Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 3
Текст из файла (страница 3)
17) называется первой космической, или круговой скоростью. Следовательно, для полета по круговой орбите необходимо, чтобы космический аппарат имел начальную скорость, равную по величине первой космической и направленную строго горизонтально. 1 я='Ргали/т'=ч ~/ Р Эта величина скорости является постоянной для каждой планеты, ее значения для некоторых планет солнечной системы и Луны приведены в табл. 1.2. С учетом последней формулы равенство (!.
17) можно представить в виде / /7; /2 =1 я 1// =" я1// 1/ г 1/ /7+Н где Н вЂ” высота полета над поверхностью небесного тела. Таблица !.2 Небесное тело км/еек Земля Венера Марс Луна 11, гй !0,25 5,09 2,36 7,91 7,23 З,бб 1,67 Как видим, величина первой космической скорости уменьшается с увеличением высоты полета. Это объясняется тем, что поле тяготения становится слабее и требуется меньшая центробежная сила, чтобы уравновесить силу тяготения. При е= 1 получим параболу. На основании формул (1.8) и (1.9)' находим, что начальная скорость должна равняться второй космической скорости гг р / /!а (са=)п — ~// . =-.~/ 2,а -, г г (1. 18) которую также называют параболической скоростью, или скоростью освобождения, так как при достижении такой скорости космический аппарат преодолевает поле тяготения небесного тела.
Значения второй космической скорости на поверхности планет )гггн приведены в табл. !.2. Сравнивая выражение (1. 18) с формулой (1.!7), замечаем, что 1/ц= ЬТ2)гь Таким образом, если начальная скорость находится в пределах )/г<)/е<)/гг, то космический аппарат будет выполнять полет по зллиптической орбите. Условие )/с< )/ц является необходимым и достаточным, а условие )/1<)/е — только достаточ- При г=)с из формулы (1.17) получим первую космическую скорость для поверхности планеты: ным, так как полет по эллиптической орбите возможен и прн меньшей начальной скорости.
Чтобы убедиться в этом, представим выражение (1. 15) с учетом формулы (1, 17) в виде У=:~, )/ 2 —— Отсюда следует, что скорость в пернцентре орбиты больше первой космической скорости, а в апоцентре меньше первой космической. Следовательно, при выводе космического аппарата в апоцентр орбиты ему необходимо сообщить скорость, меньшую первой космической. Очевидно, что минимальная начальная скорость ( 1/с мм), обеспечивающая полет по эллиптической орбите вокруг небесного тела, потребуется в том случае, если аппарат выводится в точку апоцентра орбиты, которая касается своим перицентром поверхности небесного тела.
В этом случае — я е= —— гя+ Л Следовательно, для полета по эллиптической орбите вокруг небесного тела необходимо н достаточно выполнить условие )/~ )// ()' о( ~ и Г 2/г )/ го+ г (1. 19) Заметим, что для небесного тела, имеющего атмосферу (планета), при определении (/э„,м нужно в качестве /7 в условии (1. 19) принимать не радиус этого небесного тела, а радиус Я;, сферы, соответствующей границе эффективного торможения космического аппарата атмосферой.
Выполненный выше анализ уравнения (1.9) и выражения (1.!5) показывает, что в процессе полета космического аппарата по эллиптической орбите его высота над поверхностью небесного тела (расстоянне до центра тяготения) изменяется от минимального значения в перицентре до максимального в апоцентре, а скорость — от максимального в перицентре, до минимального в апоцентре. Это объясняется периодическим перераспределением энергии.
Если в перицентре космический аппарат имеет избыток кинетической энергии по сравнению с количеством энергии, необходимым для полета по круговой орбите, то по мере приближения к апоцентру этот избыток энергии переходит в соответствующее приращение потенциальной энергии. В апоцентре космический аппарат имеет кинетическую энергию, недостаточную для полета по круговой орбите на этой высоте, и начинает 5,.—.=па')7с! — е', период обращения будет па2 Т = ' — )/с! — е'. л, 1 Для перицентра орбиты (Ь=О) имеем ),,= — — г„У„, С учетом выражений (!.6), (1.9) и (1.15) для перицентра (0=0, 01 =0) находим Л,= — )/ра(! — е'). 1 2 (1. 20) Тогда 7' — 2п 2/ †. и На основании этой формулы получим Т2 ез 1 1 72 аЭ' Последнее равенство отражает третий закон орбитального движения. Согласно этому закону квадраты периодов обращения костлических аппиратов вокруг центра тяготения относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.
Из равенства (1.7) с помощью (!.9), (1.13) и (1.20) получим выражение для угловой скорости т=б= 0 поворота радиуса- вектора вокруг центра тяготения (угловой скорости обращения космического аппарата) и (1+ е соеа)2 ч= и е (! — е2)21 или с учетом формулы (1.17) имеем (1 + е сое Ь)2 а (1 — е2)м~ где )тм — первая космическая скорость при т=а. (1.
21) (1. 22) (1. 23) !7 снижаться. Его потенциальная энергия уменьшается, что приводит к соответствующему увеличению кинетической энергии. После того как космический аппарат придет в точку перицентра (совершит полный оборот вокруг небесного тела), этот процесс повторяется. Таким образом, движение по эллиптической орбите сопровождается периодическим перераспределением энергии, переходом части кинетической энергии в потенциальную, и наоборот. Полная энергия при этом (если не включается двигатель) остается неизменной.
Важной характеристикой эллиптической орбиты является период обращения — время полного оборота (витка) — космического аппарата вокруг небесного тела. Так как плошадь эллипса то = 1' 1а!а. (1. 24) Таким образом, большая полуось играет роль среднего радиуса круговой орбиты не только в геометрическом, но и в кинематическом смысле, поскольку движение точки с первой космической скоростью по круговой орбите с радиусом, равным большой полу. оси, характеризует среднее движение космического летательного аппарата по эллиптической орбите. Поэтому в ряде практических задач орбиту с малым эксцентриситетом рассматривают как круговую с постоянным радиусом г=а (или с постоянной высо.
той Н=а — Р). При этом считают, что космический аппарат движстся с постоянной скоростью (т= 1/1,. Подставляя формулу (1.24) в (1.23), получим (1 + е сов 9)2 т= то за (1 — ев) " (1. 25) Как видно из формулы (1.25), угловая скорость т является периодической функцией и изменяется в течение времени Т от максимального значения в перицентре (6=0) до минимального значения в апоцентре (д=п). Полученные выше формулы определяют основные параметры орбиты космического аппарата: расстояние от центра тяготения (высоту над поверхностью небесного тела), скорость полета и угловую скорость обращения, как функцию истинной аномалии.
Для того чтобы определить их изменение во времени, необходимо установить связь истинной аномалии 6 со временем Интегрируя равенство (1.25), где т=б, находим во Зв „(1 + е сов 9)2 (1 — е2)з! о (1. 26) где Ä— момент прохождения космического аппарата через перицентр. Для вычисления интеграла в полученном равенстве введем вспомогательный параметр 2)„который называется эксцентрической аномалией. Используя геометрические соотношения на рис. 1. 3, получим — !и — ' 9 В1П 9 2е 1 + Е 9е 2 !+сова )/ ! — е 2 (1. 27) Выражение для средней угловой скорости обращения тв=2п)Т после подстановки формул (1. 17) и (1.
21) примет вид После перехода в левой части уравнения (1.26) к новой переменной д, в соответствии с равенством (1.27) н интегрирования находим д„— е я(п две ра(à — !и) . Если обозначить (1.28) та(! гв) =бар, где д,р — средняя аномалия, то полученное равенство можно представить также в виде д,— ея!пд,=д,р, (1.29) Таким образом, выразить па раметры орбитального движения в виде явных функций времени в общем случае не удается и приходится пользоваться соотношениями (1. 27), (1. 28) и (1. 29), которые устанавливают связь истинной аномалии со временем через промежуточную величину Ь,. Поскольку в ряде задач желательно иметь хотя бы приближенные выражения параметров орбитального движения в виде явных функций времени, воспользуемся полученными в небесной механике разложениями этих параметров в ряды [15]: Рис.
!. 3. Геометрическое пред ставление эксаентрической ано малин Ь=Ь, +2ня!и Ь, + — нтя!и 29, + .. и г= а(! — е соя Ьер+еая1п29, '+...) (г=.(гм(1+2есоя9, +2еасоя29,р+...) и==то ~1+2е соя Ьср+ — е'соя 29, +...) 5 2 !9 В инженерной практике при выявлении общих закономерностей явления довольно часто точность представления величин в виде какой-либо функции с максимальной погрешностью в несколько процентов является вполне достаточной. Г1оэтому для орбит с эксцентриситетом порядка О,! можно ограничиться в разложении двумя первыми членами ряда. Гиперболическая орбита.
Как видно из сопоставления формул (!.11) и (1.18), пРи (го) )гтт эксцентРиситет оРбиты больше единицы и уравнение (1.9) соответствует гиперболе с фокусом в центре тяготения (рис. 1.4); которая является типовой орбитой космического аппарата, преодолевающего поле тяготения небес. ного тела. В случае гиперболической орбиты болыпая полуось аг, параметр и эксцентрнснтет орбиты связаны равенством Р=аг (е' — !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
