Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В конечный момент времени В выполнены соотношения Ло((г) < О; М(Л(Г), х(1)) = О. (9. 5) Если величины Л(1), х(() и и(() удовлетворяют некоторой системе (9.3) и (9. 3') и условию (9. 4), то функции Лз(1) и М переменного 1 являются постоянными, так что проверку соотношения (9. 5) можно проводить не обязательно в момент (ь а в любой момент й (,а-тч-(ь Принцип максимума устанавливает лишь необходимые условия оптимальности. В большинстве практических случаев это условие позволяет однозначно выбрать оптимальное управление. бающие моменты на корпусе и высокие нагрузки в конструкции Целесообразно решать задачу, исходя из условия.
что на большей части атмосферного участка движение осуществляется по траектории «гравитационного разворота», или нулевого угла атаки, которая характеризуется тем, что на ней сила тяги всегда фиксируется вдоль вектора скорости. Перечисленные требования могут быть удовлетворены программами, выбранными из условия равенства нулю угла атаки на большей части траектории атмосферного участка. Программа такого типа может быть выбрана следующим образом [1) 1. Вертикальный участок (О < 2 < Г!) Л 2 (1~ — время конца вертикального участка). 2.
Дозвуковой участок (Г~ —.12) определяется моментом времени, когда число М близко к единице (М=08). Скорость в этот момент определяется по формуле У = — круто 1" р — тоРглз (1 — р) где р — отношение текущей массы к начальной (при 1=6 значение ц=0,95); Ргл« вЂ” удельная тяга; че — отношение начального веса к начальной тяге. После определения р время !2 вычисляется по формуле г = чеРгло(! — 0). Изменение угла атаки на этом участке может быть задано в виде зависимости а = — омах з)пз ( — ) (9. 6) (( — 2!) + й(22 — 2!) ! ' 2=0+а, где й — отношение времени нарастания угла атаки от нуля до максимума ко времени спадания от максимума до нуля (й=0,15 †: 0 36). Зависимость а=а(!) дает плавный ход кривой а(!) с нулевыми производными в точках В и !2 и позволяет выбрать любые значения а „, а также получить эти значения в любой момент времени между г, и !2 путем изменения коэффициента й.
В принципе можно составить и ряд других зависимостей, удовлетворяющих предьявляемым требованиям. 3. Баллистический участок (12-и!ь) =О; 2=0 гь — время, соответствующее достижению высоты конца атмосферного участка. Изменяя величину ам«(в допустимых пределах), можно получить различные траектории атмосферного участка и среди них выбрать те, которые будут удовлетво. рять перечисленным выше требованиям. Таким образом, изложенный метод позволяет выбирать программу угла тангажа с учетом перечисленных требований а виде однопараметрической, т. е.
характеризуемой только величиной максимального угла атаки на участке управляемого разворота. 9.3.2. Внеатмосферный участок При выборе закона движения на внеатмосферном участке траектории воздейст- вие аэродинамических сил можно не учитывать. Такое допущение значительно расши- ряет возможность оптимизации траектории движения, так как отпадают многие огра- ничения, накладываемые на управление. При составлении уравнений движения приняты следующие допущения. 1 Траектория движения плоская 2.
Земля — шар, вращение отсутствует. 3. Ускорение силы тяжести на высоте Ь определяется выражением .= .(,', )'. 4. Величина силы тяги считается линейной функцией расхода массы. 5. Продольная ось ракеты-носителя всегда совпадает с ее программным направ- лением. Для определения условий оптимального управления целесообразно записать уравнения движения в проекциях на радиус-вектор г центра масс ракеты-носителя и направление т, перпендикулярное ему (рис. 9.
4), Уравнение движения в векторной форме имеет вид азг т — =Г, ,йз где г — суммарный вектор внешних сил. 10 3669 289 В результате преобразования можно получить и'зг — .= гз [г — гиз] + тз [2гм + ги[, ,~г (9. 7) где гз и та — орты направления координатных осей.
Вводя обозначения )гг— - г; 1г,= ги, равенство (9. 7) можно записать в виде — ~Рг — — '~+ О~(Г,+ — '1 (9.8) и"Гз г ' г В проекциях на направлении г и т уравнение (9. 8) запишется в виде )гг(Г, соз у лч 77+ й' сй, Рч Рт з!и ф + — ло Л+ Л ()1+ Л)2 (9. 9) Ь=— 77 + Л ' Рис, 9.4.
Положение осей по лярной системы ноординат (9. 1О) идн 7 = — лгх, где гл„ вЂ” конечная масса ракеты-носителя при выведении на орбиту Функции управления и траектория должны удовлетворять условиям системы (9.9), которая может быть записана в виде и'х — = 7(х, и), лг где х — фазовый вектор; и — вектор управления; 1 — пятимерный вентор фазовых координат н управления.
На концах участка выведения должны выполняться граничные условия: при 1=(о ~ ((го, (го, ло, зо, юо, га)=0, 1=1, 2, 3... й <6, при уу((г", (г", Л", й", ж~, Гз)=0, 7=1, 2, 3...(К6, (9. 11) где (з — момент начала внеатмосферного участка траектории; гь — момент выхода на заданную орбиту. лг = — 6, где ф' — угол таигажа, отсчитываемый от местного горизонта; б — полярный угол между текущим и начальным радиусами-векторами; с=сопя( — скорость истечения газов из сопла; 8 — секундный расход массы, причем Ягеяа к 8 < зетах.
Система уравнений движения (9. 9) позволяет упростить математические выкладки и вполне достаточна для проведения исследований по выбору закона движения Из системы (9. 9) видно, что семь переменных г„то Л, б, т, [), ф' связаны пятью уравнениями, следовательно, две переменные можно выбрать произвольно. Такими переменными являются функции управления ф' и р Таким образом, задача заключается в выборе законов управления по ф' и [1 такими, чтобы соответствующая им траектория давала минимум функционалу г„ Ср т т Ср, т 3 Н=Л, — совр' — Л, +Л,— заир'+Лэ — — Лзйо ' рр+ и ' „рр+й ()р+й)т + + ЛзЪг+Л4 Лзг )р+й где Л =.
(Ль Лю Лз, Лм Лз) — ненулевой непрерывный вектор, удовлетворяющий системе уравнений, сопряженной системе (9.9). Сопряженная система (9. 3) в развернутом виде будет ивгеть вид 2(л, Л, = Л, †' — Л, ' — Л, Р+ Д )Р+ й )Р+ Ь' У, Л,=Л,— ' — Л,; )р+ь (9. 12) + Л4 '(рр.~ й)з э ~()э 1 й)з з()р+д)з ) '(рр 1 й)з л„= о; с "и Лз = — (Л, соз у' + Лз з(п р'). шз 1 Если на протяженность участка выведения не наложено никаких ограничений, то четвертое уравнение системы (9. 9) можно исключить из рассмотрения, так как Ь не входит в остальные уравнения системы. После простейших преобразований функцию Н можно представить в виде Н=Н1(х, и, Л)+Я(х, Л), Н,=РК(х, р, Л); где с К = — (Л, соз р' + Лт з(п р' ) — Лэ; лч 3= — Л, ' +Лт~ — ' Н+ й ~Л+ Л (Н+й)т~ ' В, +и' ~ + 131 г + Л4 Из условия абсолютного максимума функции Н можно получить Л, Л (9.
13) Анализ равенства (9.!3) можно найти в работе [29). Из условия абсолютного максимума функции Н по й при условии КФО можно показать, что () принимает граничные значения, а именно: при К)0 при Кц.О 3=баяв (9. 14) Как видно, от знака функции К зависит характер участка оптимальной траектории, поэтому ее называют функцией переключения. Момент перехода двигательной установки с режима максимальной тяги на режим минимальной или наоборот определяется из условия с К = (Лг соз р' + Лэ гйп е') — Лз =- О.
т (9. 15) Условие (9.14) позволяет определить оптимальный режим тяги в неособом случае, ногда КчьО, Значение р внутри промежутка (й „, () „) возможно только при К=О на нулевом интервале времени Легко показать, что функция К может быть константой (в частном случае нулем) только при ()=сопз1.
1Ое С точни зрения вариационного исчисления, эта задача на условный экстремуч с дифференциальными связями, которыми являются уравнения движения (9. 9). Лля нахождения оптимального решения по принципу максимума составляется функция Н: Таким образом, можно прийти к следчюшему выводу. Экстремаль содержит только участки минимальной и максимальной тяги (р=р ы и 5=]) „) и не содержит участков с промежуточной тягой, причем на минимали выполняется условие при К) 0 8 =- ймах' при К(0 5=5мы=О, (9. 15) в точке переключения с К = — (Лт соз у' + Лз з(п у') — Лз =- О.
/П заменить равенством 5 (5,„— 9) — т = О, (9. 18) где з — вешествениая переменная. Благодаря уравнению (9. 18) вариационная задача со связью в форме неравенства (9. 17) сводится к математической модели, используемой при решении задач, в которых все связи представлены в форме равенств [!9]. Граничные условия на левом конце траектории определяются параметрами в конце атмосферного участка. При использовании принципа максимума удовлетворение граничных условий иа правом конце происходит путем поиска начальных значений вектора Х, получаемого решением сопряженной системы (9.
12). Из принципа максимума [25] известно, что, длв того чтобы функции и(!) и х(!) давали решение оптимальной задачи с подвижными концами, необходимо существование ненулевой непрерывной функции Л(!), удовлетворяюшей условиям, укаэанным в теореме, и, кроме того, условию трансверсальности в обоих концах траектории. Условие трансверсальности записывается в виде: — при ! = (о 5 Х [Л,((о)+ 1вхю О, ду г 1 — при т'= (ь ~~~~~~1л!((,)+ 87 15 т„=о. 5-1 Здесь Ьхгр и бх,ь принадлежат множеству (9. 11).
Использование условий траисверсальности позволяет получить соотношения, необходимые для определения начальных значений компонент вектора-функции Л(!) и тем самым облегчить решение краевой задачи. Начальное значение одной из компонент Л,ь можно выбрать произвольно, так как вектор определен с точностью до произвольной постоянной. На правом конце граничные условия определяются параметрами орбит, на которые необходимо выводить космические аппараты При иыведении на круговую орбиту граничные условия имеют вид [41] ! и = Изаъ 9=3,986 105 кмз(сз.
При задании эллиптической орбиты с высотой апогзя И» и высотой перигея И, для выбора граничных условий можно воспользоваться зависимостями )г, = ~ ' — (1 + е соз Э„); Р / Рг =- зт — е юп йз, Р Если К=О на ненулевом интервале времени, то функционал ! (9. !0) не зависит от 5 и решение не является единственным.
Рассмотренная задача об оптимальном движении ракеты-носителя на внеатмосферном участке может быть решена также методами классического вариационного исчисления [3, 15]. Лля этого необходимо неравенство 0 <! «8 (9. 17) р 1-~- е сов йо й,— и„ 2Р+ йа 6 й« Ьа+ й« а =- Р + 2 где циенты. Это частное решение можно найти в работах [23, 2!) и др. При практических расчетах в случае целесообразности выбора программы гр(!) в виде линейных функций времени ее можно определить по формуле Рис. 9.
5. Функция переключения у (г) = То (га) + дуо + у (г — га) где Аф« — скачок по углу тангажа в конце атмосферного участка; ф — постоянная угловая скорость изменения угла тангажа. Параметры Аф« и гр определяются из условия удовлетворения заданным граничным условиям в конце участка выведения. Анализ закона изменения функции переключения К(г) показывает, что она имеет не более двух нулей Из этого следует, что оптимальная траектория состоит не более чем из трех частичных дуг. Зависимость К(Г) при выведении КА на круговую орбиту приведена на рис. 9.5. Таким образом, оптимальная траектория (вне атмосферы) содержит не более трех )частков, которые следуют в порядке: максимальная тяга, нулевая, максимальная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
