Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для функционирования системы требуется сохранение в определенных пределах «геометрии> системы, что относится к вопросам динамики и рассматривается в следующем разделе. 4.3. ДИНАМИКА ОРБИТАЛЬНЫХ СИСТЕМ В процессе функционирования орбитальной системы относительное положение аппаратов будет зависеть от параметров орбит, начальных условий и действующих сил. Выбор орбит системы определяется многими факторами, но при этом всегда одним из основных является фактор создания устойчивости в процессе функционирования системы. Согласованное функционирование нескольких космических аппаратов определенного назначения осуществляется в их совместном полете. Два и более аппарата в процессе согласованного функционирования представляют динамическую систему, создание и управление которой является более сложной задачей, чем выведение одиночного аппарата и управление его функционированием.
Среди проблем и методов, традиционных при анализе динамики движения одиночного аппарата, здесь появляется ряд дополнительных проблем, связанных с созданием орбитального комплекса, анализом устойчивости орбитальной системы под действием возмущающих сил и вследствие отклонений в начальных параметрах движения, синтезом алгоритмов управления при создании определенной геометрии системы. С точки зрения традиционно общих методов исследования относительного движения аппаратов, как для задач сближения на орбите, так и для исследования вышеуказанных задач ниже при рассмотрении динамических вопросов относительного движения не делается различие между этими задачами.
172 Уравнения относительного движения на околокруго- вых орбитах во вращающейся системе координат х=(7; у=(у'у, .2ом(т'„ (4.27) где правые части — частные производные от потенциала (7 ~/Як+ Ук+ 2' по соответствующим координатам. Запишем уравнения перехода между системами хух и х,у121 х= х, созв( — у,з(пв(; У =х,5!пв7+ Уусозв7; (4.28) Последовательное дифференцирование (4.28) по приводит к следующим соотношениям: х= х, созв( — у15)пвг — 2в(х,з)пв(+ + Уу СО5В1) — Оу (Ху СООВ1 — Уу 5!П Вг); у=х,з(пв1+ у,созв7 — 2в(х,созвг— — уу 5!П Оуг) — Оу (Ху 51П в1 — у1 С05 вг), времени 2 = 21.
173 Введем системы координат (рис. 4.13); ху2 — геоцентрическая неподвижная, плоскость ХСу которой совпадает с орбитальной плоскостью невозмущенной круговой орбиты; ~г х,у,2, — геоцентрическая, вращающаяся с постоянной 9 угловой скоростью в, ось у~ которой связана с аппара- 1 том в его невозмущенном движении, а ось х~ направлена в сторону, противоположную направлению движе- огб ния; $71~ — система координат, к начало которой связано с аппаратом, а направление осей совпадает с вращающейся геоцентрической системой координат рко. 4,1з, система координат: Уравнения движения в не.
т — ковозмумеккоя круговая орбита; подвижной геоцентрической системе координат для случая движения в центральном поле силы тяготения записываются в виде Умножая последовательно первые два уравнения соответственно на сов вГ и з1п в1, а затем на — з1пв1 и сов в7 и складывая, с учетом (4.27) получим следующую систему дифференциальных уравнений во вращающейся геоцентрической системе координат х1у,г1.. хз — 2ву, — вз хз = (7„соз вз+ (7„21п вг, уз + 2вх,— в' у, = — К з(п во+ (7„сов во, (429) гз=()о. Правые части (4.29), как это следует из уравнений перехода между системами (4.28), тождественно равны частным производным потенциала 21+ 2в$ — во (1+ 21) = — —" (1+ о)); го Р го гз гз (зоо+ (1+ „1)24 гоз)з!2 (4.32) Проведем линеаризацию правых частей (4.32), считая отклонения от круговой орбиты при возмущенном движении малыми. Функция з з о (зо+ (1+ )2+ьоо) 2 (1+ 2 + бо) 2 Где б2 = $2+ 11'+ ~2 174 (7 Р ~'" +г,+.*, по соответствующим координатам вращающейся системы х,у,г1.
На основании этого уравнения движения записываются в виде х, — 2вуз — во х, = (7„1; у+ 2в х, — во у, = (7„1; ~21 Чтобы рассматривать отклонение от кругового движения, определим координаты $21~ (см. рис. 4.13) соотношениями хз = го й' Уз = 'о (1+ з))' гз = го Ь (4.31) Замена (4.31) в системе (4.30) приводит к следующей си- стеме дифференциальных уравнений: $ — 2ои) — в $= — — 5; о Р lо азлагается в ряд ,з 3 Ч+ 6 Чо ' (5о+ Чо+ ~о) 1..„(4.33) Сохраняя в (4.33) и после подстановки в правые части (4.32) только линейные члены, получим, систему линейных дифференциальных уравнений относительного движения на около- круговой орбите во вращающейся системе координат. При наличии возмущающих ускорений их проекции на оси вращающейся системы координат входят в правые части системы: $ — 2вЧ=а1, т) + 2 в$ — 3 во Ч = а„; (4.34) ь+ во ь = ао . Получим решение однородной системы (4.34).
Из первого уравнения слсдуст первый интеграл системы з — 2вт)=С,, (4.35) после подстановки которого во второе уравнение (4.34), получим Ч+ в'т1 = — 2вС,. Этому уравнению удовлетворяет решение т) = — — + Ь соз (в 1+ тро). зс в 1 Последний интеграл найдем, проведя подстановку (4.36) в (4.35), $ = — 3 С, (+ 2 Ь з1п (в (+ ~ро) + Со (4.37) и, дифференцируя (4.37), получим $ =- — 3 С + 2 Ь в соз (в 1+ ~ро).
(4.38) Произвольные постоянные Сь Ст, Ь, тро найдем из начальных условий 1=0; $=$о $=$о' Ч=Чо Ч=Чо которые связаны с постоянными в уравнениях (4.35 — 4.38) алгебраической системой уравнений 2 Ст Чо = + Ь соз <Ро; Чо Ьв гбп ЧРо' С, = $,— 2вЧ,; С,=$о — 2Ьз1п что.
1тв Окончательно решение системы (4.34) имеет вид $ (1) = сео (1)+ 2 (! з!и (в!+ фо); Ч (1) =- Ч„+ 6 соз (в 1+ тР0); ь (1) = ьо сон в1+ — ' з1п в1; ьо 500() — но+ в + 2 ЧОО 2чо 3 т)оо 4 Чо — 2— но (4.39) з(п 0р = — —; Чо !Ров ! СС1З 'Ро = (Чо Чоо). Как видно из системы дифференциальных уравнений (4.34) и ее решения (4.39), движение разделяется на движение в плоскости невозмущенной орбиты и движение по нормали к этой плоскости. Движение по нормали к плоскости орбиты ь (1) = ьо соз в 1+ —" з(п в1 (4.40) представляет собой гармонические колебания вдоль оси ь с периодом, равным периоду круговой орбиты, с амплитудой (4.41) и фазой <ро = агс1а —. 1ов Ьо Движение в плоскости более сложное, но также допускает достаточно простую физическую интерпретацию: первые два уравнения (4.39) представляют собой параметрическое описание эллипса с координатами центра $00(1) и Чоо, большой полуосью 2Ь и малой полуосью 6 (рис.
4.14). Период движения точ- М "тоо Рис. 4.14. Относительное днижение н плоскости орбиты 176 1 (1) = — ' з) и ы 1. ~о Траектория относительного движения лежит в плоскости По~ (см. рис. 4.13) и представляет собой гармонические колебания с периодом, равным периоду круговой орбиты, и с амплитудой а= 'г' ©в)~. Объект перемещается от плоскости орбиты иа расстояние а, а затем возвращается в эту плоскость через ин- тервал времени, равный половине периода. 2. Начальный импульс прикладывается в вертикальном на- правлении.
В этом случае, как это следует из решения (4.39), т1ю~=О и центр эллипса (см. рис. 4.14) не перемещается вдоль оси $. Параметрические уравнения эллипса представляются в виде 5 (1) = ~' + 2 Р (П,(а)' з1п (ы(+ р,); т) (1) = )'г(Ч,!ы) ' (ы 1+ Ч,), где фазы соответственно равны з при Чо ) О Фо = — и' (4.42) при и (О, ч,> — —— 177 по этому эллипсу равен периоду обращения по опорной кйуговой орбите. Центр эллипса движется с постоянной горизонтальной скоростью, пропорциональной Паз — высоте центра эллипса наД осью $. Если высота ~)чо Равна нУлю, то это значит, что период обращения равен периоду опорной орбиты и центр эллипса неподвижен по отношению к началу координат.
При г)во~О центр эллипса уходит по оси з со скоростью 3 — ыт) . Угловое положение точки на эллипсе для произвольоо. ного момента времени равно т ='ро+ ы(. Рассмотрим частные случаи относительного движения. Эти частные случаи рассматривают движение при отклонениях по начальным составляющим скорости. С точки зрения прикладных задач их краткий анализ применим при изучении движения отделяемых от космического аппарата объектов, динамики относительного движения при обслуживании и инспектировании аппаратов, методов сближения и совместного движения в определенной геометрической конфигурации.
1. Начальный импульс прикладывается по нормали к плоскости орбиты. Движение в соответствии с (4.40) описывается уравнением а центр эллипса находится на расстоянии $оо=2т1о/оз (рис. 4.15). Объект в своем относительном движении удаляется от начала координат на расстояние 2Ь по оси 5, ь= ® т — ""+2 $тт ~ Ч' ) з)п(от(-1-~йо) )~(Ъ) "("'+ ) 1 0 0 0 соз а, з(п ао — з(п от( ьо 0 — з(п а соз а, которое для условия т)о)0 и ~ро= — и принимает вид 3 2 о 2 ~у~ ( о ) созсл11 М'(:".)' " $, 1 0 0 сова, з(п а, т)т ьо 5!п М 0 — 51П ао СОЗ ао ~/ ъ)т Рис. 4пв.
Относительное движение при отклонении скорости в радиальном направлении 1тв и через период возвращается снова. 3. Импульс (нли отклонение) скорости имеет составляющие по нормали к плоскости и в вертикальном направлении. Этот случай представляет собой комбинацию первых двух. Запишем уравнения движения в системе координат $~~Дь повеРнУтой относительно оси З системы ~т1~ на Угол ао. Тогда в новых координатах уравнение движения можно представить матричным соотношением Из условия движения в плоскости ~,отп l(ч Ь,= — ЫПао ~7 1 — а) + — о СОЗа„,=О и получим величину угла поворота а„ = агс1п Записывая уравнение движения в системе $~71~~~ ьв= '" ~ ~/( — ')'....~, р'(-.)' - -" 1д(1) =О, можно видеть, что движение происходит по эллипсу, наклоненному к орбитальной плоскости невозмущенного движения на угол ам отношение полуосей эллипса уже не равняется 2, но центр эллипса так же, как и в случае 2, не перемещается по оси $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
