Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если оценка вектора конечного промаха находится в пределах этой области, то корректирующий импульс пе выполняется. Однако определение закона изменения этой области в общем случае является очень сложной задачей. Поэтому ниже будет рассмотрен лишь случай однопараметриче. ской коррекции с наиболее простым критерием оптимизации.
В этом случае в качестве концевого вектора Ь можно рассмат. ривать концевой параметр, например, конечное значение некото. рой координаты илн конечное значение линейной комбинации координат и скоростей. Наложим требование — после проведения всех корректирую. щнх импульсов средпеквадратнчсское отклонение параметра бб не должно превышать допустимой величины пл; М ~3!Р):: Наряду с этим условием следует наложить требование о возможно более экономном расходовании топлива.
Будем считать, :то коррекция осуществляется с помощью большой тяги— ь этом случае расход топлива определяется суммой абсолютных величин приращений скорости прп проведении отдельных корректирующих импульсов Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии управления, чтобы математическое ожидание расхода— с) ммарпого импульса У достигало минимума и вместе с тем выполнялось указанное выше условие по точности управления.
Целью однопараметрической коррекции является компенсация отклонения одного единственного конечного параметра. По. этому в каждый момент времени можно заранее определить наивыгоднейшее направление приложения импульса, которое позволяет получить максимальное приращение конечного пара. метра при заданной величине приращения скорости, т.
е. выбрать такое направление, которое обеспечивает максимальное по абсолютной величине значение производной дЬ/д'г'. Значения частных производных приращения концевого параметра по приращениям различных составляющих скорости дб дь дд — — — определяются по методу Блисса (см. приложение 1). Легко видеть, что Оптимальное направление л совпадает с направлением таг(г Ь, т. е. определяется по направляющим косинусам д6 д| ',- соз (и, х)- 1' ~ —,"., [з- ~А~'. ~ — ",, Г дд дмч соз (л, у)— Точность прогноза коппевого параметра ЬЬ определяется величиной з'.=оь'=й4[(ЬЬ вЂ” ЬЬ)'-'), которая заменяет матрицу Кь, если концевой вектор является скалярной величиной. Будем считать, что влиянием ошибок в отработке корректирующих пчпульсов можно пренебречь.
Тогда по мере накопления информации о движении аппарата (по мере проведения новых измерений) величина оь убывает. Закон убывания этой величины можно определить, используя соотношения (5. 44) и (5. 53) дл (а также приап>кение П). Характер пзчснепия величин оь и дм при движении вдоль траек1ории полностью определяет задачу об осуществлении однопараметрической коррекции. Как правило, дд величина —, которую мо;кно назвать эффективностью управды ' дания, убывает по мере движения аппарата. бее Рис.
5. 23 Заьгена дпскретпь~х изме. роняй непрерыанызы Рпс. 5. 22. Тини иная зависимость эффективности управления от диспер. син конечного промаха при дискретных измерениях Если концевой параметр представляет собой комбпнанию коораь динат в конечный клемент времени, значение — (Т) обращается д Гг в нуль, так как с помощью корректирующего импульса можно мгновенно изменять только скорость аппарата, по не его координаты. Отметим, что допустимое значение од, определяющее требования к точности управления, не должно быть меньше значения о(Т), иначе задача становится неразрешимой. дл Изучение зависимости — (оа) в ряде случаев позволяет сразу ам сделать некоторыс общие выводы об алгоритме выполнения коррекиии.
Так, например, если функция дЬ/д(У вначале возрастает, то выполнение корректирующих импульсов на этом участке явно пснелесообразно: лучше отложить проведение коррекппй до тех пор, пока эффективность управления нс возрастет н вместе с тем не повысится точность прогноза. 286 аа Типичная зависимость эффективности управления — от веип личины оь прп движении по траектории приведена на рис. 5. 22. Скачкообразные изменения вели шны оь соответствуют моментам проведения измерений. Если измерения проводятся достаточно часто, то эту зависимость можно считать непрерывной (рпс.
5.23). Начальное значение величины аз=по определяется через исходный разброс параметров траектории и помощью соотношения (5. 41). Конечное значение о(Т) определяет предельно достижимую точность прогноза отклонения концевого параметра. 1 Обозначим функцию — через 1 и назовем ее функцией да/дм удельных затрат, отклонение ЬЬ обозначим через л. Критерий оптимального решения запишется в следующем виде: М, (сз) - ~~, — — а-", (5.58) ппп М[У]= пнп М ~' ~ [ЬР, [ (5.59) 1 Р(-а+Л) =- 1 "''" У ) — Хл» Соотношение (5. 601 является исходным для построения оптимального алгоритма коррекции, который заключается в следующем.
В каждой точке заранее определяется зона нечувствительности. Если прогнозируемый промах находится в пределах зоны нечувствительности, то корректирующий импульс не выпол- 287 Последнее соотношение свидетельствует о том, что корректирующие импульсы определяются текущими оценками конечного промаха. В дальнейшем п)г, будем обозначать ~'ь Символ Мы, обозначает апостериорное математическое ожидание, вычисленное после выполнения коррекций в момент времени 1„,. Символ М обозначает априорное математическое ожидание, вычисленное до выполнения коррекции. К моменту в каждом конкретном случае величина расхода оказывается вполне определенной, отличной от средней величины.
Считается, что дискретная совокупность точек (в том числе и последняя точка г,„), в которых возможно выполнение корректирующих импульсов, задана. Пусть в момент 1ь опенка конечного промаха равна лм Тогда л зюжно рассматривать оценку з, которая будет получена в момент времени т~„,, как случайную гауссовскую величину с мате- Л матпческнм ожиданием, равным лм и с дисперсией, равной 'к — Хьы (см. приложение 11). Если в точке тх выполняется корректирующий импульс величиной Ры то математическое ожидание оценки изменяется на величину УДы а дисперсия со. храняется. Этому соответствует следующее выражение для условной л плотности вероятности распределения оценки з~~, по результатам измерений, проведенных к моменту времени (х.
е ( ' "'' . (5.60) Минимизируя сумму (5. 62) по величине Г„, с, получим что !1 с=0 при 11» с! ~=. ~ — ! .1т — ! з Кп т — с(( п~ — ! ! .ут-!) при 1=-„, !)) =-„,, причем размеры зоны нечувствительности определяются из соот- ношения т — !(ф~т — с+т)ф~т — ! "~1] где г Ф(и) =)/ — ' '~ е ссх. 2 о В общем случае для последовательного определения размеров зоны нечувствительности гс, при переходе от с-й точки к с — 1-й можно использовать следующее соотношение; [к —, !)! — дп ~ е,'(и)е У' —— . с — ! )с 2п а~ ! ч63) рентных соо Л при а! с>г! с! Д-~ (~ьл) == С'с- 1- ! — ! — е! —.) -~- (и — ~с !)2 3 дс (и) е ' сси, (5.64) при,- (и — г! с)! '-' с!'сс.
сгс (и) е (5.65) 289 сп 8808 Здесь функция ис(и) определяет математическое ожидание суммарного приращения скорости при с-й, с+!-й... и ис-й коррекциях при условии, что прогнозируемый промах в с-й момент вре. мени равен и. л Четная функция и! ! (а! !) определяется с помосцью рекуртношений (для простоты положим гс с>0): являются избыточными, однако само положение границы зв(Х) изменяется по неизвестному закону, подлежащему определению, что замыкает задачу. Результаты расчетов, полученные С. В.
Петуховым, приво дятся на рис. 5. 24 и 5. 25. Рис. 5. 24. Зависимость зоны ненувствнте.п,ности от дисперсии коне пгггго примака В качестве типичной зависимости г'('), отражающей увеличение удельных затрат на коррекцию по мере уточнения прогнозируе- мого промаха, была выбрана функция г ~У)= ', (и)0), (5.73) . ('~) =а )гггс.' — 'т — а 1/ ~;, ю* при условии ~ =. '7 = 1. и ~-к При проведении расчетов по формулам (5.63) и (5.65) использовался шаг дискретности — =-=-1,05. 11ак видно из рис.,5.24, Х 2ф! 1 при достаточно больших значениях ~/"7- где а=!,53; 1,19 и 0,88 при п=0,5, 1 и 2, соответственно. В общем случае значения аа(Х) прн больших Х можно определять по приближенной формуле Значения функций пЕо=, „, определяющие матема,(о Хв) 2.'=-" гическое ожидание расхода топлива на коррекцию при априор.
ной оценке промаха, равной нулю, приведены на рис. 5.25. г. я ьт крр Рпс 5.25 Завнснмость расхода от начальной дис- персия конечного промаха Приведем результаты решения сформулированной выше задачи о наиболее экономном осуществлении коррекции без учета погрешностей исполнения импульсов в предположении, что величина корректирующего импульса линейно зависит от величины прогнозируемого промаха (линейная оптимальная коррекция). Прп такой постановке задачи удается получить решение в простой и наглядной форме [54).
Критерии оптимизации оставим прежними за тем исключением, что в условии точности матема. тическое ожидание М (г') является априорным — определяется не как оценка величины зв, вычисляемая после проведения всех коррекций, а как среднее значение з' после проведения коррек. ций. Зги величины совпадают лишь при условии, если и = п(йа). л когда после проведения всех коррекций опенка г обращается в нуль [!02[, [55[. Построим систему координат, в которой по оси абсцисс отложена величина Х=п', а по оси ординат — величина г =1'-".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
