Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 89
Текст из файла (страница 89)
при линейной зависимости Р[х(/г), Ц от х и независимости о, от х стохастическое разностное уравнение (13.127) принимает вид х(/г+ 1) = ф(/с + 1,/с)х(/с) + Г(/с)Ж(/с). (13.129) Уравнение (! 3.127) в рассматриваемом случае может быть записано как х(/г + 1) = ф(/г + 1,/г)х(й) + т)(/с). (13.130) Здесь уже т)(к) будет представлять собой последовательность некоррелированных с х(0) независимых гауссовых векторов с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами С = В.„= Г®В. Г'(/г). 499 Имея в виду изложенное, разобьем отрезок времени По,() на Х интервалов дискретности так, что жТ=( — с„ (13.131) полагая х(т)[...
я! - -х(Й) для /~ = О, 1,..., Х. (13. 132) Тогда аппроксимация линейного непрерывного уравнения (13.89) ли- нейным дискретным аналогом даст х(1+ Т) = [Е + А(1)Т] х(() + т((()Т. Сопоставление (13.130) и (13.133) приводит к мысли, что (13.133) Ф(к+ 1,)с) = Ф~(Т) = [Е+ А(1)Т], „ьт. (13.134) Обычно элементы матрицы А(1) в (13.134) на интервале дискретности считают постоянными и тогда [Е+ А(1)Т~1 .. „, представляет собой линейно усеченную матричную экспоненту [28): Т2 Т"' Ф(Т) = е~~ = Е + АТ + А — +... + А" —. (13.135) 2! и! ФЯТ,О) = Ф(Т) Ф[(lс — 1)Т,О]. (13.
136) Теперь надо решить вопрос, что же следует понимать под матрицей ковариаций процесса т)„при аппроксимации непрерывного процесса белого шума т1(1), для которого М [з)(1) т1'( т)] = С(1) Ь(1 — т), является дискретным белым шумам. Если непрерывный белый шум имеет физический аналог, то дискретный белый шум с матрнцей ко- вариаций М[з),т),'] =С,б, (13. 137) является математической абстракцией. В (13.137) через Ь„: обозначена функция (символ) Кронекера; 500 Таким образом, по своему физическому смыслу Ф(й + 1, к)— дискретный аналог переходной матрицы фазовых состояний. При допущении о стационарности матрицы А в пределах интервала дискретности матрица Ф(Т) также будет постоянной, поэтому 1 при г=), [ 0 при Сзс).
Очевидно, что С, будет зависеть от величины Т, а ее выбор будет определяться условием вида К(С)[, „„т=К(й), ) =0,1,...,гЧ. (13.!зй) Дискретная аппроксимация уравнения (13.121), соответствующего случаю отсутствия шумов измерений, приводит к В(С+ Т) — К(С) = А(С)К(С)Т+ К(С)А'(С)Т+ С(С)Т.
(13.139) Но, с другой стороны, К(Й + 1) = Ф(/с + 1, )с)К(й) Ф'(/с + 1, /с) + С(й). (13.140) Подставляя (13.134) и (13.! 38) в (! 3.140), найдем В(С+ Т) — В(С) = А(С)К(С)Т+ К(С)А'(С)Т+ + А(С)К(С)А (С)Тг+ [С(С)Т] Т (13 141) Для того чтобы (13.!4!) соответствовало (13.139) с точностью до членов первого порядка по Т, необходимо С(С)[-м=ьт = СЯТ (13.142) или, обратно, С(С) = !цп [С(/с)Т].
(13.143) Теперь можно попытаться сформулировать классическую постановку задачи оптимальной динамической фильтрации в дискретной форме. Она сводится к следующему: имея последовательность векторов измерений уо, уы уз, ..., принадлежащих множеству У и отвечающих модели измерения у(й) = С(й)х(/с) + и(/с), (13.144) определить оценку состояния системы на момент Й, представля- ющую собой условное математическое ожидание х()с[)г — 1) 50! М(х(й)!1'ь ~) и обеспечивающую минимальную дисперсию ошибки оценивания.
Нетрудно показать (28), что алгоритм непрерывного фильтра Калмана, приведенный ранее, может быть также получен путем формального предельного перехода из уравнений дискретного фильтра (при устремлении Т к нулю). Данное обстоятельство дает основание полагать, что структуры непрерывного и дискретного фильтров Калмана в принципе должны совпадать. Поэтому есть смысл искать оптимальную оценку х(й!й — 1) = х(й) в форме, соответствующей (13.105), но учитывающей отличия в модели процесса: х(й) = Ф(/с, /с — 1)х(й — 1) + К(й) [у(й) — С(й)х(й)) (13.145) при начальном условии х(0!0) = х(0) = х(0).
(13.146) Матрица К(й) в уравнении (13.145) представляет собой (г х р)- матрицу коэффициентов усиления дискретного фильтра на й-м интервале дискретности. Характер зависимости (! 3.145), определяющий рекуррентную форму выработки оценки х(й), свидетельствует о необходимости использования для ее нахождения значения предыдущей оценки х(й — 1). Так как х(/с — 1) и, следовательно, у(/с — 1) зависит от з)(7' — 1) только для 7' — 1 < й — 1, то пространство наблюдений У(й — 1) не содержит информации о дискретном белом шуме т)(й — 1). Поэтому для предсказания значения х(й) по наблюдениям у(й — 1) достаточно предсказать значения х(й — 1) на один шаг вперед, полагая з)(й — 1) = О, т. е.
х(й) = х(й!й — 1) = Ф(й,й — 1)х(й — 1). (13.147) Выражение матричного коэффициента усиления в рассматриваемом случае записывается в форме К(й) = Ф(/с, й+ 1)К(/с+ 1,й) = Ф(/с, й+ 1) Ф(/с+ 1,/с)х х Ть(й!й — 1)С'(/с) )С(й)К(й!й — 1)С'(/с) + (:1(й)) '. (13.148) Или, учитывая, что Ф(й, й + 1) = Ф '(й + 1, й), получим оконча- тельно 502 К(й) = К(й ~ й — 1) С'(й) х х !С(й)К(й!й — 1)С'(й) + Я(й)) '. (!3.!49) Уравнение для определения дискретной кояариационной матрицы ошибок оценинания вектора состояния системы будет при этом иметь вид К(й + Ц й) = Ф(й + 1, й)К(й~й — 1) Ф'(й + 1, й)+ + С(/с) — Ф(/с + 1, й)К(й~й — 1)С'(й) х х (С(й)К(й!й — 1)С'(й) + Се(й)) ~ С(й)К(й)й — 1) Ф'(й+ 1, й).
Учитывая ( ! 3. ! 49), его можно представить также в следующей фор- ме: К(й+ Цй) = (Ф(й+ 1,/с) — К(й+ 1)С(й)) х х К(й!й — 1) Ф'(й+ 1, й) + С(/с). (13.150) Матрица К(й + Цй) носит название априорной ковариационной матрицы ошибок оценивания в отличие от К(й) — апостериорной матрицы, поскольку К(й + Цй) характеризует числовые характеристики ошибок оценивания составляющих вектора состояния до момента проведения измерений.
Выражение (13.150) удобно записать в функции апостериорной матрицы К(й) = (Š— К(й)С(й)) К(й/й — 1). (!3.!5!) С учетом (!3.!5!) уравнение (13.150) может быть преобразовано ( ! 05) к виду К(й+ Ц/с) = Ф(й+ 1,й)К(й) Ф'(й+1,й) + С(й). (!3.!52) Отметим, что эволюция матрицы ковариаций ошибки оценивания (!3.!52) и (!3.!5!) не зависит от наблюдений. Поэтому, если заданы параметры динамической системы, включая процесс наблюдений, матрицу ковариаций, а следовательно, и К(й) можно вычислить заранее и записать в память БЦВМ. Это позволит существенно сократить время решения задачи фильтрации. Анализ структурно-матричной схемы дискретного оптимального фильтра 503 1 Оптимальный фильтр Дискретный формирующий фильтр (модель измеряемого дискретного сигнала) Рис.
13.11. Схема дискретного оптимального фильтра (рис.! 3.11) свидетельствует, что в нем реализуется идея «предсказания . коррекции». Предыдущая оценка х(й — 1) экстраполируется (предсказывается) на один шаг вперед и затем используется для получения наилучшей оценки нового наблюдения у(к), основанной на всех предыдущих наблюдениях. Ошибка оценивается с весом К(гс), учитывающим значение ковариаций входного процесса, измерения и ошибки оценивания для формирования сигнала коррекции. Сигнал коррекции складывается с предсказанной оценкой и в результате получается новая оценка.
Практическая реализация алгоритма дискретной оптимальной фильтрации в цифровых вычислительных машинах в ряде случаев сопровождается явлением, называемым расходимостью (неустойчивоспгью) процесса фильтрации. Под расходимостью дискретного фильтра в узком смысле понимается, главным образом, накопление ошибок округления малых чисел, характеризующих элементы ковариационной матрицы, вследствие ограниченности длины разрядной сетки машины и рекуррентной процедуры вычислений. Следствием накопления отмеченных ошибок является потеря матрицей ковариаций ее основного свойства — симметричности, а из-за увеличения разности соответствующих элементов возникает и потеря неотрицательной определенности, связанной с появлением отрицательных значений дисперсий.
В связи с этим одной из проблем, требующих разрешения при воспроизведении алгоритмов оптимальной последовательной фильтрации в БЦВМ, является ограничение ошибок округления. Для этого могут быть использованы как конструктивные решения типа увеличения длины разрядной сетки БЦВМ, так и 504 программно-математические методы. Конечно, причиной неустойчивости (расходимости в широком смысле) ФК служат не только ошибки округления. Широкое привлечение априорной информации при решении задачи фильтрации предполагает, что эта информация, по крайне мере, соответствует реальному физическому процессу. Отсутствие данных о реальной физической задаче, всякого рода упрощающие предположения при математическом описании процесса, ошибки, связанные с моделированием вероятностных характеристик шумов и возмущений могут вызвать серьезные возражения и по поводу целесообразности применения ФК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
