Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 49
Текст из файла (страница 49)
92) приводит к увеличению оптимального числа импульсов по сравнению с минимизацией математического ожида- х„„, ния расхода. Если число незавпси- га мых импульсов не слишком мало и их математические ожидания соизмеримы, то в соответствии с предельными тео- сд ремами теории вероятностей распределение их суммы близко к нормальному закону. При этом значение р=2,8 соответ- га ствует значению вероят- )о ха ности Р=0,9973, фигурирую!цему в «правиле трех рис о. 29 Записимост частоты распре.
сигм [111 Если жс лспсиип ичпг:исоа ири поаиоа коррсксигм» Пип от парамстра и, п=! в другом предельном случае один импульс является преобладающим (как правило, первый или последний), то распределение суммы импульсов близко к распределению одного импульса. Тогда уровню вероятности Р=0,9973 примерно соответствует величина ч(Х!с !) ' р/ т. е. р = 3,7. По, как видно из рис. 5.29, изменение р в небольших преде- лах мало сказывается на выборе числа и размещения импульсов, поэтому, выбирая р=-3,0 —:3,5 и минимизируя выражение (5.
92), можно считать, что тем самым минимизируется величина расхода прп значении вероятности Р=0,9973. и а.а, норракцин тиантории нл коночном тчлотка ноллато н полнота назначении Рассмотрим конечный участок подлета космического летательного аппарата к планете назначения, предполагая, что движение является кецлеровым. Основным требованием, предъявляемым к системе управления полетом на этом участке, как правило, является выдерживание заданной высоты перицентра (рис.
5. 30). Точность выдер- г' l l l Рис. 5.30. Коррекцпн траектории подлета аппа. рата к планете с помощью трансверсальногс импульса жнванпя перицентра должна быть особенно высокой, если предусматривается вход в атмосферу планеты. В этом случае под перпцентром понимается фиктивный перицентр траектории, вычисленной без учета влияния атмосферы, а допустимый диапазон разброса перпцентра называется коридором входа в иглеосферу (см.
гл. Ъ"|). Наряду с радиусом фиктивного перицентра гр условия входа н атмосферу характеризуются скоростью в перицентре )тр (которая практически не отличается от скорости входа в атмосферу). Рассмотрим отклонения значений гп н (гп от номинальных и изобразим на рис, 5. 3! границы коридора в плоскости Р Р 'гг =- , г =. 1 для некоторого типичного случая ~ Р КОМ ГР Н,М 304 )вход в атмосферу Земли со второй космической скоростью при аэродинамическом качестве, равном 1, и предельно допустимо[ перегрузке, равной 10). Как видно, границы коридора очень слабо,наклонены к оси абсцисс. Отсюда следует, что при относительных ошибках ЬУ и Лгр одного порядка решающую роль играет отклонение высоты фиктивного перицентра Лгр, и поэтому в первом приближении можно ограничиться рассмотрением задачи об однопараметрической коррекции, когда корректируется только радиус фиктивного перицентра.
Рис. 5.31. Граииим коридора входа в атмосфер!. Земли омах=!О! К=1,0; Уа=1,4 Ограничимся плоской задачей. Тогда корректирующие импульсы прикладываются в плоскости траектории, а их направления следует определять из условия максимальной эффектив. дгр ) ности управления: гпах д! ~' Запишем два интеграла кеплерова движения; )гвг=; )г г, и 2 (5.95) 2 г 2 г, ! г —— г дгр гр (5.96) дУ! ! — «,р ) ~ ! 2 1 ~ р + ) !5.97) дУг У, уа 305 где р — гравитационная константа планеты; и Уг — трансверсальная н радиальная составляющие ско.
рости. Отсюда получим, что в линейном приближении Здесь — г'.е кв р г г= —, гр отношение круговой скорости в перицентре к скорости в пери- центре (например, для второй космической скорости У„р' — — 1/2). Следовательно, оптимальный корректирующий импульс должен быть направлен к местному горизонту под углом )гг( — — ) ( — 2Р; — — ) р„„,=агс 1д 1 При этом (г — 1) г+ !в (5.98) кр (5.99) Гр — ', +,'»" =', О; 1 гр! Здесь ор' — априорная дисперсия величины бгр, а значения о„и, соответствуют ошибке определения величины бгр в ю'-й серии измерений.
Формула (5.99) справедлива, если ошибки измерений в различных сериях измерений независимы. Если измерения проводятся достаточно часто через малые промежутки Лгр, то формулу (5. 99) можно представить в виде а2 гр (5.100) иг —,+~ Г а~ (г) 306 На большей части траектории подлета к планете (при г>3) угол фопт мал, поэтому корректирующие импульсы можно прилагать в трансверсальном направлении [81], при этом эффективность управления определяется формулой (5.96). Найдем оптимальное распределение корректирующих импульсов при подлете аппарата к планете назначения, считая, что каждый корректирующий импульс обеспечивает полную компенсацию прогнозируемого отклонения высоты перицентра, Лалее, будем считать, что прогнозируемое отклонение определяется в результате проведения серий измерений, причем среднеквадратическая ошибка п,р в определении бг„ изменяется по гипотетическому закону Очевидно, что ошибки прогноза о,.„убывают по мере приближения аппарата к планете назначения.
В качестве модельных зависимостеи о, (г) были выбраны зависимости о.„=с/г", ~де п=0,5; 1 и 2, с — некоторая константа. Задавая значения ае, од, Ьг„и с, можно с помошью (5.100) найти величину гд, при которой о„л (гх) =о„'. Это значение гь определяет точку приложения последнего импульса. Для нахождения оптимального числа и оптимального размещения импульсов можно воспользоваться методом динамического программирования, подобно тому, как зто делалось ранее при рассмотрении модельной задачи (=с/о".
Условие минимизации математического ожидания расхода по 1-му импульсу можно представить в следующем виде: ) ! г' (г,.) ~~~~(г,,) — ~~,'(г,) + +ф Е(г;+,) ~~(г,) ~(г„.,)~ ~=0. (5.101) В данном случае Разрешая соотношение (5.
101) (для этого достаточно решить биквадратное уравнение), можно определить Х(г;,) в зависилюсти от значений Р(г;), Р(гьы), Г(г,), ~~;(г,), ~,'(гьы), '~ (г;), т. е. определить зависимость г;,(гь гьы). Последняя точка коррекции гь фиксирована благодаря условию агн(г~) =о„. Задаем произвольно гм, и, используя соотношение (5.
101), последовательно определяем значения гь ь гь ~ и т. д. Задавая различные гь ь выбираем из них такие, чтобы через некоторое число шагов мы получили гк =гз — начальную точку (в рассматриваемом случае принято, что г~ — †!00). Результаты этих расчетов приведены в табл. 5.3 — 5.5 для М(ч;11;1) г, случаев п =0,5; 1 и 2, гн=2, 3 и 4, Значения <~= 'о" р выражены в долях скорости в пернцентре, которая принята рав- ной второй космической скорости, Продолжение 2,0 5,0 40 ИП 4000 40 400 4000 40 400 4000 СО?а 4 0,1407 0,0569 0,0228 О,!112 0,0394 0,0152 0,2519 0,0963 0,0380 0,0580 0,0239 0,00, 0,0418 0,016! 0,0062 0,0998 0,0400 0,0161 090,0209 0,009! 0,005! 0,0148 0,0056 0,0018 0,0357 0,0!47 0,0069 т! 'Г2 Г2 Гг 45,52 68,29 93,16 13,11 21,65 33,05 5,00 5,00 5,00 О,ОП85 0,0058 0,0043 0,0057 0,0027 0,0005 0,0039 0,0019 0,0004 0,0181 О,ОГ04 0,0052 5,33 16,64 50,19 2,02 3,39 6,31 1,20 1,20 1,20 0,0756 0,0238 0.0079 0,0586 0,0!65 0,0047 0,0530 0,0126 0,00 330 0,1862 0,0529 0,0159 тг та и! Гг Гз Г4 0,1709 0,0438 0,01!8 Безразмерную функцию гр удобно представить в виде т.
е. результат зависит от начального разброса ао, требуемой точности выдерживания радиуса фиктивного перигея од и точности измерений 1от этого зависит Г„ — расстояние, при котором ДОСтИГаЕтСЯ тРЕбУЕМаЯ тОЧНОСтЬ, О„р(гн,) =Од). Как видно, при больших о основная часть расхода прихоел дится на первый импульс. Оптимальное число импульсов оказы- 310 6,96 24,22 68,33 3,!2 7,66 !8,76 1,68 2,36 3,61 1,20 1,20 1,20 0,0550 0,0161 0,0058 0,0448 0,0116 0,0027 0,0355 0,0081 0,0018 0,0357 0,0070 0,0014 10,85 33,03 75,49 4,41 8,34 15,03 2,00 2,00 2,00 0,0353 0,0117 0,0053 0,0277 0,0081 0,0020 ,0207 0,0056 0,0014 0,0837 0,0254 0,0087 1о,бО 43,59 84,61 6,59 16,44 33,80 3,44 5,60 8,50 2,00 2,00 2,00 0,0269 0,0088 0,0047 0,0234 0,0061 0,0013 0,0!74 0,0042 0,0008 0,0134 0,0030 0,0006 0,08!1 0,0222 0,0074 54, 11 25,45 11,42 5,00 0,00?О 0,0046 0,0032 0,0023 О, 0171 75,94 95,15 36,24 56,36 !4,10 18,76 5,00 5,00 0,0051 0,0042 0,0021 0,0004 0,0014 0,0012 0,0010 0,000! 0,0096 0,0049 вается достаточно большим, особенно при п=0,5 и при больших еа —, но, как видно, минимум является очень пологим, так что при т>З уменьшения расходов практически не происходит.
Для того чтобы установить, в какой мере выбранная стратегия управления близка к линейной оптимальной, вычислим теоретический минимум математического ожидания расхода по формуле (5.77) для двух ~лучаев. а) управление заканчивается при г=г, б) управление возможно и при г<г (отметим, что в этом случае управление заканчивается при г >г>1). Результаты расчета приведены в нижней части табл. 5. 4. Как видно, дискретная коррекция с полной компенсацией промаха приводит к некоторому увеличению расходов (до 30%). В тех случаях, когда преобладающим является первый импульс, это увеличение менее значительно. Для пересчета результатов при изменении скорости в пери.
центре необходимо умножать абсолютное значение расхода на коэффициент ( — — Ъ'„р ))/2, а относительное значение (выра- ~ «р женное в долях скорости в перицентре) на 2(1 — Г„р'). Для приближенной оценки гарантийных запасов на коррекцию можно вычислить выражение где р' — ' — ! ~/ ~м'~~у,(). 1 а значение р выбирается в зависимости от требуемого уровня вероятности и характера распределения величин отдельных импульсов. Для Р=0,9973 следует выбрать р=З вЂ” 3,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
