если первичная информация получается в виде квазикоордииат с помощью однократно интегрирующих ДУС. Для этого случая выражение (2.! 27) можно записать в виде л ( л ал-1)' Ь (2.169) в„., = (ал, а„,). Ь (2.!7о) Выразим кососимыетрические матрицы а„и а ! через квазикоорди1ты. Так как по фоРмУлетРапеций на интсРвале [Т .з, 1л] интегРиРУемаа ункция заменяется линейной, то справедливо выражение ал ал-2 2 (2,17!) Сложив уравнения (2Л69) и (2.!70), получим ел+ в„, = -(а„+ га„, ° а„,). Ь (2.! 72) С учетом (2.17 1) значение е„ - в„, л-1 (2Л 73) Подставляя (2.173) в выражение (2.169), получим зависимость для прсделения а„; зв„- Е„, 2Ь (2.! 74) М,(Ь) Е + Е„+ -В„+ (В В -1 В -1вл) (2.!75) 1 2 ! 1, соответственно, для экстраполяционного алгоритма М,(Ь)=Ю.ге„-в„,+-(гвл-в„,)" — (Е„В„,-Е.,Е„).
(2 дб) ! 2 1 243 Подставляя последние две формулы в (2Лбб) и (2,167), запишем 1атрицант ориентации М при интегральной информации об угловой корости для интерполяционного алгоритма: Аналогичные по структуре решения люжно получить илия кинемати. ческих уравнений в параметрах Родрссга-Галсильтона. Так, интегрируя юшематическое уравнение (2.1! 1), получим Л(с) Л(се) + — Гй(с') се (с')с!с'. 22 (2.! 77) Для отыскания приближенного решения уравнений (2.! 77) воспользу. емся, как и в предыдущем случае, численным методолс интегрирования и кватернионным аналогом матрнцанта. Пусть решение (2.177) илсеет вид: Л(с) = Л(сл)оХ(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
