Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. Н((г. Отсюда следует, что 12 д=-д(0) [ ) =сопз1, ° +О ) г+Н= сопз1, )гр)l(г+Н)0сопз1 4) температура атмосферы постоянна, откуда следует экспо. ненциальпая зависимость плотности от высоты а(Н) =0(0) в — 'и, (6.10) где ~.— логарифмический градиент плотности. Если аэродинамические коэффициенты зависят от числа Маха, то можно считать, что они зависят только от скорости, по. скольку скорость звука, пропорциональную корню из темпера. туры, следует считать постоянной; 5) угол наклона траектории мал: ]0] « 1, так что з)п 0 =-о и соз 0 = 1; 6) для основного участка траектории входа в атмосферу характерно следующее неравенство: ]0] «и,; (6.
11) 7) при рассмотрении входа в атмосферу со скоростью, близкой к круговой, принимаются предельные начальные условия; по=0, го= (гор 3!7 (6.12) (6.! 5) 1г Л" е а, к е~ ..в — и и-е 2т з!в Допущение 4 для атмосферы Земли не является достаточно обоснованным, поскольку даже в диапазоне высот от 20 до 60 км значения температуры колеблются в пределах -~20е)е.
Как будет показано ниже, введение этого допущения может в отдельных случаях вносить погрешность порядка ~-20ей в опре- деление максимальной перегрузки, однако эта погрешность мо- жет быть скорректирована. Допущение 5 оправдано тем, что приемлемые значения ма- ксимальной перегрузки получаются лишь на траекториях с ма- лыми углами наклона. Неравенство (6.11) характерно для основного участка траек. торин входа в атмосферу. Оно равносильно допущению о малом влиянии гравитационных сил на изменение скорости. Допущение 7 оправдано тем, что плотность на основном участке траектории, где достигаются максимальные значения перегрузок и тепловых потоков, во много раз превосходит плот- ность в начале основного участка. Это допущение противоречит попущению 6, поэтому, строго говоря, решение для начального участка траектории входа в атмосферу не является правильным, однако истинное решение, как правило, очень быстро стремится к решению с предельным начальным условием о,=0.
С учетом только допущений 1 и 2 уравнения движения запи- сываются следующим образом; га е (М) ВВ(Н) !гв й(Н)в)пв, Н 2т !г — " сов а (д(Н) — ~! (6 13) ае 2т г+Н где М = — число Маха; а (Н) а(Н) — скорость звука. Кинематические соотношения имеют вид — = Ь' в!и Е, ин (6.141 ае а1. Пг<овз а! г+Н где Š— дальность полета. Вводя допущения 3 — 6 и исключая время из уравнений (6. 12), (6. 13) и (6.!4), получим: ан в еЮИ агаев, — ел ые 2т Далее, делая замену переменных и исключая 0, получим одно уравнение второго порядка, которое в случае с,.=сопз1 записывается в следующем виде: с'зу — ср сас — 1 у — —., — — гЛ вЂ” + схт с, и (6.16) Здесь 1'кр 1 х —..
- 1п — =1п— Лг (6.17) Ьг=е-", (6.18) с„5 Г г р=- — - о. 2~п уг Л (6.19) Остальные параметры траектории определяются из соотношений: 1 ду В= (6.20) ргГЛ ЛХ : ссЛз л=)ггЛ 1+ ~ — ) уе-'", сс (6.21) и, =~ гЛуе-'", (6.22) (6.23) у — (г— Ю ев лс — ср сиЗа1гт — УгЛ вЂ”"— с, 2т (6.24) ,рх — —,. сова, у 1 1гз — — -соз с г+Н з1з Уравнение (6.
16) имеет простой физический смысл. Отдельные члены этого уравнения эквивалентны членам уравнения (6.13); Из соотношения (6. 20) следует, что участкам траектории при 0 = сопз1 соответствуют прямолинейные участки зависимости у(х), В случае снижения на Землю можно считать, что 1/м, 1"„р — 7850 м]сея, 1/ гХ=ЗО, 7000 =26,5 сек, 1/ — =212 км, у=1,3 1Оаа 1, «.3 $/ > ~ о(0) где о«=в«5/т — баллистический коэффициент, масса»~ выражена в кг, 5 — в м'. Использование уравнения (6.16) удобно еще и тем, что позволяет результаты расчета, полученные при исследовании входа в атмосферу Земли, легко пересчитать на случай входа в атмосферу другой планеты.
Этот вопрос подробно рассмотрен в (68] и др. В дальнейшем все результаты будут относиться к случаю входа в атмосферу Земли. И В.В. БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ ВХОДА В АТМОСФЕРУ Простейшей траекторией входа в атмосферу является баллистическая. Такой способ снижения обладает тем преимущест. вом, что не требует стабилизации движения аппарата около центра масс (короткопериодического движения). Поэтому в ка честве первых аппаратов, возвращаемых в атмосферу, использовались именно баллистические аппараты шарообразнон формы («Восток») и капсульной формы («Меркурий»).
В случае с»=О, с«=сопя( уравнение движения (6. 16) принн. мает вид в-» » у (6.25) а Рассмотрим траекторию входа в атмосферу с кр)товой ско. ростью и нулевым углом входа — этот случай соответствует сннженив спутника с околокруговой орбиты, зволюцпонпрующсп под действием сил сопротивления [93]. Тогда начальные УсловиЯ Р*р — †)'„р, ар=0, 0р=О можно запп. сать в следующем виде: 16.26) р,(О).=О, д,(О) = О. Уравнение (6. 25) обладает особенностью в точке х=О. Зля того чтобы выяснить структуру решения, разложим функцию е㻠— 1 в ряд Тейлора: г>к 1 >х ~ + -' + 12«Р 12«)з 2 3! 320 В окрестности точки х=О достаточно удержать лишь первый член выписанного ряда.
Но тогда уравнение (6,25) переходит в так называемое уравнение Зл>дена — Фаулера: уу"=2х, кото>ге рос имеет решение у =- ~ у — х', удовлетворяющее заданным 3 начальпы» условиям Поэтому ищем рсшспис )равнения (6. 25) в виде я у= 1, — х'-"!1 —,а,х -'-а>хо-'-...). (6.27) з Используя выписанное разложение функции е>ы — 1 в ряд и приравнивая одинаковые степени х, последовательно опрсде. лясм коэффициенты: а, --1/6, ал = 1/24, аз= 0,0099, а, =0,0021 и т. д. Для определения максимальных значений перегрузки и тепловых потоков вполне достаточно ограничиться тремя членами ряда (с ошибкой менее !о>>о). Так, максимальное значение перегрузки можно определить, приравнивая нулю производную от выражения >л,.=-')гг!уе-о"=-)г гл ~ г — (х-'о+ + ' ) е-'х 3 ! б 21 Отсюда найдем, что х(п,,„) =0 835 или !Г (пч„,„) = — е-о ""=-0,434, у(п „„„)=1,45, >л,,„=0,2771>'гл,.
Зля Земли можно с штать И (и,. „„,.) = 6550 хг)сек, и„„, =8,33, (п,.„,„) = с (о) Лналогнчньм> путе» можно определить максимальные значения тепловых потоков, а также значения скоростей, при кото. рых онн достига>отся. Лля этого необходимо переписать форл>улы (6. 2) и (6. 4) в обозначениях х и у а:„ол -мол» гу "е ккал!длосек, ол,о,л (6.28) ол — 3,19к икал)хлосек. оп,ол г>' О (6.29) Подставляя в (6.28) н (6. 29) приближенное выражение для у(х), дифференцируя по х и приравнивая производную нулю, ьбпа 321 находим точки, в которых тепловые потоки достигают максимума; (!7 )= 0 789 17,4 !)к.л пьах= !гк!тл(.!1-се/', г' г!:, (!7„„, ) — 0,670, з,вз !Г,,, „„,=- ' !гкал(.!5егсл. Расс1!отр!!л! решение уравнения (6.
25) с начальными условпямц д(0) =О, р'(0) =С!~0, где С! = — Р гЛО о, О о — - угол входа в атмосф ру. Если величина С, мала (С!(0,7), то траектория близка к рас. сльотренной выше, ее можно искать, вводя поправки к решению (5. 27) (подробнее см. [521), Прц больших С, решение можно искать в виде ряда по сте- ПСНЯМ Х! у = С!х+ С5х'+ Слх'+ (6. ЗО) Так же, как н ранее, используем разложение функции е'"--1 в ряд Тейлора и последовательно определяем коэффициенты: С ' ' 1 С5) зс,' ! ! 1О ! 17 14 1 1 С5= 3 и т.
д, Сз ' С5 Сл ~ ОпС! ! 1 Это разложение можно использовать для построения решения и определения максимальных перегрузок н тепловых потоков при не слишком малых углах входа (С!>1). Так как Сз=!/С!, то при увеличении С! (увеличение угла входа по абсолютной величине) кривизна траектории уменьшается п опа приближается к спиральной !! =сонэ(. При достаточно больших углах входа в атмосферу С!)3 (для Земли 1О5~ )5') можно с достаточной степенью точности принять, что на основном участке траектории входа в атмосферу у=С!х, т.
е. О =сонэ(. Последний случай подробно рассмотрен в целом ряде работ ([57) и др.). Запишем некоторые результаты, заменяя О на з(п О (при больших углах входа это различие становится существенным). Так, перегрузка определяется формулой и, =.) г). ца --" 1 гхС,лс — -'-' гх!зги а!хс— Отс о,ю ~ (л, „,„,~==~),6 плп Г (л, „,.)=-0,605, л,, =- — ' — !а!па)= 170) чгип а ) :и' (6.'11) (для Земли). тиалог шпо оирсдсляючся максимальиыс тепловые потоки. 1'ассматрнвая выражения (6. 28) и (6. 29), подл являя р== Тг гкап и ) х и находя максимумы этих выражении, пол чим !!о! ..
ч ), „„,,„, = - — --' — кнпл/.и"иск, ! =.ы 16.32) „Оэ га "л 1 16ЛЗ) Здесь следует сделать замечание о величине утла входа в атмосферу, измеряемого па границе атмосферы. Граница атмосферы есть понятие условное, высота расположения этой границы зависит от баллистического коэффициента. Пусть неопределенность расположшшя границы атмосферы характеризуется ис слишком большим перепадом высоты Н,— Н~ =ЛН. Тогда, использ) я соотношение для кеплсровой траектории, получим р2 ~ ре ~ г~д~н 1 (6Л4) Выберем характерное значение ХН=!5 гси, такое, чтобы плот- ность атмосферы изменялась в 10 раз (в соответствии с возмож- ной вариацией баллистического параметра). Тогда л~~;,а / т.р — — — 1 ~,'-,' [гллд! 323 1(ак видно из этой формулы, неопределенность в задании угла входа становится очень малой при скорости входа, близкой к круговой, если углы входа нс слишком малы.
Решения могут быть получены и путем числсшюго интегрирования уравнения (6. 26). 1зсзультаты расчетов приведены па рис. 6 3 — 6. 7. на рис. 6. 3 для сравнения поивсдспы также аналитические решения. При больших х моигно считать, что е'" — 1 =г'" Уравнение уу"=с"" имеет частное решение д=е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
