Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Для реализации процесса фильтрации (имея в виду его традиционную трактовку) необходимо найти решение (13.78). Это в принципе возможно, если известны матрицы Здесь величина тз может принимать любое значение в пределах О < тз < Т. Заметим, что тождественное выполнение равенства (13.81) внутри интервала (! — Т < т! < !) повлечетзасобой иавтоматическое выполнениеранеистаа(13.83) для всех и внутри интервала ! — Т < т! < 1, т.е. при всех тз в пределах О < тз < Т.
Невыполнение же равенства (13.83) происходит только на концах интервала 1! — Т,!),т.е, при тз = Ои тз = Т.Для исключениязтоговлополнение к условию (13.81) необходимо потребовать выполнения граничных условий /' [д К (т!, тз)] !-т дта =О, (13.84) с,=! — т 486 Поскольку весовая матрица Н((, тз) также может включать лопустимые б-функции и их производные, то уравнения (13.84) будут содержать 1901 смешанные да (К„)о(т„т,) производные компонентов матрицы К,( т!, тз) до порядка р р .
Отд т! д тз сюда видно, что наибольшее целое число р, при котором смешанные производные продолжают оставаться непрерывными при т! = тз, определяет наивысший порядок допусти мого дифференцировки ия входного сигнала. Итак, окончательно имеем, что лля того чтобы Н(1, т) была весовой матрицей оптимальной линейной системы, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла обобщенному уравнению Винера — Хопфа в замкнутом интервале ! — Т < т! < ! и содержала Ь-функции и их производные не выше р-го порядка, если р — наибольшее целое число, при дз" (К,)„( т„та) котором смешанные производные, я' г ' непрерывны. т! гз Задача определения оптимальной линейной системы для выделения желаемого сигнала из смеси полезного и помехи впервые была решена А.Н.
Колмогоровым для дискретных процессов (! 941) и значительно позднее Н. Винером для непрерыных процессов. Поэтому ее часто называют задачей Кодаиогорова — Винера [6). Ограниченность применения винеровских фильтров (ВФ) обусловлена рядом специфических особенностей преобразования сигнала, вытекающих из постановки задачи Колмогорова — Винера. К числу таких особенностей следует прежде всего отнести следующее. Интегральная форма уравнения (13.81), предназначенного для отыскания матрицы весовых функций оптимальной системы, в общем случае не позволяет найти точного решения. Практически речь может идти о решении, получаемом при принятии допущения о том, что полезный сигнал и помеха являются стационарными случайными процессами. При этом оптимальные оценки находят при 1 -э оо. Другими словами, решение отыскивается в классе стационарных линейных систем, а минимизация критерия достигается в установившемся режиме их работы.
Данное обстоятельство— основной сдерживаюгций фактор широкого распространения винеровских фильтров. Кроме того, к характерным недостаткам рассматриваемых фильтров относится трудность определения большого количества числовых характеристик случайных процессов, необходимых для решения уравнения Винера — Хопфа, и относительное неудобство реализации алгоритма на БЦВМ.
С точки зрения формулировки целевого назначения рассматриваемого здесь подхода, она практически не отличается от подхода, отвечающего методу Колмогорова — Винера. Действительно, как и в предыдущем случае, задача заключается в определении алгоритма обработки некоторого случайного сигнала, поступающего с измерителей, который обеспечивал бы нахождение оптимальной оценки х(~) полезного сигнала х(~). Оптимальность понимается в смысле минимизации критерия 1(~) = М [(х(~) — х(~))'(х(~) — х(~))) . (13.85) На первый взгляд может показаться, что и в данном случае мы имеем дело с традиционной задачей оптимальной фильтрации, на самом деле это не совсем так.
Прежде всего дело заключается в том, что в подходе Колмогорова — Винера мы пытались найти оптимальную оценку у(~) = у'(~) именно того сигнала, который поступал с измерителей. Размерность векторов в(1) и у'(1) была одинаковой. При рассматриваемом подходе предполагается, что на интервале (1о,1) измерениям подлежит вектор размерности р ( г, связанный с вектором х(1) линейным матричным уравнением у(~) = С(~)х(~) + п(г), () 3.86) где п(1) — вектор шумов измерений. Матрица измеряемых (наблюдаемых) координат С(~) в общем случае не равна единичной и, следовательно, измерениям подлежат не все компоненты вектора х(т), а только часть из них. При этом правомерна постановка задачи получения оценок всех компонентов, т.е.
полного вектора х(~). Здесь рассматривается вопрос, который 487 не возникает при обсуждении подхода Колмогорова — Винера: возможно ли это? Очевидно, утвердительный ответ допустим, но далеко не всегда. Прежде всего необходимо, чтобы оценивался не любой произвольный вектор измерений, а вектор фазовых координат некоторой линейной динамической системы, описываемый векторно- матричным уравнением стандартного типа. Вторым обязательным условием при этом должно быть требование наблюдаемости динамической системы.
Учитывая отмеченные существенные отличительные особенности обсуждаемого подхода, будем трактовать процесс оптимальной обработки результатов измерений при привлечении для этих целей априорной динамической модели в виде дифференциальных уравнений, описывающих фазовое состояние системы как динамическую или последовательную оптимальную филыпрацию. В исходной постановке задачи [41) как возмущения, действующие на систему, так и аддитивные (прибавляемые, иначе суммируемые) шумы измерений предполагались многомерными случайными процессами типа белого шума, некоррелированными между собой и имеющими нулевые математические ожидания. Обсудим, сколь существенны эти ограничения с точки зрения практической применимости ФК. Прежде всего отметим, что требование М (з)(1)) = О не является определяющим.
Вспомним, что математическое ожидание является неслучайной характеристикой случайной величины. Поэтому, если М (т)(~)) ф О, соответствующее значение математического ожидания случайного возмущения может быть учтено (со своим «весом») в детерминированном векторе управляющего входного воздействия. Несколько сложнее дело обстоит, когда возмущающие функции являются случайными процессами, отличающимися от белого шума.
Однако и эта ситуация разрешима. Использование априори известной модели процесса в виде дифференциальных уравнений состояния динамической системы и уравнения наблюдений (уравнения обратной связи) позволяют для формирования требуемого входного сигнала применить в отличие от задачи Колмогорова — Винера фиктивную линейную динамическую систему, называемую формирующим фильтром (рис. 13.6). Действительно, если возникает необходимость воспользоваться моделью системы — х(1) = А(1)х(1) + Ж(1), й (13. 87) где зэг(г) — коррелированный во времени шум (иногда в отличие от белого его называют цветным или окрашенным), то для приведения 488 Фиктивный Гауссовский возмущений, отличающийся от процесса типа белого шума Рис. 13.6. Схема преобразования белого шума в коррелироваиный по времени (окрашеииый) шум с помощью формирующего фильтра (13.87) к стандартному виду при т)(1) — случайном процессе типа белого шума — надо, чтобы формирующий фильтр отвечал уравнению ь( -~Ч(1) = К,н(1)1хг+ з1,(1), <Й (13.88) Г 1 ч и и Система, отвечающая уравнению состояния (13.87) Формирующий фильтр Рис.
13.7. Математический аналог схемы, изображенной иа рис. 13.6 (С(1) = К) Наиболее строго алгоритм Калмана — Бьюси может быть получен [40) на основе уравнения Винера — Хопфа, что свидетельствует о единых основах двух рассматриваемых схем оптимальной фильтрации. С целью упростить выкладки предварительно положим, что ц(1) = О. Тогда случайный действительный векторный г-мерный 489 где Кзч(() — матрица коэффициентов усиления формирующего фильтра; тН (г) — возбуждающий (порождающий) белый шум. Объединение векторов х и т1Г(1) в хр(() = [х(г);Ж(1))' приведет к получению расширенного вектора состояния (28), для которого справедливо уравнение, содержащее в качестве входного случайного воздействия белый шум.
Математический аналог функциональной схемы системы, изображенной на рис. 13.6, приведен на рис.! 3.7. процесс х(!), порождаемый случайным возмущением, аппроксимируемый векторным белым шумом т)(1), будет решением дифференциального уравнения г(! — х(1) = А(()х(1) + з)(1); х((о) = хо. (13.89) Пусть М [х! = 0; М [т)(г)! = О, а М [т)(!) т!'(т)! = С(г) б(г — т), (13.90) где С(1) — симметричная положительно-определенная матрица интенсивности вектора т) ((). Гауссов векторный белый шум измерений в (13,86) охарактеризуем как М[п(1)! = О, М[п(()п'(т)! = (3(() Ь(( — т), (13.91) где Щ!) — симметричная матрица интенсивности шумов измерений. Нетрудно заметить, что в рамках рассматриваемых предположений структуру формирующего фильтра (рис. 13.8) будут определять непосредственно уравнения (13.89) и (!3.86).
Так как начальное состояние системы х(!о) не зависит от возмущений и помех, действующих в моменты времени ( < !о, запишем М [х((о) з)'(г)! = 0; М [х((о)п'(!)! = О. (13.92) Рис. 13.8. Схема формирующего фильтра для модели типа (13.89), (13.86) Воспользуемся уравнением Винера — Хопфа, представив его с учетом принятых обозначений как Н(1, тг)М [У'( тз)У( тг)! г(тз — М [хИ)У'( тз)! = 0 г — т (! — Т< та<1). 490 Учитывая (13.89), после дифференцирования (13.93) при изменении порядка выполнения операций взятия частной производной и определения математического ожидания найдем М [у'( тг)у( тз)] д тг+ Н(1,1) [У(1)у'( тг)]— Г дН(1, тг) с-т — А(1)М [х(Г)у'( тг)] — М [з)(1)у'( тг)] = О. (13.94) Так как т)(1) не коррелировано с п(г) и х(1) для всех 1 > тг, а х(1) не коррелирован с п(г) для всех 1 (тг > го = 1 — Т), то в силу взаимосвязи, определяемой зависимостью (13.68), т)(1) не коррелирован и с у(г) и, следовательно, (13.95) Теперь рассмотрим выражение М [ т1(1)у'( тг)].
Учитывая (13.68), за- пишем М [у(1)у'( тг)] = М [С(1)х(г) + п(1)у'( тг)] = = С(Г)М [х(1)У ( тг)] + М [п(1)У ( тг)] . (13.96) Но М [п(1)у'( тг)] = М [п(1)х'( тг)] С'(1) + М [п(1)п'(тг)] = О в силу коррелированности векторов х(1) и п(1) и с учетом того, что п(г) является белым шумом, для которого взаимосвязь между значениями п, отвечающими различным временным сечениям (1 и тг), отсутствует. Таким образом, М [у(Г)у ( тг)] = С(Г)М [х(1)у ( тг)] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
