Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987) (1246771), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(ар — Вах .йпК = — — Х~ах(ЗВО+ 2ЯО+ЩО+ Зй.йп) + За ак 8К , ) аГ ар + — (Э Вп — 3 — Р а'Яа~ К+ — 0 .йпК вЂ” К— ах аа ~ ах — 5„К'и'КОК+ Х(В, и, Р,.~Ъ„„,.~~,„,2~ах) ° (7.64) где Х вЂ” произвольная функция указанных аргументов, то (7.63) становится тождеством. Важный частный случай (7.64) имеет место при условии ак саврас — Оах Ва= н, (7.65) дЕ К(Г)=К,ах КО.Р,—,Р.х ~Зах.~'~аа.Х ' ~ Эа (7.68) т.е. когда произведение перечисленных матриц имеет максимальный ранг. В этом случае вместо (7.64) можно записать К= — и ٠— ~ — Р .йпп'дй — ) ~ ~ — В (ЗЛО+ а 8 а ах ха 8 8 ах дР ак + 2гс а+,йфп + 30 Яа) + — В,„ЛΠ— 3 — Ю„а'йа+ Вя ак +ах К О йП~К+Х~+К К- (7,66) да Уравнения (7.64) и (7.66) не определяют однозначно матрицу К(г), так как остаются неопределенными начальные условия этих уравнений и функцня Х(Я.
Ф, В„Х>хх, Юрх, Оаа). ИХ Вмбпр допжсн ОСУПЮствлятЬСЯ НЗ УСЛОВИЯ минимизации выРажениЯ длЯ У(ге), в котоРое в Явном виде входит вешеиие уравнения (7.64) при г = га. Так, если известно аналитическое решение уравнения (7.64) нли (7.66) К(г) = КР. П Р. Р 73 . 0 - К(го)» Х1 (7.67) то, подставив это решение в (7.59), получим явную зависимость Х(те) От функции Х и начальных условий для К, используя которую следует выбрать х и К(ге), обеспечивающие минимальное значение 7 в момент ге. Решение этой задачи представляется весьма сложным, в общем виде аналитическое выражение для К(г) на основе (7.64) и пип э'(ге) не иолучено н не разработаны пока методы численного решения этой задачи.
Здесь сформулированы условия, которым должно удовлетворять искомое решение. В соответствии с этими условиями в уравнении для оценок (7.44) матрицу К(г) следует выбирать такой, чтобы удовлетворялось уравнение (7.64) илн (7.66) и величина У(га) принимала в соответствии с (7.59) минимальное значение. В сокращенной записи уравнения (7.66), (7.59) имеют внд где К„, — такая функция, что дР а) Копт = етКоп + е]~х Коп й'ЯОК +е1х+ Копт Копт, 6 б) Ко„т(го) = агй ппо.)(го), д~'УдХ:, дР' т ' е~ = — а'ИЭ вЂ” ~ — Й )тай'ВЮ вЂ” ( Х ЮХ ХО а да ГдР' ет = Е!~ — Вот(ЗЯй+ 2ЛЙ+Я~3й+ЗРЛй)+ ~ да дй дЕ + — В Яа- 3 — О а'На~ ат аа (7.б9) Условия (7.б9) получены с использованием лннейных членов разложения функции т" в ряд Тейлора.
Поэтому алгорнтм~формировання (7.68) следует относить, как нам кажется, к алгоритмам оценивання первого порядка. Алгоритмы более высокого порядка могут быть сформированы на основе условий, полученных с использованием квадратичных н более высоких разложения функции Р', а также с использованием квадратичного и более сложного представления исходного уравнения оценивании параметров, которое должно заменить (7.44). Возможны также обобщения на одновременное оценнвание состоянии и параметров объекта. Приложение 1 ОПЕРАЦИИ МАТРИЧНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ При решении прикладных задач с использованием аппарата матриц могут быть полезными некоторые обшие правила выполнения дифференцирования по матричным аргументам. Дифференцирование матриц по скалярным аргументам, как известно, сводится к позлементному дифференцированию матриц и здесь не рассматривается. Далее под вектором будем понимать матрицу-столбец с определенным порядком расположения элементов.
1. Производная скалярной функции по вектору. Результатом дифференцирования является совокупность производных этой функции по каждой компоненте вектора (по каждому элементу матрицьн столбца) . в отдельности. Форма же представления результатов дифференцирования определяется договоренностью. Здесь принимается, что результат дифференцирования скалярной функции по матрице столбцу представляет собой матрицу-строку с элементами в виде производных этой функции по элементам матрицы столбца аргумента: х1 (П.1) хе Это хорошо согласуется с последуюшими формулами. 2, Производная векторной функции по вектору. Дифференцирование векторной функции можно формально рассматривать как дифференцирование каждой компоненты этого вектора в отдельности.
Тогда производная будет представлять собой прямоугольную матрицу, строки которой соответствуют дифференцируемой компоненте векторной функции, а столбцы — компонентам векторного аргумента, т.е. дУ~ ЗЛ~ д~, дх| дх1 Зх Л х1 Уз, ха ~ д)' х= дх (П.2) д);е З1;е З1;а дх, дхэ дх„ гм 3. Произ водная скалярной функции по матр ич ном у а р г у м е н т у. При выполнении дифференцирования можно формально полагать, что скалярная функция отдельно дифференцируется по столбцам матрицы, играющей роль аргумента дифференцирования.
Дифференцирование по первому столбцу дает первую строку результата, по второму столбцу — вторую строку р езультата и тд ао ао аа11 аа21 ас аат ) а,с а,з...ас„ аз с атз .. азл ду дА (П.З) А= дс до аа1и аазп дс да„„, аюл1ат,...
авиа 4.Производная скалярной функции м атриц по и атричному аргументу. Для выполнения дифференцирования удобно использовать представление скалярной функции матричных аргументов в виде следа матрицы. Напомним, что любая скалярная величина является следом матрицы, составленной всего из одного элемента, т.е. и=сто, где тг — символ следа квадратной матрицьс, т.е. суммирования всех элементов, стоящих на главной диагонали матрицьс (если А = Сайр, то СгА = л = 2' ан), Напомним также, что матрицы, перемножаемые под символом с=с следа, могут подвергаться круговой перестановке: а, а — х Ау= — сгу А х=у А, дх дх а, а, а — х Ау= —, сгх'Ау= —, сгАух'=А.
д(ух ) д(ух ') д(ух') 212 сг АВС = сг ВСА = сг САВ. (П.5) Дифференцирование следа по матричному аргументу сводится к опусканию символа следа и соответствующей матрицы в произведении прн условии, что матрица, по которой осуществляется дифференцирование, перенесена на основе (П.5) в крайнее левое или правое положение: д д — сгАВС= — сг ВСА = СА.
(П.б) дВ дВ Если матрица, по которой осуществляется дифференцирование, отличается транспонированием от матрицы, стоящей в дифференцируемом выражении, то дифференцируемое выражение следует предварительно протранспонировать, так как траиспонирование матричного выражения под символом следа не влияет на результат. Так, справедливо соотношение д д — сг ВСА = —, сг А'С'В' = С'В'. (П.7) аА' аА' Таким образом, дифференцирование билинейной формы х'Ау, где х и у — векторы произвольного размера, ло каждому из сомножителей дает д, д, д, д, д — х Ау = — сг х 'Ау = х 'А, — х 'Ау = — сг х 'Ау — сг Аух ' = ух, ар ау дА дА дА д, д, „д —,х'Ау = —, сгу'А "х = —,сгА'ху'=ху', (П.З) аА' дА дА' Рассмотрим теперь диффер!яп!ирование билинейной формы г'(х)Ау(х) по вектору х, функлиями которого являются векторы т и у.
Пользуясь формулами (ПЗ), а также правилами дифференцирования сложных функ. цнй н произведения функций, получим э, а, а э, а — г '(х)Ау(х) = — (г 'Ау) — у + — (г Ау) — у = дх ду ах дг ах а, а а,, э = — гг(г'Ау) — у+ — тг(у'А'г) — г = ду а аг дх а,,э г'А — у(х) +у'А' — г(х). дх ах (п.9) 5.Произ водная квадратичной формы по вектору.
Вообще говоря, этот случай является частным для (ПЗ). Особенность заключается только в том, что векторные функции г(х) и у(х) в (П.9) тождественно равны указаннь!м векторным аргументам х. Тогда, принимая во внимание, что дг~дх Е и Эу/Зх = Е, где Š— единичная матрица, а тысже учтпывая симметрию матрицы А, получаем ю с — х Ах =2х А. эх Однако квадратичную форму (П.12) можно преобразовать к другому виду. Добавляя и одновременно вычитая слагаемые х'а'Ах, перепишем (П.12) в виде Ю = х 'Аах + х 'а 'Ах + х 'Аах — х'а'Ах. (П.
13) Так как все слагаемые в (П.13) — скалярные величины и не ма!лют своих значений прн транспонированин, то сумма последних двух слагаемых равна нулю и, следовательно„получаем 1г'=х'(Аа+а А)х, (П.14) где Аа + а'А — симметрическая матрица новой квадратичной формы. г!з б. Вычисление матричного дифференциального о и е р а т о р а. Рассмотрим действие линейного дифферпппюльного оператол л л ра Х Й а!; х! — иа квадратичную форму Г = Е А!!х!х.. З матрнч! !ул! ' дх! с,у=1 ной форме записи соответствующая операция имеет вид аР— Х (П.11) ах где К= х'Ах;г = ах. Очевидно, что оператор ставит в соответствие исходной квадратичной форме $' некоторую новую квадратичную форму й! В силу (П.10) имеем Ю= 2х'Аах.
(П.12) Приложение П ФОРМУЛЫ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОЛНЫХ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ С ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ Располагая в каждый момент времени значениями компонент вектора состояния х и оценками компонент вектора параметров а, на основе алго- ритмов э 3.3 и 3.4 формируются законы управления вида и = й(х, а), (П. 15) л где. Й вЂ” дифференцируемая по х и а функция.
Будем рассматривать управление положением рулевых органов, сформи- рованное с помощью алгоритма с матрицей чувствительности (3.32), (3.34), (3.40) „(3.45), (3.46). Объединяя перечисленные уравнения и соотношения, а также опуская для простоты множитель х, запишем для текущего момента г (для объекта (3.8) ) и(г) = — Ку'(х, а, т) р(г), У др (г„) 'к, д0 (т) '" дх„(г„), ' д (т) ' <~ ' л — хм(т) =/' (х,а, т), хм(т) =х(т), йт г1 ду ~(ь„г, ) — у(т) = — у(т), г'(т) = Е. т7т дх: (т) Особое внимание следует в дальнейшем обратить на параметры времени 1 и 'т, функциямн которых являются рассматриваемые переменные.
Напомнйм, что г — текущее реальное время, т — некоторое ускоренное время, определенное от момента г до г„. Прежде чем осуществлять дифференцирбванне, воспользуемся для некоторых матричных выражений записью в другой форме. Так', первое соотношение (П.16) запишем в виде и и(г) = — К Х у,.(х, а, т) р~ = й(х, а), (П.17) ~ =! где р; — матрицастолбец, содержащая >л элементов н соответствующая рй строке матрицы р(х, а, г); р; — скалярный элемент матрицы-столбца рП) Такая форма записи удобна для матричного дифференцирования по вектору х.
214 дифференцирование (П.17) по х дает За(г) ° ~ ар,(г) Эр,(г) ~ — = — К Е 1 — ' р;(г)+тэ,.(г) — ~, (П.18) Зх(г) ю- ю ~дх(г) ' Зх(г) 1 где Зр/Эх — прямоугольная матрица размера АХ л производных элементов )-й строки матрицы у(х, а, г) по компонентам х(г); др,Ях — матрица строка производных ьго элемента вектора р по компонентам вектора х. Если вычисление первого слагаемого в (П.18) не вызывает затруднений и сво- дится к дифференпяуованню функций эффективности д,, рулевых органов объекта (3.8) с последующим умножением на компойенты вектора р(г), сформированного в соответствии с (П.16), то вычисление второго слагае- мого в (П.18) представляется более сложной задачей.
На основе второго соотношения (П.16) можно записать ЗУ,',„(г„) г, Зо'(г) аъ) Ф~ ) — — '~ ~'Ь) — ~ (П.19) Зхм(~к) ~ Зхы(т) (единице равен только г-й элемент матрнцыстрокн Уэ(!)), имеем 13.25] ЭУ (г) ЭЪЯт) Эхм(г) Эх'(г) дх (г) Эх(г) (П.22) где Зх„(г)~дх(г) У(г) н удовлетворяет двум последним уравнениям (П.16), а ЗУ~(г)ахи(г) (будем згу производную обозначать У;(т)) удовле. творяет уравнению (П.23) дт Зх (г) ! . и Зх (г)дх (г) где У~(г) — 1-й столбец матрицы У(т) Эх„(г)9х(г).Лифференпируя (П.19) с использованием правила дифференцирования интегрального выражения но параметру, получаем Зр,(г) ЗУ„,(г„) ЗУ,(г„), д'У,',„(г„) дх(г) дхм(гк) дх(г) Зхм(гк)дх (г) '" 1 ЬЯт~ ЭУ~(г), Э Д'(г) (П.20) ~дх„И д (г) ' дх„(г) Эх'(ги Поскольку выражения, связанные с дифференцированием У, и Д в (П.20), структурно аналогичны, то ограничимся лишь рассмотрением функции Д.
Квадратная матрица ЭУ,(г)(дх(г) представляет собой матрицу частных производных функций чувствительности Уу(т) ~ Зтм(г)йху(г) (чувствительности прогноэируемого вектора состояния хм (г) к 1-й компоненте вектора текущего состояния х(г)) по компонентам вектора текущего состояния х(г). В силу предпоследнего уравнения (П.16), которое справедливо для каждого отдельного столбца матрицы У(т), т.е. д~„(х,„, а, г) — У~(т) = У,(г), У~(г) (О... 1 О...О) ' (П.21) Иг дхм(т) с началъным условием У;(г) = О,где Уг -у-й элемент ьго столбца матрицы У(т), Матрицу вторых производных функции Ц в (П.20) можно представить в виде а'а'(т) а*у(т) а»„(т) (П.24) дх (т)дх'(г) д» (т)дх' (т) дх(г) где дх (т)/дх(г) = У(т) и удовлетворяет двум последним уравнениям (П.16), а д'Ц(т)1дх (т) дх' (т) — квадратная матрица вторых частных производных скалярной функции Д(хм, т) по компонентам вектора хм (т) прогноэируемого состояния объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
