Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1ыпт — =-агс з)п — ' гс 'с+ (3. 4>) где и Совместное решение уравнений (3.45а) и (3. 45в) определяет 1> Оа т СОП ' — ' >'. Епа Пс 2 с (аз!пою -; х ~ — гс (3.48) ~/ + пс ) ,>с Теперь найдем составляющие скорости сферических координат, используя данные измерения взаимного расположения корабля и станции.
Для этого продифференцируем каждое из уравнений (3. 45) по времени. Так, дифференцируя уравнение (3. 45а) (Г, — =.1 СОЗ ) — +О, ) СОЗ вЂ” — Г, СОЗ О, —;-Г, З>ц ОсЦ,— (,гс гс — (ге+а) з!и (Х вЂ” +о, ) соз а ) — — —. г,+и,.)— Из алгебраических уравнений (3.45а) ц (3.456) находим х 1соп тяп> (> -'; гс 'п а (3, 46) г, 1еоа Ч соп ' -- г, соа ис у /у и — (г ~ =)сос ~ — -«с!в)п —.[ — — —., Г,4-«с == ==! сос у сов с) — ! в)п сс сов ус~ — ! сос у в!п си), представим полученное выражение в виде ац — - — 'а,.— +а„т=!Гп х, у Гс где ац--- — (г,—,а)глп ~ — —,«,) савв гс, гс ам:= — !г,+=-) соч ~ — -'«с ! гбп —. х, 1 . у гс гс а, =--сос ) — ' и,~~ сов— Ь, lсовясов 6 — фвп1сгсовс) — фсов~рв)но†х Гс —, ! У х ! .
и — г,~сов ! — +«с ~ сос — --'. " ' ~=сов ~ — ' 4-«, ~ в)п — '+ ! г ~ гс Гс ! Гс ~с Гс Гс х . ~ .с с „у ! — — в)п ~ — '+«,) сов — ~ — сов«, —,'- г„! с! 4-«, ~!Гс с:) в)п ! — — , '«, ~ сов — ' — г, вш«,.~ . ~,гс г. !1; ап а„ ам ав1 а . а,з. ! ! а„ а„ ам/ !3. 49) где а„-=(г„--=) сов ~ — — «,~! сов — ' х ! у х т . у а„=. — !г,-'— а! в1п !' — — и, ! в)ив с с а, .—.. гбп ~ — —.-«) сос —. х, с у з —. с) гс Гс ав, О; Аналогично продифференцируем уравнения (3.
45б) и (3.45в). Окончательный результат представим в матричной форме Я„=-(Г,+з) соз —, авв =551 —" 5 Гс Ья==)сояугпп з — У(япгмпо — о1соя осоя )— — г, (51п ( — +ас ) соя =+ — ' ~ — яйг ~ — — ,'-а,.~) 51п —. — — соя ~ — -)-а,)~ соя —. ~ — яш а,)— х, 4 У вЂ” о, ~(г, + г) соя ( — + ас ) соя — — г, соя а,1; с Г. 55 — —.с я)п у+зсс соя о-1-г, ( — — яш ~гсЧ«У . У~ г с ) = )I (Г, + «)5+ гв — 2 (г, + «) г, соя Г'СОК, или так как соя г'СОК=соя — соя —" « Гс — (г, + =)'+ г'; — 2(г, + ) г, соя — соя —" . (3.
50) гс гс Зная (, из уравнения (3,45в) имеем (г, + «) 51п — 1 о=с агс я)п 1 (3.51) где я а ,(у < 2 2 Выражение для определения ср прн известных ( и го можно полу- чить из уравнений (3. 45а) и (3. 45б) +Ос) ГО5 Гс 5!П О «с Гс (гс + «) Мо г=агс Ф (г, + «) сов (3, 52) — +о,) сов — — гс сов ос Гс 1о4 Таким образом, располагая данными измерения: дальность от корабля до станции, углы азимута и места корабля по отношению к станции, можно вычислить значение относительных координат положения н составляющих скорости.
Можно и наоборот, выразить данные измерений (, ф, ср как функции указанных сферических координат и составляющих скорости. Из треугольников СОК (см. рис, 3, 22) находим где С, -=гс (сов ( — +а, ) сов — + [ — сов ~ — -,-ас ! в!ив -- — в|и ~в — -|-а ~) сов= ~-сова с) с' Гс 'с Гс — -а, ! Гс в(и а, — (г,-! ) в|и ~ — ', а,~ сов — 1— Гс — — (Г', Л-З) В|п ~( — +ас ) СОВ— Гс хс — — (гс |-х) сов ( — —,ас ) ° в|и —.—, сов ~ — +а,) сов —, хс Гс Гс Гс С,=.г, )ви1 ( — —, ,а, ) соя —.+ — '~- — в|п ( — -;а, ) в|и —— ,' х, » у гс+гГУ . с х, т у Г» Гс .
Гс Гс Гс — — сов ( — ' а, ) соя — 1 — вша,~+ Гс +а, ~(гс —, ) соя ( — -Г-а,) сов — — гс сова,.~+ Гс Гс + — '(г,+х) сов ( — -|-а,~ соя = х х 1 у Гс Гс Гс — — (г, д-х) в|п ( — -' ас | вш — г в(п ' — —,а,( сов —, гс г, ~ г, — — (г, — х) соя — и- х в|ив у ~ у ~ у г, гс гс Переписывая результаты дифференцирования уравнения (3. 45) относительно (, ср п ср, найдем сов ссов 6 — lсов уя|и ) — Гви1 усов о' (3. 33) = Ся 'р Ся Рассмотрим теперь определение элементов орбиты корабля по данным измерения в некоторый фиксированный момент времени Г; в случае, когда известны значения относительных координат и составляющих скорости корабля.
Заметим, что угол наклонения ! плоскости орбиты корабля к плоскости орбиты совув|п ', в|п с» С -=г, (в|и —.— ' ' — сов — |+ Гс+Х У У Гс Гс Гс ° ! сов»усов Ь вЂ” !я|и»с я|и ч» О Гсов»у станции не превышает п12, позтому значение (д1 будет либо равно нулю, либо положительно. Возвращаясь к выражению (3.
32), перепишем его для момента времени 1, следующим образом: (дЬ;==(п((зь а, сов Ь2 — сова,з(пм). после дифференцирования по времени (ьс=сопз() имеем Ь, = — (дс(сова; соз с2+з(на, зш о). пс СО22 Ь,. Умножая первое равенство на соз аь а второе на яп а; н вычитая затем из второго равенства первое, получим (а'1з(псо=- — (дЬ; сова;+." ' а; сов2 со Аналогично, умножая первое равенство на з1п аь второе на соз ас и складывая затем левые и правые части обоих равенств, находим (о(сох <1 =-(р Ь, з!па; Ф и; со22 Ь; Отсюда после очевидных преобразований получаем следующие формулы; Ь) =асс(п1У 2 ' +(пзо а2 соь4 Ь; (3. 54) ОС 2|П аС вЂ” и!и Ь! Гоп а2 о — -агс (й, Ь2 СОпа2 +МпЬ2 Мпо; а; (3.55) О а; соса ьс 2' "2 К=— соь 1 Это позволяет сразу же определить фокальный параметр орбиты где р — предполагается известным.
для определения относительного наклонения и долготы восходящего узла орбиты корабля. Соответствующий квадрант при вычислении ьс определяется по знаку числителя и знаменателя. Зная угол наклонения 1, из формулы (3.34) находим кинетический момент корабля Из выражений (3. 39) и (3.44) находим для момента времени е сов(и,— )=. ( — — 1) (, г; еза~ (и, — ы) -=г,. Г р откуда езьвп . — — 1) зш и,— г, — сози,, е сов =- ~( — — 1) соз и,—,-г, — з!пи,. Г, и Вычисление е н ы производится так же, как в предыдущем случае. Значение и; находится по формуле (3,31), После определения элементов орбиты корабля можно найти значения относительных координат и составляющие скорости для более позднего (или более раннего) момента времени.
Действительно, обозначим через 1г момент времени, для которого необходимо определить указанные координаты и составляющие скорости. Поскольку последние известны в момент времени ~ь то согласно уравнениям (3.40) имеем рп 1 е мп ги — и) (у — 1, = 1 — еп 1+ е сох(и — ю1 и. и — п=р/ — '!к', (~~- — ~е', )~. и. где Значения параметров, входящих в эти уравнения, кроме иь из. вестны. Поэтому, решая одно из этих уравнений (в зависимости )з7 1н — "" = (н / з! и (аΠ— Я) —. 1д / гйп ( —" — ст ~ Гсс С "сО (3.56) для начального /О и О=-1ц/з!п(а,,— Я) (3.
57) для конечного /„ момента времени. Здесь / и О) неизвестные пока элементы орбиты встречи. Из равенства (3. 57) имеем Я=а, „— (2и — с1)п, где и — положительное целое число, которое выбирается нз условия О (и„— 2лп (2п, (1 С учетом найденного значения для (з п того обстоятельства, что / =и/2, из равенства (3.56)' найдем Ои 9О 1и/ О. 1 «О О!О ~ — а, с + (2Л вЂ” Щ П ~ гсО (3.
53) Данное неравенство позволяет определить, в каких случаях с1 =О и в каких т)=1. 188 от величины эксцентриситета е), например методом последовательных приближений относительно иь можно найти х,'г, Затем по формулам (3.32) и (3.41)' определяем у,/г,; и ап а по формулам (3.42), (3.43) и (3.44) — составляющие скоростей т,/гс „ у/г,; н х', в момент времени /ь Таким образом, знание относи. тельных координат корабля в некоторый момент времени позволяет найти значения координат и составляющих скорости для более позднего (или более раннего) момента времени.
Рассмотрим теперь определение элементов орбиты встречи корабля со станцией. Будем предполагать, что встреча осущест. вляется приложением к кораблю двух импульсов тяги. Пусть первый импульс прикладывается в момент времени /О, соответствующий положению станции в эпоху. Значения относи1сльпых координат и составляющих скоростей в этот момент будем называть начальнььии. Конечные значения указанных координат и скоростей, соответствующих моменту приложения к кораблю второго импульса, принимаются нулевыми. Это допущение позволяет представить выражение (3. 32) в виде Действительно, к! следует положить нулю, если это не нарушает неравенства (3.58) и принять равным единице, если окажется, что 1я — ' яо ксо <" О.
Г.с, к!п ~ — '-- ас.к+ 2ея~ Физически значения к!=0 и т(=-! соответствуют в указанном порядке встрече корабля со станцией в восходшцем и нисходящем узлах орбиты. Попутно обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. Выражение (3. 58) становится неопределенным при хо — ' — а ==та, с.к ксо Легко видеть, что случаи, когда т=О или представляет собой четное целое число, соответствует прямолинейной траектории относительного движения (по радиусу в плоскости ху). Случай, когда т нечетное целое число, соответствует многовитковой траектории встречи с центральным углом тп рад. Второй случай, как более реальный, достаточно подробно рассматривается ниже.
Пока же будем считать, что условие (3. 58) пе выполняется. Учитывая, что в момент встречи Як =О, ук=О и, следокскс вательно, (=О, после подстановки выражения для 11 в равенство (3. 31) находим ик = — (2а — к!) и. Значение аргумента широты в эпоху определяется подстановкой в равенство (3. 31) соответствующих значений параметров в эпоху и,=агс 1ц ~зес)!ц~ —" — а, к + (2п — Ч)я1), с ксо где !' вычисляется по формуле (3.58). С учетом значений для ио и и„уравнения времени (3,55) перепишутся в виде (для сокращения записи приводятся только уравнения для эллиптической орбиты) ,з ~к ~0 1 ~ е,ып(и — с„) + 1ке 1 — е,~ 1 + е, сок(и — ск„) ск(~с' '~к к )1 (К.к91 к к, В данном уравнении левая часть известна, тогда как правая содержит неопределенные пока элементы орбиты встречи е„сок 159 и К„. Для нахождения этих параметров обратимся к уравнении| траектории встречи, которое имеет вид, аналогичный уравнении! (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
