Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(7.26) Тогда непрерывный алгорнтм оценнвания параметров принимает внд л л аР' а=К[В+Р(х,а„и,г)], К=Р— „Я ', (7.27) аР' аР Р+Р— 8 ' — Р=О. л х л Этот алгорнтм, как показано в [75], допускает и другие формы представления. Отметим некоторые особенности калмановской фильтрацин в задаче идентификации, определяющие пути совершенствования соответствуиищ~х алгоритмов прн решении вопросов нх практического применения.
В литературе [1.22] отмечается плохая сходнмость оценок параметров прн больших ничалъных ошибках. Этот недостаток можно преодолеть, либо используя алгоритмы более высокого порядка (филътр Калмана второго порядка, метод инвариантного погружения), либо комбинируя основной алгоритм оценивания с менее точным (здесь уместнее сказать, формирующим неоптимальные оценки), но быстрее сходящимся на начальном этапе алгоритмом идентификации [7.б]. С другой стороны, использование программы начальной настройки (1.4) может полностью снять этот вопрос. С целью повышения точности оценнвания может оказаться перспективным сочетание методов идентификации по условному среднему с асимптотнческн устойчивыми методамн адаптивной ндентнфикацин с подстраиваемой моделью [7.7] . Другим недостатком алгоритмов типа фильтра Кацмана является значительный объем вычислений, затрудняющий применение даже фильтра Каамана первого порядка как наиболее простого, в задачах с большим числом оцениваемых параметров (наломннм, что речь идет об оценивании в реалъном времени).
В этом отношении весьма полезны исследования, .направленные на упрощение алгоритмов идентификации н получение субоптимальных алгоритмов, обладакицих удовлетворнтелънымн свойствами [1 10,75]. Так, существенное сннженне трудоемкости оценивалня параметров обеспечивается прн замене уравнения (7.25) уравнением для "эмпирической коварнацнонной матрнцы" [1.10, 1.43,7.1]. Вопросы прнложення такого алгорнтма в настоящее время исследуются. Еще одним недостатком вычислительных процедур, реализующих в реальном времени на ЦВМ ограниченной производнтельности (сравнительно невысокое быстродействне, большие ошибки округления и дискретизации во времени сигналов) алгоритм идентификации типа Калмана, является опасность потери устойчивости алгоритма нз-за накапливаницихся (7.30) 2 — ь 6/ Яь-! — „61 при ~ =у, (7.3! ) прн у >(„ при у<( (здесь гй и п~ — столбцы матрицы и) . вычислительных ошибок.
Избежать потери устойчивости можно использованием треугольных матричных квадратных корней матрицы Р (впервые извлечение квадратного корня нэ матрицы в задаче оптимальной фильтрации применил, по-видимому, Поттер (7.8) ) . Суть этого подхода заключается в использовании в алгоритмах оценивания параметров вместо матрицы Р некоторой матрицы и, определяемойиз условия Р = ттл'. (7.28) Прн вычислении оценок с помошью матрицы П неявным образом гарантируется положительная определенность произведении тщ, т.е.
матрицы Р. Если (7.28) подставить в последнее уравнение (7.27), то можно убедиться, что оно может быть представлено суммой двух уравнений (7.29) умноженных соответственно на л справа и на и слева. Здесь à — произвольная кососимметрическая матрица, Так как уравнения (7.29) повторяют друг друга с точностью до операции транспонирования, то мозно использовать одно иэ них. Условие (7.28), вообще говоря, не обеспечивает единственность матрицы П.
Само по себе это не создает каких-либо трудностей. Однако при необходимости вычисления всех элементов матрицы П происходит значительное увеличение трудоемкости всего алгоритма оценивания (7,9]. Использование треугольной формы записи матрицы П позволяет снизить трудоемкость алгоритма. Если матрицу Г выбрать таким образом, что сумма — '".,у ~,-. — '"., +Г является верхней треугольной матрицей, а начальное значение для п(ге) определить из матрицы Р(г,) методом разбиения Холецкого $7.8], приводящим к верхней треугольной форме П(ге), то решение П(г) будет верх. ней треугольной матрнцей при любом г. В этом случае алгоритм (7.27) уступит место алгоритму а = и ~ — „и ~ 5,= ' [х + Р'(х, а, и, г) ), й + — и Л = О, да " 2 где элементы матрицы Л определяются соотношениями (7.33) выражением 5ед+ л Рк — 3 л 5хд+ л Р» — 1 л и проводя очевидные сокрашения, можно убедиться в справедливости соотношения Рк — „Я ~~= Р» — „Юхл + — „Рк Тогда вместо первого уравнения (7.33) можно записать а» ак-1+Рк-1 ~ 5хл+ „Рк-1 (х„— Рк).
(736) !4. В.Н. буков Алгоритм (730), как и (7.27), связан с интегрированием г (г + 3)/2 скалярных уравнений (г — число оцениваемых параметров (15)), Процедура умножения треуголыых матриц, используемая в (7,30), является более экономной по сравнению с умножением прямоугольных матриц. Прн организации вычислений на ЦВМ в реальном времени удобнее пользоваться алгоритмом параметрической идентификации в дискретной форме.
Переход к нему от (7.27) может быть формалыю осуществлен заменой производных соответствующими первыми правымн разностями 13.26]. При этом, вводя обозначение для матрицы интенсивностей днскрешых случайных возмущений Юхд, для которой при условии разеиства мощностей дискретных и непрерывных возмущений справедливо выражение 1 5ел 5е» (732) Ье где Ат — шаг дискретизации во времени, получим для (7 19) и (7.24) а» =а„, +К»(хо»+Ек(хк,а»,, и, г)], Кк Рк да где (дЕ/ да)к вычисляется прн х» и ак,. Вводя матрицу А = Р ', из последнего уравнения (7.27) с переходом к дискретному алгоритму получаем 4» = 4»-1+ л 5хд л (734) Полагая, что для дискретных матриц сохраняется соотношение А» = Рк ', на основании леммы об обращении матриц 17.10] рекуррентиое соотношение (734) преобразуем к виду Рк =Р»,' — Р», — „5х + — „Р», — „— „Рк (735) Алгоритм (733), (7.35) может быть использован для идентификации.
Но некоторые преобразования позволяют существенно снизить объем вычислений. Умножая (735) справа на (ЭР'/ да)к, вынося влево за скобки общий матричный множитель Рк 1(дЕ ~ д а)», заменяя единичную матрицу Алгоритм (7.35), (7 36), записанный в виде л л л л а» =а», +К»(хо» вЂ” Е»(х»,а» г.и, Г)$, (7.37) В» =Р» 1 — „Ев„+ — „Р» является наиболее экономным из неупрощениых дискретных алгоритмов рассматриваемого типа.
Это обьясняется тем, что в наиболее часто встречающемсяслучае, когда уравнения обьекта (1.1) автономны по оцениваемым параметрам и идентификация в силу этого осуществляется для кюкдого уравнения объекта независимо, в квадратных скобках последнего уравнения (7.37) заключена скалярная величина.
Заметим, что если в алгоритме (7.33), (735) или алгоритме (7.37) отказаться от представления матрицы Р» как ковариационной матрицы ошибок оценивания (или ее приближения), а также снять указанное выше условие априорного определения начальных значений а(го) и Р(го), то эти алгоритмы совпадут с приводимыми в литературе формулировками рекуррентных процедур метода наименьших квадратов 17.111. Минимизируемый при этом критерий для 1-го уравнения (1Л) в принятых обозначениях имеет вид » ,1мнк — Яв ~ Х (х1 +Е (хй а», и, г)1 У=! где й — номер вычисляемой оценки вектора а; / — номер использованных л л оценок х и х в дискретные моменты времени. В литературе приводятся различные рекомендации по выбору начальных л значений ао и Ро для рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов 17.111, из которых наиболее распространенной является рекомендации выбирать начальные условия в виде л ао =О, Ро =НЕ.
где Н вЂ” наибольшее представляемое в ЦВМ число. Снижение уровня априорной информации в целом ухудшает процесс оценивания, однако моделирование показывает, что разница в процессах оценивания при использовании калмзновской фильтрации н метода наименьших квадратов быстро исчезает.
3 73. Текущая идентификация в адаптивной системе управления При постановке задачи идентификации динамических характеристик объекта управления, осуществляемой в интересах реализации управления, в большинстве случаев подразумевается, что приближение оценок параметров а к их истинным значениям а обеспечивает приближение формируемого на основе оценок оптимального управления к искомому оптимальному управлению для реального объекта. Интуитивно выдвинутое, такое положе- 20? ние подкрепляется сформулированной в $ 7.1 теоремой разделения для предельной точности оцениваиня параметров и состояния объекта. Однако надо признать, что для случая ограниченной точности оценивания параметров приведенная теорема разделенна не дает конструктивных рекомендаций по организации совместного оценивання и оптимизации управления.
В то же время опыт моделирования процессов адаптивного управления с различными алгоритмами идентификации параметров объекта в реальном времени и алгоритмами формирования оптимального управления с исполь. зованием прогнозирующих моделей показывает не очень сильную связь между точностью оценок я н качеством управляемого движения. Кроме того, исследования адаптивной прогнозирующей системы, разомкнутой по оценкам а, показали '), что регрессионная поверхность второго порядка ошйбок минимизации функционала качества управляемого движения по ошибкам оценивания различных параметров модели управляемого ЛА существенно несимметрична относительно начала координат.
Следовательно, среди возможных комбинации ошибок оценивания существуют такие, которые слабо влияют на качество управления, и такие, которые могут в значительной степени ухудшить процесс управления при прежнем уровне точности оценивания каждого из параметров объекта. Становится очевидной необходимость разработки другого подхода к текущей идентификации„выполняемой в интересах адаптивного управления. При этом представляется целесообразной организация оценивания параметров таким образом, чтобы в первую очередь достигался достаточно высокий уровень качества управления движением объекта и в меньшей степени преследовалась (или даже совсем не принималась во внимание) точность оценнвания параметров объекта как таковая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
