Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Приступим к формулировке задачи параметрической идентификации в интересах адаптивного управления с прогнозированием. Начнем с того, что рассмотрим два различных процесса, связанных с (1.1), (1.7) и располагаемой информацией о параметрах объекта.
Если точно известен вектор параметров а, то, воспользовавшись любым из описанных выше вариантов алгоритма управления с прогнозированием, можно реализовать (1.7) и получить таким образом значение некоторой функции й(х,а),отождествляемой с сигналами управления и(г). При этом будем полагать, что выбранный минимизируемый функционал (3.12) обеспечивает требуемое качество управления. В этом случае движение объекта описывается уравнением хоп=7оп+4к, где Гол = г [хоп, а, й(хоп, а)], а индексом "оп" отмечено желаемое или опорное состояние, достимпнне которого следовало бы поставить целью функционирования системы. Однако реальной является другая ситуация, когда формируемое управлениеосноваио на некоторых оценках вектора параметров а и на объект действуют те же случайные возмущения $, (будем их полагать центрирован- 11 1 Результаты исследований приведены в 1 7.121.
14 ными белыми шумами с известной интенсивностью Ял). Тогда вместо (7,39) спешат записать /ЭР ЭГ дй'т Р кЕ +~ — + — + — ) ол контр ~ д Э ) е е л «реал ГЭ1 ЭК дй~ Х (а — а)+~ — + — — ) ~дх Эи Эх) (7.42) (Хол «реал)» лелреал ЭР »'реал» контр + да (а — а), а=а »»реал где все матрицы частных производных вычисляются при условиях а = а, х = хр„„. Формирование производнь1х д йода и д й/Эх осуществляется по формулам, вынесенным в Приложение П.
Вычитая (7З9) из (7.40) с учетом (7,42) и вводя обозначения хре,„— хо„= Ьх, а — а = Ьа, получаем уравнение для ошибок реального движения ло отношению к желаемому ЭР дй /ЭР ЭГ дй~ Ьх= — — — Ьа+ ~ — + — — )»зх. (7.43) ди да Эх ди Эх~ л Здесь н далее для краткости опускаются условия а = а н х = хр„„, Для оценнвання параметров объекта воспользуемся линейным по невязке уравнением вила (7,19), которое в данном случае запишем так: а = К) хреал — р («реал»а, й(хр„ал,а))), (7.44) где фУнкциЯ 1тконтр (см. (7.41)) пРедставлает собой вычисленнУюна значениях хреал н оценках а скорость хреал„а,„,сравниваемуюсреальнойскоростью хр,„л.
Воспользовавшись (7.40) н (7.42), получим линейное приближение (7.44) /Э1. Э=К~ †...»л ~д» (7.45) «реал ьреал +»л» (7.40) где ареал = Р ) «реал, а, й (х реал» ле) ), а вектор состояния, как и в (7 39), считается точно измеримым. Прн необходимости могут быть проведены соответствующие обобщения. Кроме того, будем рассматривать еще один вариант функции Г, вычисленной в соответствии с выражением л аколтр Л «реал» а» й (Хрена» Й ). (7.41) Предположим, что процессы х„„ (г) и х „л (г) протекают в достаточной близости друг от друга. При атом достаточно близки н значения векторов а н а.
Тогда в окрестности значений функции гколтр можно воспользоваться линейным разложением Вычитая теперь иэ (7 1) уравнение (7.45), получаем линейное уравнение для ошибки оценивания параметров ЗР Ьй — К вЂ” Ьа — Ксх + 3~. Зя (7.46) Таким образом, совместный процесс управления движением объекта и линейного по невяэке оценивания его параметров описывается в линейном приближении системой уравнений (7,43) и (7А6), т.е. ЗК да /ЗР ЗР да~ Ьх= — — — Ьа+~ — + — — Р)х, Зи З ~дх Зи дх/ (7.47) ЗР Ьа= — К вЂ” т)а — Ка +$ .
х а Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями ЗР да ЗР ЗР да ак — — 15= — + — —. Зи дя дя ди дх (7.48) Введем дополнительный критерий, характеризующий точность приближения реального управляемого движения к желаемому, т.е. получаемому при точном знании параметров объекта и при прочих равных условиях. Пусть таким критерием будет математическое ожидание квадратичной оценки разности состояний (7.40) и (7.39) Х= М)йх'Ятях), (7.49) где Я вЂ” заданная функция времени„определенная на всем интервале 1го, г„) . Теперь запишем (7.47) и (7.49) в матричном виде м'.Н о -к — ~ (7.50) ') Предполагается, что прн выбранном аахене объект (7.43) устойчив. У = М 1тах'71Ьх) = М)тг Н ЛхЬх') = н тт М(ЬхЬх') = СгИ3хх, (7 5 1) где а)хх = М 1(храня — хо„) (храня — хо„) ) — матрица вторых моментов отклонении реального состояния объекта хр,„от желаемого хо„.
Задача формулируется следующим образом. При заданной структуре объекта управления (1 1), выбранном законе управления ') (1,7) и линейном по нсвязке уравнении оценивания параметров объекта (7.44) процесс изменения во времени ошибок выдерживания желаемого (т.е. получаемого в условиях точного знания параметров) состояния и ошибок оценивания параметров описывается в линейном приближении уравнением (7.50). Требуется определить прямоугольную матрицу коэффициентов К в (7А4), обеспечивающую минимальное значение средней квадратической оценки (7.51) отклонения управляемого движения от желаемого. Начнем решение задачи с записи уравнений для вторых моментов векторов Ьх и Ьа.
Мзвестно. 14.4], что при гауссовых шумах средине значения М 1ЬХ1, Ра = М1Ьа1 И МатРИЦа ВТОРЫХ ЦситРИРОИаииЫХ МОМЕитОВ (КОВарнашюнных Функций) решений уравнения (7.50) удовлетворяю» уравнениям (7.52) д О 0 Ф К'5хК +~а хх ха~ Ра» Раа (7 53) У 4 17хх 1~~~ Рхх Рха дхй,х Ихда У 13ах 1 «аа Рах Раа Фадх Рада удовлетворяет уравнению (753) с заменой блоков Рх„,Рх„, Р,х и Ра блоками.0„„, Ю„а, Ц,х и Йаа.
В развернутой форме зто уравнение с учетом симметрии Й„а = Бах эквивалентно уравнениям дР' , (7.54) да дР' ЭГ' Ь.„= — К вЂ” О.. — О.. — К'+ КЗ„К'+Я.. да Минимизация (751) по элементам матрицы К должна осуществляться с учетом (7.54). По выражениям (7.51) видно, что выбор матрицы К непосредственно на У не влияет. Однако критерий (7,51) можно выразить через старшие производные по времени.
Так, с учетом первой производной а я) = И~а) + Х у(тИт. Фа где .Цте) — значение критерия (751) в начальный момент времени ге. (7.55) где 5х и Яа — матрицы интенсивностей белых шумов тх и еа соответствен- но. Полагая шумы центриронаннымн, т.е. М$х = 0 и МЦа = О, умножая (7.52) справа на 1дх да1, транспонируя результат и складывая с (7.53), можно убедиться, что матрица вторых моментов гг((Я +ЯД+1)'Я)0„, — Ка0,. — 0х„а'Я1, (758) У(г) = 1г ЦК + КР + РК) 0тх + (Я + ЯР + Р К) 0„„- — (Ка) 0ех — Охе(а Я) Ка0,,х -- 0„„а'К) = =гг НА+ЯР+О'Я) +(Я+ЯР+0'КУ+Р(К+КР+РКМ0,.— дЯ1 — (Я+щ+б'Я)а+(Ка)'+б'Яа ЯаК вЂ” ~0„, дя дЯ вЂ” 0ха а'(Я+ЯР+р'Я)е(аК) +а'Я(1 — — К'а'Я + да + К а0„„а' + а0,„а'К .
дЯ дЯ Ф)=1г 7(К а.Р.0. ° Й )+КаК а~~ дЯ д7."1 + ЗЯа+ 2Яа+ К15а+ 31)Ка — ЯаК вЂ” ) К вЂ” + ЯаК вЂ” ~ 0ех + д г' дя д 1 +0.„„~ — К'а'Я+ — К'~За'Я+2аЯ+а'11'Я+За'٠— — К а Ят де де да дЕ , дЯ' — ЗЯаК вЂ” 0 а' — За0 — К'а'Я + 2КаКЯ„К'а' г. (7.60) да " '" д (7.59) При учете второй производной вместо (7.55) следует записать т Ф) =У(го)+Г ~У(го)+Г Ъ)с1Л г1г,. (7.56) >е гь где У(ге) — значение первой производной но времени критерия (7.51) в начальный момент времени ге.
И наконец, выражение для критерия близо- сти процессов (7З9) и (7.40) при учете третьей производной по времени имеет вил З(г)=З(ге) (~)(ге) ) ~Аге) )' ГВМ 19 1, (7.57) Фд ~а к где Х(~е) — значение второй производной по времени критерия (751) в начальный момент времени ге. Может возникнуть естественный вопрос, почему именно до третьей производной здесь раскрыто выражение (751), Ниже будет показано, что только соотношение (7.57) позволяет учесть при минимизации крите- рия «се динамические связи вторых моментов состояния системы (7.47).
Дальнейшее "развертывание" (7.57) ие имеет смысла. Чтобы воспользоваться (7.57), требуются аналитические выражения производных У(г),.)(г) н,)(г), которые можно получить многократным дифференцированием (7.51), используя (7.54) . Так. с учетом возможности круговых перестановок матриц под знаком следа получим ЛУ) = Гг(Я 0„„+ К0, х ) = Для сокращения записи (7.60) введена функция 7(В, а„[1, 27„„, Ю „), которая объединяет все полученные при дифференцировании матрицы размера и Х и, не содержащие в качестве сомножителя матрицу К.
Точкой справа отмечена операция вычисления производной по времени выражения, приведенного в скобках. Соотношение (7.57) может быть записано в виде 1 с т ч Л(г) = 7(ге) + г(ге)(à — ге) + 3(ге)(г — ге) +Х лги пт1У Щ) пТ. ~в ге гь а 1.87. ~И: — 1г~йаК вЂ” В„,) + — Х~„„(ЗВа+ 2Яа +.йРа+ ЗРАа) + дг 81 дР' + Пах)эй — 3 Оаиййо — 0а~;ЛпК ЭЕ дŠ— — К вЂ” 0 .Яа+ 25. К'а'На= О.
да Эа (7.63) Это матричное соотношение не раскрывается до конца в силу неопределенности операции дифференцирования первого слагаемого. Однако если матрица К будет такой, что на всем рассматриваемом интервале времени (7.61) Последнее слагаемое в (7.61) представляет собой тройной интеграл третьей производной критерия (7.51). Из (7.51) и (7.58) видно, что первое и второе слагаемые в (7.61) явно от матрицы К(г) не зависят. Поэтому можно утверждать, что искомая матрица К лт(г) в интервале [ге, 61 определяется выражением К ет([')= агйш!п /(Г)= к т и = агй ппп ~ — Х(ге)(г — го) + 1 Жг Х ~1Ч У )([) ~11 (7.62) ~ю гю ~е Другими словами, минимальное значение критерия (751) в любой момент времени г обеспечивает такая матрица коэффициентов К([) = Кепт(ь) в (7.44), при которой достигает минимума выражение в квадратных скобках в (7.62) при подстановке (7.59) в случае, когда [' = ге, и (7.60) для [ Ф ге.
Заметим, что первое слагаемое в (7.62) определяет условие для К в момент ге, а второе слагаемое — в любой момент 1 Е(ге, г1. Будем минимизировать каждое из этих слагаемых отдельно. При этом становится очевидным тот факт, что тройной интеграл функции У([) имеет минимальное значение для любых г, если выбором матрицы К([) обеспечивается минимальное значение Х в каждый момент 1. Так как (7.60) определено в открытой области значений элементов матрицы К, то для определения этой матрицы можно воспользоваться необходимым условием минимума У по К. Используя приведенные в Приложении 1 правила дифференцирования следа матрицы по матричному аргументу, получим для (7.60) (ге гк] удовлетворяется матричное дифференциальное уравнение аг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
