Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эфемериды станции обычно известны заранее, тогда как из меняющиеся под действием управляющей тяги эфемериды орбиты корабля необходимо вычислять и уточнять в процессс маневра встречи. Последнее удобно осуществлять по отношению к орбите станппи измерением взаимного расположения станции и корабля. Прежде чем говорить о преобразовании результатов этого измерения для форэщрования вектора скорости корабля, необходимого для выполнения маневра, получим точные аналитические выражения, определяющие трехмерное относительное двюкеиие корабля в задаче встречи при заданном времени поле|а. Прп этом будем предполагать, что гравитационное поле планеты является центральным силовым полем. Действительно, в пропессе сближения расстояние между кораблем и станцией будет небольшим по сравнению с пх расстоянием до центра плапс|ы. Поэтому возмущающие силы, обусловленные непентральпостью силового поля, будут действовать па корабль и станцию почти одинаково.
1;ак станция, так и корабль считаются точечной массой, так что вопросы их ориентации, а следовательно, и управление орие|пацпей вектора тяги здесь пс рассматриваются. Наклонение плоскости орбиты корабля к плоскости орбиты станции 1 не превышает л/2. Орбиты с наклонением 1>л(2 здесь не рассматриваются, по- скол ку для таких орбит )см. И 3. 1) требуются нереализуемые в настоящее время приращения относительной скорости корабля. Бвсдем правую инерциальную систему координат ОХИ с началом в пеитре гравитационного притяжения планеты 1рпс 3.2!,а). Совместим координатную плоскость ХУ с плоскостью орбиты станции.
При этом ось ОХ совместим с положением станции в эпоху, под которой условимся понимать момент прохождения станцией восходящего узла орбиты. Заметим, что вектор кинетического момента станции в ее орбитальном движении совпадает с осью ОУ. 1!оложение плоскости орбиты корабля по отношению к орбите с1апгпп1 будем определять относительными углами наклонения 1 а) Ррс 3 вк а) В»алиное расположение орбит корабля и етапппп, а — аосходядтка узел орбиты корабля: Ве — аосходядтка ьзел орбяты к рябая о ео сительно стаеака б) Относительные координаты корабля Определим относительные сферические координаты корабля соотношения и и (ем, рис.
3. 21, б) г--гс 4-Л, (3. 29а) Х а=а,+ —, (3. 296) (3, 29 в) у' Ь= —, Гс где Х, У, 7- — линейные перемещения корабля относительно станции в текущий момент времени по сфере с радиусом, равным г,. Получим некоторые кинематические выражения для орбитального движения корабля в сферических координатах, полезные прп последующих выкладках. Из сферического треугольника ЛМ5 имеем сов и =сов 5 сов (а — 12), савв=сов исоа(а — 12)+в)пив1п(а — 5у) сов(. (3.30) !45 и долготой Ы восходящего узла 5. В момент прохождения кораблем восходящего узла 3 положение станции на орбите задается радиусом-вектором у,„и углом (долготой) а,л, отсчитываемым от оси ОХ. В дальнейшем условимся обозначения параметров, относящихся к станции, сопровождать индексом «с», значения параметров движения корабля или станции в моменты времени 1, или 1, в случае необходимости отличать соответствующими индексами т' или )5 Используя эти соотношения, находим 1я и =вес г 1я(а — й), и = агс 1ц [вес 11ц (а — о)), (3.
31) гпп Ь вЂ” — спп и спп (а — и) сов(= п1п и Ып(а — П) Так как по теореме синусов Мпп з!и и=- — ' п1п ! то после исключения з!пи и соби в соответствии с формулой (З.ЗО) из равенства (3.31) находим связь между широтой Ь, наклонением ! н долготой а корабля 1й б = 1а' 1 э 1п (а — г2 ), или Ь = —" = — агс 1ц [(ц(з1п (а — 2)). (3. 32) Решение рассматриваемой задачи встречи может быть получено при условии, что положение и скорость корабля относительно станции в эпоху и в любой последующий момент времени известны. Для этого необходимо представить дифференциальные уравнения движения корабля (2.!7) в относительных координатах (3. 29).
Введем функцию Лагранжа Е = Т вЂ” (Е Е= — т[гт+(гб)'+(г сааба) ) + — '' 2 г Записывая уравнения движения корабля в форме уравнений Лагранжа дб дŠ— —.— — =-О, Н дет д41 где д, н я, — обобщенные координаты и скорости, равные г, а, Ь и г, а, Ь, соответственно 0=1, 2, 3), 14б где Т= — т(г' — кинетическая энергия; 1 2 гпи (У= ††' — потенциальная энергия корабля, г Учитывая, что составляющие вектора скорости Г корабля в сферической системе координат г, а и Ь равны г, гб и г соз Ьа, имеем — (г2 В) + г'а2 21и В сов В = О, аг (3.
ЗЗб) — (гза сова В) =О. ас (3. ЗЗв) Решение полученной системы уравнений позволяет найти все необходимые кинематические соотношения для исследования движения корабля относительно станции. Из уравнения (3. 33в) непосредственно следует г' а соз2 В = К соз | = Кь (3.
34) Данное равенство выражает собой закон сохранения кинетиче- ского момента корабля в проекции его движения на плоскость орбиты станции. Поскольку действительное движение корабля происходит по орбите с наклонением В к орбите станции, то К~=Ксозс, где К вЂ” модуль полного вектора кинетического момента корабля, приходящийся на единицу его массы. Из выражения (3. 34) имеем а— К1 (3. 35) г2 со22 В что позволяет представить ас к1 ас В== а — = аа г2 са22 Ь аа — (гоВ)=-а — (г2В) = Н аа г2 соса В а'а2 (3. 36) Подставляя последнее равенство и равенство (3.35) в уравнение (3.33б), приведем его к виду а21~ В -) (и В =-О. Иа2 (3.37) Решение этого уравнения будет (п В=-А 21п(а-) а„), где Л и а, — постоянные, определяемые из начальных условий.
Сопоставляя данное решение с выражением (3.32), находим А = — 1дю' аа= — ВВ. 147 после выполнения операций дифференцирования по дг и д, получаем г — г(В2 — 'ассоз2В)+ 1' =О, (3.33а) г2 что позволяет переписать уравнение (3.38а) в виде иег — +) — — =О, ее и К2 где ! у= г Решение данного уравнения будет (3. 39) И==в яи не (! + е сое (и — и))с что после интегрирования дает уравнение времени для эллипти- ческих (е( 1) ГРе С г,-- г =- Р ! + е сои(и — и) где р=- — — фокальный параметр; Ке и ю — аргумент перигея орбиты корабля.
Полученный результат следовало ожидать, так как он показывает, что траектория движения корабля представляет собой коническое сечение. Располагая решением системы уравнений (3. 33), можно выразить время, необходимое для осуществления встречи, координаты местоположения корабля и его скорость относительно станции в функции элементов орбит и параметров их движения. Из равенства (3, 386) с учетом соотношения (3.
39)' находим е — ее!и!и — и) 2 ( гг! — е и — е + .: агс1д(!г — 1д : — (+ -е-.) ~'-'"' (1' '+ г.)! ' е (3. 40а) параболических (е=1) и ! — г„- ~Г'— 1д — ' ) 11-': — 1де — ) ! (3.40б) 2 ( 3 2 ир и гиперболических (е>1) орбит ег Ре ,Х ~Г е и =- агс (н + гз, 1я и еес 1 на основании равенства (3. 29б) имеем х (я и — =агс(п — +м' — а„ гс еес г (3. 41а) где(, 11 и а, — - также считаются известными. Выражение для у(гс находится по формуле (3.32), которая при- обретает теперь вид — =агс1п1(н)зн1 ( агс1п — )~ . и, ( .. ( (ни 1 гс еес с (3. 41б) Наконец, последняя относительная координата корабля л опре- деляется из соотношения (3.29а) с учетом выражения (3.39) з=г — Г Р с — г, с.
1+ е сос(и — и) (3. 41в) Найдем теперь скорости изменения относительных координат — — и . Продифференцируем соотношение (3.29б) по вре- мени х х а=а,+ — — —,г,. гс гс Отсюда х, х — =-.а — а 1- —,г„ с гс или с учетом равенства (3. 35) и соотношения (3. 29в) К го«1, х — ас — — ог . с. у г, ге гасов гс (3. 42) Гс Лля определения у(г, продифференцируем выражение (3.32) соо а,— , '— — П а,+ — — —,, г, (я 1 — — — г —— у у с г' х 1 + (ие с »1оо ( а -1- — — и ~ гс 150 Здесь индекс «О» относится к значениям переменных в эпоху, причем р, К, е, о~ и ио предполагаются известными. Выражения (3.40) позволяют найти прн заданном временном интервале à — Го относительный аргумент широты и.
Тогда, вычисляя по формуле (3. 3!) С учетом решения уравнения (3. 37) н выражения (3. 29в) находим — = а,+ — — —,г, 1я(созе — сов[а,+ — — ы )- — г,, (3.43) ,' ! г, г, г, Аналогично, дифференцируя выражение (3. 41), получаем Ре с1п (и --сс) и 11 — е соя(и — - ы)з) и, так как согласно равенствам (3.38б) и (3,39) и = Крз [1 ->- е соз (и — ы)[з, то окончательно еК а== — з!и (и — ы) — г,, Р (3. 44) (г,+в)з)п [ — -')-а„.) сов=" — г,з)пас=1созсрз1>>ыг, (3.45б) (г, э е)з1п — =ез(па.
гг гс (3. 43п) Хотя ото кт г ~г Г> пргнгзвг|дг~тсгг в спстеме коорд~гггат. отличной ог снсгены, прннятой в гл 1, буден условно называть нх злесгентаин орбпты корабля. 1б1 Таким образом, зная элементы * орбиты корабля по отношению к орбите станции, с помощью формул (3. 41) можно определить сферические координаты относительного движения, а по форму- мулам (3. 42), (3. 43), (3. 44) — скорости их изменения. Однако элементы орбиты корабля в большинстве случаев сами подлежат определению, поэтому относительные координаты ' х у >г.г и поло>кения 1г —, ~ из) и составляющие скорости ~ — ° — и =- сге гс должны вычисляться по результатам измерений относительного движения корабля и станции.
Покажем, что в случае, когда эфемериды станции считаются известными, для нахождения указанных координат достаточно данных измерения трех величин: дальности 1 между кораблем и станцией, угла азимута >)> и угла места гр (рис. 3.22). Измерение этих величин производится в системе координат Кхуг с началом в центре масс корабля и с осями, параллельными осям системы ОХИ. Угол азимута >1 отсчитывается от точки пересечения осью х плоскости, проходящей через ось Кг, и положение станции на орбите в рассматриваемый момент времени 1,.
Проекции вектора дальности на оси системы Кхун можно представить в виде Г к Х х (ге+ ') соз [ — +а, ) соя — — ге сова,=-1созгу созыг, (3, 4оп) г, где соответствующий квадрант определяется по знаку числителя и знаменателя. Рис. 3. 22. К определению координат корабля по реаультаталс иаыереаий Из последнего уравнения (3.45в) непосредственно следует р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
