Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 36
Текст из файла (страница 36)
17), (4. 18) и (4. 19), приведем его к виду (4. 19) г)га:=~1 — ~ — ) ~ [Ус — ~ ~, или с учетом равенства (4. 18а) г игг р — =1— (4. 20) сока у с15т гма 2!9 получим следующее окончательное выражение для радиального ускорения аппарата: Уравнение (4.!5б) согласно равенству (4. 18б) будет о'К К вЂ” = — а— Для интегрирования уравнений (4. 20) и (4.21) необходимо выразить скорость аппарата в функции дуги траектории с учетом начальных и конечных условий.
Мгновенная скорость приращения энергии аппарата Ф' на единицу его массы (назовем ее удельной энергией) равна о 11г — = — а(г, ог нли Интегрируя последнее равенство, получаем К' ==- — а5+ Иго, 2 г так что ., коо и — а5+ — — —. 2 го Следовательно, 2а5+1/~ ~ 2р ~ о гог (4. 22) Полученное выражение можно упростить, имея в виду, что го=И+Но, «=Р+Н, где Р— радиус Луны (1,738 1Оз км); Н,иН вЂ” начальная (при 1=0) и текущая высоты аппарата над поверхностью Луны, причем Н)рг((1. Ограничиваясь в (4.22) членами 1-го порядка малости, имеем ~" = — 2а5+ ого-',-2А"л(Но Н) (4. 23) 220 2 ~го где Ф' = — — — — удельная энергия аппарата в момент вклюго чения тяги (С=-О). С другой стороны, текущее значение удельной энергии аппарата равно где йгн= — — ускорение силы тяжести на поверхности Луны.
772 Конечные условия вытекают из требования выполнения мягкой посадки при 5=5н (полная длина дуги траектории) Н„=О нли (Нн=Нв=сопз() где Н,— заданная высота; )гв = О. Что же касается величины 5„, то она может быть определена при На=О из выражения (4.23) по формуле 5„= 1г~о+ 2ял На 2а (4. 24) Для сферической модели Луны начальная скорость )гв больше скорости свободного падения. Поэтому нет необходимости в ,представлении зависимости Н=((5) в виде выражения, аналогичного (4.22) тп для )г'.
Достаточно ограничиться простым соотноше- и пнем Н=Нв(1 Я5в) Рнс. 4.!7. Траектория снижения с круювай орбиты спутннка Луны прн ус=о )" = 1г'(! — 515 ) (4. 25) После подстановки равенства (4. 25) в уравнения (4. 2С) и (4. 2!) имеем г втг н гент У гс52 туг, (! — 5(Хв) (4. 26а) (4. 26б) пх 1геа (! ~1 6 в) 221 удовлетворяющим начальным и конечным условиям. На рис. 4. 17 изображена типичная траектория спуска аппарата с крутовой промежуточной орбиты (Нв —— 15 км н )гав Гвс=бб). Эта траектория свидетельствует о справедливости упрощенного представления зависимости Н=)(5).
Здесь т'.н = гт Он — продольная дальность полета аппарата вдоль значение для Н в формулу находим поверхности Луны. Подставляя это (4. 23) с учетом равенства (4. 24), (4. 27) Двукратное интегрирование полученного уравнения при начальных условиях 5=0 и г=га дает 1 52 о5, (г 5з)п га) =' соя'та 2 Р Мо 2 — (1 — 5/5„) 1и (1 — 5/5„) + (4. 28) В момент посадки аппарата на поверхность Луны г=го 'Ча 5=5я и выражение (4. 28) приобретает вид 2 1 5я я'л 5я го [го — Но — 5„з)п у ) = — —, + сояауо " 2Р Раа саят то или я!и уа гя а + — 5я+ — = О. сояято ' саазала а вен ство зн ачение для 5„согл асио Подставляя в последнее р равенству (4. 24), после несложных преобразований находим следующее квадратное уравнение: аа 1 )г~ 1 а соаа )о — +З1ПУО~ +1~ — — я (1го+2ЯЛГта~' Х Рл 2Нон 1 з 4)го~мод о относительно ускорения а, а точнее перегрузки а/да.
(4. 29) 222 Эти уравнения нелинейны и получить их точное аналитическое решение ие удается. Для их линеаризации воспользуемся следующими допущениями. Поскольку 1'о~)г Фл Ча* производная я(г/с(5 близка к своему начальному значению на большей части траектории и, следовательно, она может быть г лг заменена в уравнении (4.26а) величиной †) или на основа1а5 о нии равенства (4. 18а) з)пуо.
Это означает, что в уравнении (4. 26а) можно принять соз у=сов ус. Кроме того, для начальных высот И =60 км изменение г составляет всего 3%. Поэтому в уравнении (4.26а) можно заменить г на г(. Перепишем это уравнение с учетом принятых допущений )с Фаг зл)' Я сояато Л5Я Мо(1 5/5к) Из уравнения следует, что когда ('е(У2КФ существует один положительный корень. Таким образом, неопре. деленность в определении величины ускорения а, обеспечиваю.
щего мягкую посадку, не возникает. На рис. 4.18 дано сравне. ние результатов точного численного и приближенного решений уравнения (4.29) для случая снижения аппарата с промежуточ. а о ° и ° ххх Рис 4. 18, Изменение перегрузки и дальности в зависимости от высоты круговое орбиты при снижении спутника Луны ной орбиты с начальной круговой скоростью. Приведенные графики свидетельствуют о хорошем совпадении результатов. Решение уравнения (4.26б) определяет дальность снижения и точку посадки на поверхности Луны.
После интегрирования этого уравнения, принимая К=Ко при 5=0, находим К=о' — = Ко(1 — 515к)"'~ ог где и=в мак Я Ф ~о или с учетом равенства (4. 25) .т на Ко(1 'с/ек)"' (4. 30) 223 нм оО ж гпо мо мр ро о р М я оу и им шинное ниеленное оешелие прирлименное аналишипееное решение приолинеенное посланное решение При интегрировании этого уравнения полагаем 11 =0 при 5=0 и г=сс. В результате получим г25 н с [(1 5]5 )н, аиНо 1+ о (4. 31) где лв —— — + 1.
паНо 2 )сз о Отсюда подстановкой Ко — — го(госозуо и 5=5н в соответствии с равенством (4.24) находим продольную дальность вдоль поверхности Луны до точки посадки: (4. 32) 2а ~. )тот+ П Но 1 'т го ( На рис. 4. 18 дано сравнение приближенного решения для дальности по уравнению (4.32) с точным решением уравнений сни- «и/сек пх у' гг — вп и бг п,п гп г и и и п,г п,опрп,в йп — ' ва ххх1 о р о ~ аналитическое решение численное решение Рис.
4. 1З. Изменение высоты, скорости н угла наклона траектории в за. /с висимости от времени =273 сек) при снижении с круговой орбиты (Не= 15 ки) 224 жения на вычислительной машине. Как видно из графиков, оба решения практически совпадают (47). Эту же цель сравнения преследуют графики на рис. 4.19, изображающие зависимости высоты, скорости и угла наклона траектории от времени для начальной высоты Оо=!8 км.
Время снижения не имеет существенного значения для управления движением аппарата, однако знание его бывает полезным, например при определении характеристической скорости. Из равенства (4. 25) следует ~'=-- — "' =~ еП-5)5.)", |й или откуда после интегрирования (при ~=0, 5=0) р2 гз 5=р г — —. 48, Так как в момент посадки на поверхность 1=1„5=5 .
Из полученного соотношения находим (4. 33) При снижении с промежуточных круговых орбит высотой )б— 20 км ошибка в определении времени по атой формуле составляет 2 — 2,5%. Для получения большей точности надо подобрать лучшее приближение для Н=~(5) чем то, которое было принято. Характеристическая скорость, необходимая для снижения аппарата, находится путем умножения ускорения, создаваемого тягой, на время полета, т.
е. Ь'„= а1„= а — ', 25, ~'а и после подстановки значения для 5к (4.24) ~ х=~ О+ В случае плоской модели Луны определение номинальной траектории удобно производить в прямоугольной системе координат Охуг с началом на поверхности Луны. Направим ось Ор вдоль местной вертикали, а ось Ох совместим с плоскостью, образованной местной вертикалью и вектором скорости. 8 5808 Уравнения движения аппарата в этой системе координат будут (рис. 4.20) х= а~1 где (4.34) х а = — а — = — асану.
х Рис. 4.20. Снижение аппарата при использовании плоской модели Луны Ускорение силы тяжести у, входящее в уравнение (4. ЗЗа), при. нимается постоянным, равным ян, Разделив первое ураннение на второе, получим (4.33) так иак (г =(хе+ у')н~. С помощью подстановки х=у/х нетрудно найти решение полученного урав- нении (4.36) где Обратим внимание, что с учетом решении (4. 36) можно представить (4.37) а„= — а — = — аз!пу, У (г у = хам (п(Схо)а= — х( '" — — с! с 2 2С (Уо + но) хо /У' 12)1гз )1=х 1+( —.'~ ~ =хсн!п(Схо), (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
