Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Эти результаты могут представлять собой углы между направлениями на различные небесныс тела и вообще показания каких-либо приборов. Действительные результаты измерений отличаются от вычисленных заранее. Из сравнения двух величин находятся разности беь и эти разности выражаются в виде разложений в ряд Тейлора по отклонениям параметров траектории бх, би, бз. б)7,, б)'„, б)',: ь=, „1ьх-~ — с~ЗД+, 3З +с 161 г Рф~ и-) — РэЗ1 г. (о. 39) Уравнения типа (5.39) разрешаютая относительно переменных бх,...
б)7, и определяется влияние этих отклонений на ошибки в конечныих параметрах. Наряду с этим вычисляется влияние возможных изменений скорости, вызванных приложением корректирующего импульса, на отклонения конечных параметров. В итоге компоненты потребного корректирующего импульса линейно выражаются через измеренные отклонения беь Естественно, что метод дифференциальной коррекции применим непосредственно на практике только при условии линейной зависимости между конечными параметрами и составляющими корректирующего импульса. Однако при предварительном исследовании задачи об оптимальном распределении корректирующих импульсов использование этого метода вполне оправдано.
Выпишем некоторые соотношения, необходимыс для оценки количества топлива, затрачиваемого па коррекцию траектории. Будем считать, что используется метод дифференциальной коррекции. Пусть номинальная траектория характеризуется заранее вычисленной зависимостью от времени шести параметров— координат и составляющих скорости, т, е. вектор-функцией: г(7)= Пусть в процессе полета проводятся измерения некоторых параметров ьц — углов, расстояний, скоростей, которые связаны 272 с компонентами вектора г(7) некоторыми соотношениями, причем номинальные значения параметров е; также вычислены заранее: е,(1) =Цг(7), 1]. Тогда для малых отклонений вектора г(1) справедливо соотношение р й=,.
(7) = 1; ~~' 1г (7), 7~ йг,(7) = дг7 7=1 =-д (7)Зг,тар(7)дг.-,-д (7)аг — -д (7)Зг,+ +де( ) Ъгр+ ОБ (") Ьгр тг( ) Кг (1) (5. 40) где Ьг, — компоненты вектора бг: рг,(7)= — -Зх(7),, рг (7).= р(г (7), йм(7)=7И!Иг;(7) — Зг;(7)НЗг (7)) — З Ф))~ которые образуют симметричную матрицу шестого порядка КЯ ='ййп(1)~! — так называемую корреляционную матрицу. Система управления выведением космического аппарата обеспечивает сведение к нулю всех начальных отклонений бг;(7р) с точностью до некоторых погрешностей, причем величины этих погрешностей определяют исходное значение корреляционной матрицы: Ьг (7р).=О К(7~)=() й,.;(7р)))- 1) Л4(зг,(7р) йгз (7р)])), (5.41) Рассмотрим, каким образом изменяются математическое ожидание вектора бг(~) и его корреляционная матрица в процессе безатмосферного полета при отсутствии возмущающих сил.
Если измерения и коррекции отсутствуют, то истинный вектор отклонений бг(1) изменяется по закону рг (гр) = Л (йл г1) 7 г (г~) где матрица перехода Л(7р, 7~) порядка 6Х6 определяется с помощью метода Блисса (см. приложение 1). Точно таким же образом изменяется и оценка вектора бг(7): и' (7р) = и А. г1) рг (~~).
(5.42) 27з ят(ц — транспонированный вектор, нлн вектор-строка. Поскольку величины бг;(7) не могут быть определены точно, они характеризуются своими оценками — математическими ожиданиями бг;(7) =-М[бг„(7)) и математическими ожиданиями про- изведений Корреляционная матрица К(1) изменяется следующим образом. К (гз) =: †. Л (г,, г,) К (С1) Л" (г,, г,). (5.43) Рассмотрим, как влияют на оценку бгйИ) и корреляционную матрицу К(г) измерения.
Любую серию измерений можно пред. ставить в виде послсдовательпых единичных измерений. Поэтому будем считать, что в момент времени ~а измерена величина е,(1э) и, следовательно, определено значение бе;()э), поскольку номинальное значение е;„„,(б,) предполагается известным. Измерение проводится со среднеквадратичной ошибкой, равной и;(~~).
Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда все ошибки измерения независимы. Тогда после проведения этого измерения коррсляппониая матрица К(~) изменяется следующим образом (см. приложение П): К(~„4 0).=.)К '(г --О)-'; —,,;(г) д~(1), (3.44) с (г„) где ~э — 0 и 1, +О обозначают моменты до и после гроведеппя измерений. Оценка вектора бг изменястся после проведения измерения следующим образом: Зг (~„+0) .=Вг(~, — 0)+ * д ["=-,.— а~Сг (~ — О)].— -- К К+О) К- (~., — О) Вг ӄ— О) —. — —:"-.,— — '' З=,:. (б. 43) К (г,.+ о),.
1 Если измерения проводятся достаточно часто, их можно считать практически непрерывными. В этом случае для обработки ре. зультатов измерений можно применять фильтр Винера — Калмана. Подробно эти вопросы рассматриваются в работе [83] и в книгах [6], [28], При проведении импульсной коррекции траектории в момент 1э„вариации скорости изменяются: 0 (5. 48) Кор)>еляшюпцая матрица К(>) изменяется в том случае, если с>шеста>ют ошнбкн в отработке корректирующего импульса; О (5, 47) Клл и О сдс йялр корреляционная матрица разброса скорости прн отработк. корректирующего импульса. Та-6Т у у у (5.
45) х(7) = О, ау(Т) =О, о" (7) = О, конечно, прп условии, что при движении по номинальной траек. торин аппарат попадает в окрестность планеты. Если допускается, чтобы аппарат попал в окрестность планеты необязательно в заданный момент времени Т (время прибытия строго ие зафиксировано), то задачу можно считать выполненной, если в момент времени >=Т выполняются равенства: ах лГ> сн тт> оТ— т „„>Т> — М с,РТ> Ья,, (т>-->т„„я(т> л" >Т> и, ая (т> — >я„„ст> где тап 1 яаа' 1 лая 1 .тпл' 1 яал 1 лпл (5.
49) номинальные составляющие скорости аппарата и составляющие скорости планеты в момент Т. Тогда бТ обозначает сдвиг по времени прибытия (рис. 5. 17). Следовательно, в данном случае на компоненты вектора Ьг(Т) 276 у Ряс. 3 >т Спвп а1оа1ся~а у астро ш аппарата с пяапстой Коррекция траектории проводится с целью компенсации конечных отклонений координат или линейных комбинаций коорди. нат и скоростей. Пусть, например, требуется, чтобы космический аппарат в определенный момент времени Т попал в окрестность планеты назначения. Тогда условием выполнения поставленной задачи является малость трех величин (5. 50) где à — матрица порядка ЗХ6. В частности, если вектор Ь представляет собой коночные откло- нения координат а х (7 ) Ь-- Ьу(7) Ьа (7') то 100 000! 010 000 001 000 Учитывая равенства (5.
41) и (5. 50), получим (5.51) Отсюда легко определить оценку вектора ЬЬ ЬЬ=.—.ТА(7', Г) Лг(7) —.С(7', 7) 3г (7), С(Т, г)- Р'Л(Т, 7), (5. 52) где я корреляционную матрицу этого вектора ʄ— Я НЧ вЂ” ЬЬ) (ЬЬ-ЬЬ) 1 =-.ЕЛ..(Т, 7)КОО Л'1Т, 7) Р~.:=С(Т, 7)К(7)Сг(7, г). (5.53) 27 > накладываются уже пе три, а два условия. В зависимости от числа наложенных концевых условий можно говорить об одно-, двух-, трехпараметрической коррекции и т. д. Рассмотрим случай трехпараметрической коррекции.
Вудем определять составляющие корректирующего импульса из условия, что после проведения коррекции математические ожидания трех концевых параметров обращаются в нуль. Пусть вектор отклонений концевых параметров определяется выражением Потребуем, чтобы корректирующий импульс, прилагаемый в момент 1~~, скомпенсировал до нуля оценку вектора 55. Учитывая выражение (5.46), получим соотношение С(7', г) Вг(г„,+0)=. 0 0 0 дГ =-О, (5. 54) =С(Т, ~„)аг(~.— 0)+С(7', т„,) которое позволяет определить потребное приращение вектора скорости при проведении коррекции. Для этого следует в соотношении (5.54) представить последний член в виде 0 0 0 д 1г „ д)гд дЬ', д (l,. д)' д)l, -".С(Т, 7,.) С(7', г'„„) где матрица С(Т, 1„~) порядка ЗХЗ получена нз матрицы С(Т, Щ) порядка ЗХ6 вычеркиванием трех последних столбцов.
Если матрица С(Т, 1~в) невырождена, то разрешая соотношение (5. 54) относительно вектора требуемого приращения скорости, получим дГ„ ДГл д)l, = — (С(7',1,„)1 'С(Т,1„') йг(1,.— 0) =. (5.55) при условии, что ошибки в отработке корректирующего импульса не зависят от величины и направления импульса. Корреляцион- 277 где  — матрица порядка ЗХ6. Корреляционная матрица вектора приращения скорости определяется формулой К вЂ”.= — 77 (Т,т ) К (~ 0) Ог(7. т ) 4. 7С' р (5 56) пая матрица вектора бй после проведения коррекции определяется формулой К вЂ” — С(/,1 )К(/ -;0)С" (Т,г ), (5.57) формулы (5.
56) и (5. 57) представляют наибольший интерес при выборе числа и размещения корректирующих импульсов. Для того чтобы удовлетворить требованиям по точности выдерживапня концевых параметров, необходимо, чтобы элементы матрицы (5. 57) были достаточно малы. Естественно, что этп элементы умепыпаются по мере приближения аппарата к цели, поскольку по перс проведения измерений отклонения концевых параметров уточняются.
!~роме того, ошибки в отработке корректирующих импульсов, как правило, оказывают меньшее влияние на разброс концевых параметров по мере приближения к цели. Но, с другой стороны, элементы матрицы (5. 56) при этом возрастают, поскольку компенсация одних и тех же отклонений концевых параметров требует, как правило, больших приращений скорости по мере приближения к цели. В результате прн выборе момента выполнения корректирующего импульса возникает противоречие — слишком поздняя коррскция траектории приводит к возрастанию потребных приращений скорости, слишком ранняя коррекция пс обеспечивает нужной точности выдерживания концсвых параметров.
Это противоречие устраняется введением нескольких корректирующих импульсов, что позво. ляет при заданной точности коррекции конечных параметров уменьшить потребные приращения скорости, т. е. уменыпить запас топлива па проведение коррекции. Метод дифференциальной коррекции применим при условии линейной зависимости между величиной возмущений и коррек. тирующнх импульсов п величиной конечного промаха. В то же время эта зависимость часто оказывается существенно нелинейной, например в задаче о попадании аппарата в заданный район небесного тела вследствие нелинейного влияния создаваемой им силы прпзяигения. Во избежание »тих трудностей конечные параметры иногда преобразуются таким о разом, чтобы обеспе.
чить необходимую линейную зависимость. Этому способствует введение понятия картинной плоскости [85), [38[, [!00). Предполо'кнм, что небесное тело не создает притяжения, и построим фиктивную нсвозмущенную траекторию полета аппарата относительно этого тела (рис. 5.!8). Далее, проведем через центр небесного тела плоскость, перпендикулярную фиктивной скорости аппарата, и назовем ее картинной плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
