Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 27
Текст из файла (страница 27)
—,— з ) соа 0, (3. 69) Щт Вектор полной тяги 1' задан своими составляющими на оси Ох и Оу, т. е. Р е — '-Р 1'. (3. 66) или 71 1>,, не 0 — а(э+ 9)'-= а,+р.г, — — — ~ э1п0 — — ' з з~ ~3 с к 1< о9-,' 20(т+9); —.а,,+рг, —.; — —, сов 0, (3,70) г > где Рд де=в »> Рд ае=— »> найдем 9=0 Учитывая, что 9=9,-~-~'9ж, о выразим 9=9л-9,—:г. Г99 Полученные уравнения содержат четыре неизвестные функции времени о(~), 0(~), Ре(г) и Р~(~); поэтому найти их решение в общем случае движения корабля не представляется возможным. Применение того или иного метода наведения как раз н заключается в уменьшении числа неизвестных функций времени в уравнениях (3.
69). В данном случае будем предполагать, что требуемая скорость радиального сближения 9 корабля обеспечена и поэтому можно принять Ра =0(10). Это предположение означает, что курс встречи прн параллсльном сближении стабилизируется за счет регулирования угловой скорости линни визирования. Вообще говоря, для избежания жесткого столкновения корабля со станциеи необходимо предусмотреть регулирование радиальной скорости сближения в функции дальности. Считается, что такое регулирование должно осуществляться в непосредственной близости корабля от станции.
Угловое положение линии визирования по отношению к ее поло>кепи>о в начальный момент времени остается неизменным либо в инерциальной, либо в орбитальной системах координат. Равенство нулю угловой скорости линии визирования в ннерциальной системе координат определяет способ инерцнального параллельного сближения.
Рассмотрим этот способ более подробно. Положив После подстановки значений для д и 0 в уравнения (3. 69), счи- тая Рз =О, получаем 9 — о0'=!сг, ~ —,— — ) в!п(0 +Э вЂ” т7) — —, 1 1 на гс гк гк Полученная система уравнений может быть решена с помощью вычислительной машины. При этом решение первого уравнения определяет зависимость дальности от времени при сближении корабля со станцией вдоль линии визирования по инерции. Второе уравнение определяет величину тяги по нормали к линии визирования, необходимую для поддержания встречно-пересекаюшегося со станцией курса корабля. Для получения решений уравнений (3.
72) в конечном виде линеаризируем этн уравнения, полагая г, — гс=о в!и 0 — в!и 9 <с,' 1. 9 гс Тогда приближенно можно принять 1 1 ъг ! — — — ) в!п9=- с~ з з) 1,г, г, / 1 1 61сс ' З в!и 9 —, в!пз 9, ~ г' с 3 азсавзз г с ) с (3. 73) рг ( — — — ) сов 9.= — '- в!и 9 сов 0, —.= —. З,р .
На за с з з ) = з гс гк с г„г' з= з с УчитываЯ значение длЯ 0 и тз=!з/гсз, после подстановки пРибли- женных выражений (3.73) в уравнения (3.72) имеем 9 — тз [3 в!пз(9 — 9 — т!) — 1] 9=0, — Зтз(в!п(0з+Π— м!)сов(0+Π— й)) 0= — ' . (3. 74а) (3. 746) 169 /1 1 Рз од-,'-299=!кг,~ —,— —., ) сов(0з+Π— т~)+ — '.
(3,?!) ';) т Поскольку при инерциальпом параллельном сближении О==Ь=О, то дифференциальные уравнения относительного движения ко- рабля при данном способе наведения приобретают вид о+ —,, — рг, ~ —,— — 1в!п(0,+Π— т!)=О, г 1 Р, — рг,( — — — ~ сов(9 — 0 — т!)= —" . (3.?2) с~гз —,3 ~ м с к Йсследоваппя показывают, что результаты, полученные на основе линеаризированных и точных уравнеш)й, различаются менее чем на 5272, если начальная дальность меньше 45 кгя н врем;. сближения не больше одного орбитального периода (10).
Уран. нения (3.74) допускают аналитическое решение в виде рядов Действительно, подстановкой т=--Зо — ч| и заменой З! пг(Π— т|) =-. 1 — гол 2 (Оо — чг) 2 уравнение (3. 74а) приводится к известному уравнеци)о Матье = — (0,5 — 1,5 сов 22)о=О, 4)тг решение которого может быть записано так: Л-л. о(т)=ае — ': )' Сгле1 "— "-"' ) — ' л л + Е) — л~л) 2лг ) 2л Коэффициенты Сг„определяются из рекуррентных соотношений (0,5 — (2Н вЂ” )а)2] Сгл — 0,75 (Сгл „-1- С.л л) =.— 0 методом последовательных приближений.
После подстановки значений коэффициентов Сгл в уравнение (3.74а) и обратного перехода к действительному времени получаем следующие зависимости для дальности н скорости изменения дальности 0()) аа ОО,424 4 ' ЬЬ е — О,424о (3.75а) о(1)= — а(0,454та) — а )ео 4'4' — Ь(0,454тЬ, — Ь ) е — "' """, (3. 7561 где а, = -1.,'-0 3204соз(2()о — 2т) — О 4) — '0 0144соз(44)о — 4тг— — 0.62) + .
Ь, 1-),-0,3204 соз (2ОΠ— 2)т-'г О 40) )- О 0144соз (492 — 4)т-ц +0,62)+ . аг — 0,6406 з(п (2)о 2т) — 0,4) 0,0576 з(н (4го 4)т— — 0,62)+ . Ьг —. <),6406 2 1пг(20Π— 2т1+ 0,4) + 0,0 576;з)ц'44)о — 4)т +0,62)+ . 170 ! ! Рз 2оз — р,г ~ — — — ) соэ0=- — ', з з ) гс гк лз (3. 7б) Используя приведенную выше аппроксимацию, находим следую- щие выражения для линеаризированных уравнений: о — Ззе з!и 0з0=-0, (3.
77а) (3. 77б) Рз 2ев — Зъз э!и 0 соз 0 о==- — ' Временные зависимости для дальности и скорости изменения дальности можно получить из уравнения (3.77а), а нормальную тягу, необходимую для поддержания курса встречи, из уравнения (3.
77б), Уравнения (3. 77) являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, Полагая при !=О й=йз, гЗ=0,, решение первого уравнения получим в виде О -о с)з;:~+ е" з)!0~, 0 --00 (з з)з рг+ 0з с)з М, (3. 78) где рз — -Звз з1пз 0 В момент встречи 1=1„дальность равна нулю, т. е. 0!г„)= — рзсй(з1„+ аз з)!',з1„=0, (3. 79а) Здесь а, и Ь; (1=1, 2) -- постоянные, зависящие от начальных условий.
Точность результатов вычислений по формулам (3.?5) ока- зывается вполне приемлемой, если учитывать первые тригономет- рические члены рядов, определяющих коэффициенты аь аз, Ь, иЬз. Второе уравнение служит для нахождения значения потреб- ной нормальной тяги илп нормального ускорения. Проведение 'оцспкп, потребляемой при наведении энергии, связано с интегри- рованием нормального ускорения. Это делается подстановкой в уравнение (3. 74б) выражения для дальности (3.75а) и после- дующим интегрированием во времени. Орбитальное параллельное сближение характеризуется ра. венством пулю угловой скорости вращения линии визирования относительно местного горизонта (0=0).
Полагая в уравнении (3. 69) 0=0, а также Ре =О, получаел! следующие два уравнения; не Π— от -'; — — !зг ( —., — — ' з!и 0 = — О, гз з «( з з а скорость сближения будет Е (1,) = Еа(9 з)1 81, + Оа с)1 91„. (3.7961 Последнее выражение с помощью равенства (3. 79)' можно выра вить чеРез начальные значениЯ Дальности оа и скоРостп ее изменения оа по формуле (в~>'~ч' (3.
8(8 Подставляя значения для о и о согласно выражениям (3.781 уравясние (3.776), имеем 2(па891181-~-Е сЬВ1~ т — Зт~91п 0 сов В (О с)191+ ча, 1 Ра + — 9)1.',11) =- —. 9 ' ) т Данное уравнение определяет нормальное ускорение, требуемос для поддержания курса в текущий момент времени. Для прове- дения оценки потребляемой при наведении энергии проинтегри- руем это уравнение за время осуществления встречи: г Ва — '== '~расй81а+ — 9111Мк — 2~СВ— а з-. — — зьп Ва соз Оа [ЕВВ 911 Р1„+па с)1 '.;,1,.) -ч Зиа +'— 9)па,со Е,о,.
92 С учетом равенства (3. 79) и значения ра получаем — (оа 0 ) 2тоа саа Ва т а!а Ва а (3. 81) 172 Располагая уравнениями относительного движения корабля и их решениями для двух способов наведения, можно рассчитать потребные величины энергии и времени для выполнения встречи. Энергия, требуемая для встречи, выражается через полный импульс приращения относительной скорости корабля. Этот импульс включает в себя следующие составляющие: 1) импульс скорости ЛУь устанавливающий предписанную законом наведения скорость сближения корабля по линии визирования; 2) импульс скорости Л$'„ равный интегралу от ускорения силы тяги по нормали к линии визирования; 3) импульс скорости Л)/,, осуществляющий торможение корабля при подходе к станции. Кроме того, возможны дополнительные затраты энергии, связанные с несовершенством системы управления при отработке команд наведения.
Первая составляющая импульса скорости Л'г'1 здесь не учи. тывается. Вторая и третья составляющие вычисляются по формуле Л~' ==а~'г+Л~'з= ~ — Ф+!Е.~. о (3. 82) '— '=":".Н'-"' """)'1 Зпетт т Пз — — з(п0,~ аа ар Отсюда следует, что безразмерный импульс скорости —. яв. Юо ляется функцией отношения й~ ьо метров зависит время сближения.
(3. 79а) находим и угла 0м От этих же пара- Действительно, из равенства ! рт чз по откуда з я~ 1 т Зт Мазо Со На рис, 3.26 и 3.27 показаны графики импульсов скорости ЛУ~ и времени !„, требуемых для орбитального параллельного сближения, построенные в относительных безразмерных коорди. натах. Аналогичные графики для инерциального параллельного сближения, построенные по результатам решения уравнений !тз Предположение об идеальности системы управления исключает из рассмотрения дополнительные затраты энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
