Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рассмотрим вначале случай, когда измерения проводятся о9о в дискретные моменты времени. Тогда типичная зависимость Е(Х) имеет вид, изображенный на рис. 5.26, поскольку, как правило. удельные затраты на осуществление коррекции увеличи. ваются по мере приближения к концу траектории. Будем счи. тать, что исходное математическое ожидание отклонения концевого параметра равно нулю.
Рис ~ 'с Геометрическое определении точек прнложсиии имнульсон нри 1 исйиой оптимальной коррмснии (дискрстныс изысрснии) Нас чеи в плоскости (Х, г) две дополнительные точки —. нрлсорю точку дс('с, О) и точку допустимой точности дд(Хд, 0). Провецезг из точки ри радиус-вектор в отрицательном направлещщ по оси абсцисс и начнем поворачивать его вокруг этой точки по часовой стрелке до тех пор, пока он не коснется неко- тороп точки и,„ ломаной линии, соответствующей рассматриваемой траектории. Лля этой точки выполняется неравенство Хи,-- ",, так как условие разрешимости задачи заключается в том.
чтобы, по крайней мере. в последней точке выполнялось неравснство Х(Т) ( Е,, Далее, аналогично предыдущему, проведем радиус-вектор из точки да в отрицательном направлении по оси абсцисс и начнем поворачивать'его вокруг точки дс до тех пор, пока он не коснется некоторой точки дь далее переносим центр вращения в точку д: и продолжаем вращать радиус-вектор до достижения след)юшсй точки дт и т.
д. В результате получается вогнутая ломаная линия, проходящая через некоторые из точек исходной ступенчатой ломаной линии. Те точки траектории, которые не попали на полученную ломаную линию, следует отбросить, проведение корректирующих импульсов в этих точках нецелесообразно. Следует подчеркнуть, что этот результат относится только к линейной оптимальной коррекции. Как было отмечено выше, при нелинейной оптимальной коррекции выполнение импульсов возможно во всех точках й в которых Г(Г) <)(Г+М) для любых Ы)0, Оптимальная линейная стратегия заключается в том, чтобы в точках дь ...ГГ последовательно выполнЯть коРРектиРУющие импульсы таким образом, чтобы компенсировать в каждой из этих точек йч некоторую р; часть прогнозируемого отклонения концевого вектора.
Значения коэффициентов компенсации р, определяются формулами (5.74) (Г=2,... гп — 1) Доказательство оптимальности такого алгоритма приведено в работе [54]. Нетрудно убедиться, что все подкоренные выражения положительны и не превышают единицы. Это следует из самого способа построения ломаной линии. Как видно, для всех коэффициентов компенсации йч выполняются неравенства Конечно, следует помнить, что прогнозируемое отклонение концевого параметра изменяется при движении вдоль траектории даже при отсутствии коррекций, поскольку в соответствии с формулами (5. 45), (5. 52) каждое новое измерение изменяет прогноз этого отклонения.
Поэтому не исключена возможность того, что при выполнении двух соседних импульсов концевой параметр получит приращение различных знаков, т. е. окажется. что часть топлива была израсходована напрасно. Смысл от введения неполной компенсации отклонения концевого параметра и заключается в том, чтобы уменьшить вероятность таких напрасных затрат топлива. проводим из точки до(а.о, О) радиус-вектор и поворачиваем его по часовой стрелке до касания с кривой г(Х) в точке аь (алес радиус-вектор обкатывает кривую г"(Х), продолжая вращаться по часовой стрелке, до достижения точки дл.
Если гн(Х) )О, то таким образом обкатывается вся кривая от точки д~ до точки дл, в противном случае возможны «перескоки» радиуса-вектора с одной точки на другую д — де (рис. 5.27). На участках об. катки оптимальной является непрерывная коррекция; на участках кривой г" (л.), которые не обкатываются, проведение коррек. Рпс 5.
27. Геометрическое определение точек прнло;ксни.-. псльсон при линейной оптимальной коррекнии (лепр«рыли ! измерения) ций нецелесообразно. Естественно, что каждому бесконечно малому импульсу соответствует и бесконечно малое значение коэффициента компенсации, Это можно видеть пз формулы (5.73), полагая, что точки д, ь д, и дь.1 неограниченно сближаются. Приложение одного импульса конечной величины возможно в том случае, когда точка дь является последнии точкой кривой и кривая г (') образует в этой точке конечный угол с радиусом-вектором, проведенным в точку дп, В час~ности, во многих случаях допустимое значение о, задается равным конечному значению о(Т).
Тогда математическое ожидание последнего импульса, сообщаемого в конечной точке траектории. в соответствии с (5.75) равно (5.781 295 Тогда можно показать, что математическое ожидание импульса составляет величину М() 1/!!)=$/ — )/ Р!~''; — "~ ), (5.83) а математическое ожидание суммарного расхода определяется выражением Последней точкой проведения коррекции в этом случае является точка Х=Хл, при этом среднеквадратическое отклонение концевого параметра будет равно о„. Прн использовании такого алгоритма оптимальное число импульсов всегда оказывается конечным, независимо от того, проводятся ли измерения дискретно или непрерывно. Выра!кение (5.
84) можно минимизировать путем выбора подходя!цих моментов проведения коррекций, следуя процедуре динамического программирования. Предположим, что все точки приложения импульсов, кроме т — 1-й, предпоследней, фиксированы. Тогда выбор предпоследней точки влияет только па два последних слагаемых в сумме (5.84).
Естественно, что в оптимальном случае эта точка должна быть выбрана таким образом, чтобы сумма достигала минимума. с2 Отс!ода, считая, что !ч = — , найдем ччл =- — (а(а+~(а' — 4пз) — 2и(1 — п) ~ ' я-! где Х- 1 Если я=1, то Аналогичным путем, варьируя т — 2-ю точку и т, д., находим, что ~лт-1 ' пт — 2 !5.85) и: х х от — ! При этом .И (с;) Ъ', !) =~~ — п2с 3/у2 — 1, (5.86) где 1 ( б п ~ ( О Считая, что Н2 может быть нецелым числом, минимизируя 15. 86) ПО Н2 Прн УСЛОВИИ !5.87), ПОЛУЧИМ, ЧтО упп, ОПрЕдЕЛяЕтея ПЗ СО- отношения у-„„, 1! — )п у„, ) о= 1. Отсюда уоп, = 2,22, бп !и— 1,25 !и —" П1о и ' )О Упт <5.88) 1п — = 'Π— 2Д ~ г1Н вЂ”" I 2 л бп 15.89) Таким образом, математические ожидания всех импульсов оказываются одинаковыми, а значение уоп,= — '' не зависит от веб1 зов личины — .
бо бл В действительности н2 может быть только целым числом, которое следует выбирать при помощи формулы !5. 88'1. напритбер, брать ближайшее целое число, при этом расход 11ожет незначительно увеличиться. Если л ф 1, то оптимальные значения у,„„,== ' ' з оощем 1 случае оказываются иеравнымн, но при не слишком малых они стремятся к постоянной величине !рис. 5.28), опреде.т ляемой из соотношения .
л-1 2 /опт ' Хопт н — ! 22 .опт Как видно, при увеличении 11 импульсы учащаются, Опто. мальное число импульсов определяется соотношением бб 1и — ' ба 111бит !и Хби, Математическое ожидание суммарного расхода определяет я по формуле 15.911 бо Сравнивая результаты для оптимальной коррекции, линейнои оптимальной коррекции и полной коррекции при п=0,5 —:2, по- р 1 г и Рис 8 28.
Зависиыость иастоты расирслслсии» ил~птльсов при полной ларри и:и от иараистра и лучим, что упрощение алгоритма приводит к увеличению расхода на 13 — !7о1о и 28 — 37о(о соответственно, причем разли шс;ве. личивается с увеличением показателя степени и, а характер зл висимости расхода от Хо в точности сохраняется, в чем легко 1 бсдиться, сравнивая рис. 5. 25, формулы (5. 81), (5.
89) и (5, 91 1, В ряде случаев наибольший интерес представляет ие определение математического ожидания расхода топлива, а определение гарантийного запаса топлива, соответствующего некоторому достаточно высокому уровню вероятности Р. Задача о миннчпзации расхода топлива, соответствующего некоторому 1ровню вероятности, является довольно сложной, поскольку для се точного решения необходимо определить распределение вероятно. ЗИ1 стей суммарного расхода. Рассмотрим более простую задачу о мгшимизации выражения М ~~~, ( Ъ' о () -(- ра (5.92) где р — положительная константа, в предположении о том, что каждый корректирующий импульс полностью компенсирует ма.
тематическое ожидание отклонения концевого параметра. В этих условиях можно показать [541, что величины отдель. ных импульсов независимы и, следовательно, дисперсия суммы импульсов равна сумме дисперсий импульсов. Кривая распределения расхода при отдельном импульсе представляет собой правую ветвь гауссовой кривой, откуда нетрудно показать, что дисперсия расхода связана с математическим ожиданием расхода следующим соотношением: Следовательно, задача сводится к минимизации суммы с Рассматривая пример, когда )= —, получим следующий резуль. о тат: математические ожидания всех импульсов, а следовательно, и дисперсии всех импульсов, оказываются одинаковыми, значе.
а~ — 1 оо ние Х„,= = зависит от значения — и определяется при реше. о. от нии уравнения (рис. 5.29) о "Хопт Х „— 1 21П Хопт ~ В— где 302 т. е. с Увеличением Р и Уменьшением — значение Х,о,Убывает. оо оо При этом 'о !и— а гп, опт !их о !ив ~Л + !и х„, 1' 7,'-и,„ Вообще говоря, во всех случаях мипимизаппя выражения (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
