Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Уравнения относительного движения на околокруговых орбитах в цилиндрической системе координат = — — г+ М7; Ни Р„с1 ж г а (4 43) — = (7, Л 179 Начало координат находится в центре Земли (рис. 4.16), опорная плоскость, перпендикулярная Сг, совпадает с плоскостью невозмущенной круговой орбиты, а С(1 — инерциальное базисное направление, от которого отсчитывается угловая координата и. Возмущенное движение определяется координатами г, и, з, которые можно получить из решения системы дифференциальных уравнений: л~'г и г и — = — — + — +5; а1 г' — " +Т.
Н1 г Рис. 4.16 Цилиндрическая система координат: 7) ! — невоамушенная круговая орбита; у — воамунеенная орбита / лг;,. ргг мо ~ го+ Д~ г г = го + дг; У„=У„,+ДУ„, и=и,+Ди; У,=У„+ ДУ„г=г,+Дг, вторые члены которых получаются из решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений (4.43) г4ДУ " гУ Уя = — Дг+ " Д(' — — Дг+ З; ж гв г гв "= — — "ДУ вЂ” — "ДУг+ ™ Д +Т; (4.44) ж г г гв на1я Р * = — — дг+ йг"; оу га баг еИи ЬУ„У„г4ая — = ДУ„; — =- " — —" Дг; — = ДУ,. Ш "' Ж г гя ' ж Для случая круговой опорной орбиты уравнения (4.44) упрощаются: ма Уг " = соя дг + 2сод(г + 5. ж аЬУя = — содУг+ Т; аИ АИ/е тонг+ ф'.
сЫ ног иди 01г„оу гИг — — = —" — — Дг; — = Д1г, го го где оу — угловая скорость движения по круговой орбите. 180 (4.45) где 5, Т, нг — составляющие ускорений по радиусу-вектору„ трансверсали н нормали к плоскости орбиты от нецентральности гравитационного поля, сопротивления атмосферы, возмущений Луны, Солнца или других возмущающих факторов. При анализе динамики относительного движения используется линейная теория возмущенного движения.
В этом случае параметры возмущенного движения представляются в виде сумм Найдем решение однородной системы (4.45). Из второго уравнения системы следует первый интеграл (4.46) д1г„= — вдг+ С„ ~Р Ьг — + оР Дг = 2вС, М с решением Дг=С, яиц+С, созв(+— 2Ст (4.47) Подставляя (4.46 и 4.47) в пятое уравнение системы (4.45) и интегрируя, получим полное решение системы.
После определения произвольных постоянных через начальные условия 1= О; Дг = Дга, Д)г„= Д)г,в Ди = Див Д)г„= Д)г„в да= дав д)гх = ~йтО* запишем решение однородной системы дифференциальных уравнений (4.45) в конечном виде Дг Дг, А, О О А, Д)г, Д1 в 2 — соз в1 — яп в( Π— (1 — соз в1) ! 2 вз1пв( созв1 О 2зшв1 2 з1п в( — Зв1 — (соз в( — 1) 1 — (4япв1 — Зв1) 2 1 в (соз в1 — 1) — з|п в( О 2 сов в1 — 1 А,= (4.48) соз в( — япв( 1 — ВЗ1ПВ( СОЗВ1 который после подстановки в первое уравнение приводит к дифференциальному уравнению второго порядка относительно Дг: Если возмущающие ускорения в (4.45) постоянны 5=5о, Т=То, ]от= ]]Уо, то влияние этих ускорений представляется сле- дующими зависимостями [12]; Лг= а [Яо(1 — созв!)+ 2Т„(в! — з!ив!)]; Л]г, =а [5о з!п в!+ 2Т, (1 — сов в!)]; (4.49) г, Ли= — а'[2Яо(в! — з!и в!) +Т, ~ — (в!о) — 4(1 — созв!)]); Л1г„= — а(Я, (1 — соз в!) + Т, (в! — 2 з]п в!)); Лз =аз Яг (1 — созв!); Л]г, = аФ', з!и в!, где а=го" /'~']о .
Из рассмотрения (4.48, 4.49) можно сделать следующие выводы: вековые (изменяющиеся пропорционально времени) возмущения по углу Ли реализуются только при отклонениях в начальных условиях Лго (высоте) и Л1'„, (трансверсальной скорости); для случая выполнения условия вЛго — Л1'„о=0 вековое возмущение по углу отсутствует; все остальные отклонения в начальных условиях приводят только к периодическим возмущениям; при действии постоянного возмущающего ускорения по трансверсали То спутник сначала смещается в направлении действия ускорения, а затем его радиус увеличивается или уменьшается пропорционально времени в зависимости от знака То', постоянное ускорение по нормали к плоскости орбиты Ко не приводит к вековым возмущениям по высоте орбиты; постоянное ускорение в радиальном направлении оо не приводит к вековым возмущениям по высоте орбиты.
Заметим, что эти выводы сделаны из анализа движения в окрестности круговой орбиты в линейном приближении (4.45) и предполагают при использовании в расчетах ограниченной области изменения как по начальным условиям движения, так и по величине возмущающих ускорений. Для приближенных расчетов пользоваться соотношениями (4.48, 4.49) можно для практически широкого диапазона: при возмущениях Лг/го(0,5 погрешность по скорости не превосходит 5о/о', опорная орбита может быть эллиптической с эксцентриситетом 0(0,1, в этом случае вместо го следует брать большую полуось а, а отклонения в параметрах движения следует рассматривать относительно параметров невозмущенного движения на эллиптической орбите.
182 Возмущения параметров относительного движения двух аппаратов Взаимное положение аппаратов можно получить в общем случае интегрированием системы дифференциальных уравнений (4.43). Для более наглядного анализа закономерностей относительного движения на околокруговых орбитах следует пользоваться решениями (4.48, 4.49). Проведем краткий анализ относительного движения двух аппаратов, орбиты которых отличаются вследствие отклонений в начальных условиях движения. Относительное положение двух аппаратов (1, /) в цилиндрической системе координат (см.
рис, 4.16) характеризуется дальностью Л(о в плоскости опорной орбиты и боковым отклонением Лг„.: Л1ы =У(г, +Лг;)'+(г, +Лг,)з — 2(г,+ Лг,),(г,+ Лг,) соз Лиы1 Лиы = Лиз — Ли,.; (4 50) Лгы — Лг,.-- Лг,. Тогда дальность Л4; между двумя аппаратами находится по формуле Л(;,= ~'(Л1,) +(Лги) . (4,51) Для возмущенного движения в линейном приближении, как это следует из уравнений (4.48), составляющие в (4.51) независимы и могут рассматриваться отдельно. Рассмотрим боковую составляющую Лгеь Используя уравнения (4.48), запишем Лг,"=Лгоысозв1+ *"'з!пы(; ы м Лгм1 = Лгм — Лгм,' (4.52) Л) мы= Л)хм Л) мь Из (4.52) видно, что вековых возмущений в относительном положении (расстоянии) двух аппаратов по направлению, нормальному плоскости орбиты, не существует и изменение этого расстояния происходит по зависимостям, аналогичным возмущенному движению одиночного аппарата по оси г.
Относительное положение описывается гармоническими колебаниями Лгы — а з1п (ы1+ гр,) с периодом, равным периоду опорной орбиты, с амплитудой и фазой соответственно = ЪГ(ь"кг -( ""1 '=-~а ™ /а'г ~ маг ~ м 1 8 1 им 183 Максимальное взаимное отклонение двух аппаратов не превосходит величины амплитуды а, отклонение зависит только от начальных условий и периода опорной орбиты Т =2 и/е». Рассмотрим теперь вторую составляющую (4.51) — относительное расстояние в плоскости орбиты Л1оп Считая в (4.50) Ьгь ЛО малыми, с точностью до квадРатов и пРоизведений этих величин запишем — 2 ) 1+ — + — ~ (1 — сов Ли//).
Г / /его /ег/\ го ге го (4.53) 2( о + «о) (4.55) с амплитудой = )Г ( †' а "' ) а ( " ) (ало) и фазой г аааге+ 2 Л Уае 1 «ра =- агс18~— пу„а Таким образом, первый сомножитель не имеет вековых возмущений и его максимальная величина не превосходит единицы плюс удвоенной суммы среднего значения (4.55) и амплитуды (4.56).
Для анализа величины второго сомножителя подкоренного выражения (4.53) следует рассмотреть изменение углового положения аппаратов Лио/. Из уравнений (4.48) получаем ааге го лаго / оеге где аман — — био/ — Л ио ' /з ге//= Ага/ — Лгеа; 51/„ее/ — — Л)/„о/— — Л 1'аоа, Л 1/гом = Л 1/ее/ — Л ~',оо 184 На основании (4.48) получим выражение для первого сомножителя.
Он изменяется в соответствии с зависимостью пу„о /Д'о 2ДУпо ~ — = — з(п оа 1 — ( — + — ~ соз ое 1+ га ее го га оего (4.54) ~ го еего / что представляет собой гармонические колебания относительно средней величины откуда видно, что колебания происходят относительно (Ь и!)'= Ь иа!,— 2 Д ~™ — 3 ( — "' — — — "2!! ) о1 (4.58) МГ)2 22 2222 с амплитудой -2 )! ( "и-~-2 ""и) .~- ( "' ) (4.59) н фазой !р = агс18 — ( Д '2' 20!! мД 22Ы+ 2 Ы',2!! ) (Ди ) = — 3( 2ы + ""~1 Ы. 22 м Изменение этой функции будет приводить к долгопериодическим колебаниям относительной дальности между двумя аппаратами.
Если в (4.53) учитывать только долгопериодические члены, то можно записать Д1а Г ! — ж 2 (1 — соз ~ Л им!— Д 1222!! / Д 22М вЂ” 3( + 22 2222 22 Д У2222! х „1~) (4.60) Период долгопериодических колебаний Т„ находится из соот- ношения оы + ~22!! ~ !ат =2Я и 22 22'О Д" 22!! равна разнице периодов обраще- 22 22 3) (4.61) в котором 3 ( — "'~ + 2! ния аппаратов дты т! — т; т, т, 188.
Как видно из уравнения (4.56) и (4.59) амплитуда колебаний по углу в два раза превосходит амплитуду колебаний по радиусу, а фаза отличается на 90'. Это свойство возмущенного движения отмечалось ранее при физической интерпретации уравнений возмущенного движения аппарата во вращающейся системе координат (4.39) (см.
рис. 4.14). Таким образом, относительно величины, определяемой формулой (4.58), отклонения не превосходят амплитуды (4.59), а вековое возмущение характеризуется линейной функцией Это следует из непосредственного вычисления изменения периода опорной круговой орбиты То. 2пазд з 2а И ее В результате дифференцирования получим т;,=-.Зте Т,' =3 Т' го "е мое откуда следует Дту 3 (аоыу ~еоуу ) (4.62) То е 'е мое Из (4.61) и (4.62) получим, что период долгопериодических колебаний равняется 2пте о Т оо~ ЛТуу! 1 Лтуу! (4.63) а взаимное отклонение по дальности двух аппаратов в плос- кости орбиты определяется выражением — 2 1 †-соз соиоуу — 2 ' — 2ут — е У) .
(4.64) а Уц / 1 / 81У„о. аТУУ '1 ео иго е Как следует из (4.57), вековое возмущение по угловому положению двух аппаратов будет отсутствовать в двух случаях: 1) Дг,ц — — О; Ь)Уаму — — О; 2) Ми „ЬрооУУ О го и го В этих случаях на основании (4.53, 4.54, 4.57) характер колебаний будет описываться следующими уравнениями: в первом случае (4.65) 1У 2 (1 — ~~"'+ "" з)пееУ) (1 — созЬиц) ге 1У оооо во втором случае айУ „-е Угй ( 1+ й 1Уоео+81~~оУ ° У а епое+ еоеУ ч ео го мге и соз аУ) (1 — созйиц). Во всех других 'случаях, не соответствующих условиям (4.65), будут иметь место долгопериодические колебания с периодом 186 т= 2и и Зьз + д соц д гпмз со ьо со и через интервалы времени, равные половине этого периода, относительная угловая дальность будет изменяться на величину 180', т.
е. аппараты расходятся по антиподным точкам на орбите с относительным расстоянием, как это следует из (4.64), равным Ыц 27,. Заметим, что прн малых значениях Лиы для определения относительной дальности между аппаратами следует пользоваться формулой 61ц — — )I (Л гц)'+ (г, Л иц)а, (4.66) которая получается из (4.50) при представлении созЛиц 1— (ь иц)' 2 и отбрасывании квадратов и произведений величин Лго Лгь Итак, проведен анализ закономерностей изменения относительного расстояния между двумя аппаратами. Используя решение уравнений возмущенного движения (4.48), можно провести анализ изменения любого другого кинематического параметра. В качестве примера рассмотрим определение предельной дальности между двумя аппаратами, при которой возможна их взаимная радиовидимость.
Как следует из рис. 4.17, относительная дальность, прн которой реализуется связь между двумя аппаратами, должна удовлетворять условию Л (ц ( 2 'и' га~ — (1са + й,)', Рис. 4,17. Предельная дальность взаимной радиоаидимости 187 где д,— предельная минимальная высота радиовидимости над горизонтом. Для определения времени существования связи следует использовать ранее полученные зависимости, например (4,60), Таким образом, проведен анализ динамики относительного движения двух аппаратов при отклонениях в начальных параметрах движения от своих номинальных значений каждого из них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
