Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Второе слагаемое, содержащее в виде множителя начальную ковариационную матрицу Ко, обусловлено неопределенностью начального состояния. Третий член связан с действием на систему случайных возмущений, а последний — с неопрелеленностью в оценке состояния. Указанное минимальное значение М[Т] будет достигаться при Р, не зависящем от и((), тогда и только тогда, когда оптимальное управление, являющееся единственным, как и для детерминированного случая, определяется в форме пе = -Кх = — КМ [х(1) [Уз] . (13.62) Сопоставление (13.49) с (13.62) дает основание считать обсуждаемую теорему доказанной. Из теоремы разделения следует допустимость декомпозиции общей задачи стохастического управления на задачу синтеза оптимального фильтра, формирующего оценки состояния системы в виде условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов, и задачу формирования линейной обратной связи системы управления (наведения) при использовании матрицы коэффициентов усиления, полученной для детерминированной системы.
Следствием, вытекающим из этой теоремы, является возможность использования схем последовательной оптимизации управления и наблюдения. Согласно данной схеме сначала определяют оптимальное управление, минимизирующее выбранный критерий качества для случая, когда шумы наблюдений отсутствуют. Затем решается задача оптимального оценивания вектора состояния, минимизирующая соответствующую функцию потерь. Полученные оптимальные оценки 479 Возмущения и помехи ет внешней среды Рис.
13.3. Схема, иллюстрирующая принцип использования теоремы разделения фазовых координат вводят (рис. 13.3) в часть системы, формирующую управление, вместо непосредственно измеряемых параметров движения. Полученная таким образом система наведения будет обеспечивать требуемое качество процесса управления и одновременно использовать оптимальным образом переработанную измерительную информацию. Теорема является строго доказанной, если функция наблюдения представляет собой линейную функцию величин, определяющих состояние системы, а сама система линейна.
Теорема может быть распространена при малых ошибках измерений и на нелинейный случай. 13.4. Введение в теорию оптимальной фильтрации Под оптимальной фильтрацией обычно принято понимать процесс определения наиболее вероятных значений полезного сигнала, сопровождаемого при измерениях случайными искажениями (помехами, шумами). Стохастическая навигационная система, как и любая другая система, будет называться оптимальной по некоторому критерию, если структура и значения ее параметров доставляют экстремум (минимум или максимум в зависимости от физического смысла) этому критерию.
Однако применительно к НС существуют частные особенности, на которые уместно обратить внимание. Первая из них заключается в том, что речь идет о статистической оптимизации. Поэтому в рассматриваемом случае мы можем говорить о системе, оптимальной только по отношению к множеству реализаций процесса измерений. Вторая особенность обусловлена выбором критерия. Формулировка его неразрывно связана с использованием понятия ошибки 480 Рис. 13.4. Определение ошибки оптимальной многомерной линейной системы обработки измерительной информации преобразования входного сигнала.
Под ошибкой будем понимать век- торную величину, определяемую как где у(!) — вектор наблюдаемых параметров, отражающий только полезную составляющую обрабатываемого сигнала (рис. 13.4); у'(1)— фактический вектор наблюдаемых параметров на выходе системы, представляющий собой результат преобразования полного входного сигнала, включающего как полезную составляющую у(1), так и помеху и(!). Сама ошибка Ь(г) является случайной функцией времени, поэтому непосредственно не может служить критерием оценки точности системы.
Обычно в качестве критерия выбирают одну из числовых характеристик этой случайной функции. Наиболее приемлемо [39 — 41) использование среднего квадрата ошибки, имеющего для векторной случайной функции Ь(!) вид 1(1) = М(Ь'(() Ь(1)]. Ошибка Ь(г) может быть выражена через математическое ожидание о М д(1) и ее центрированное значение Ь(1) Л(!) = М (1) + Ь(1). (13.65) Тогда ( ! ) М т ( 1 ) + М з ! ~ т ( 1 ) ~ ) ~ ( 1 ) (! 3.66) Второе слагаемое в (13.66) — скалярная величина, равная следу (шпуру) корреляционной матрицы Кд(!), т.е. сумме ее диагональных элементов.
Следовательно, для каждой фазовой координаты выражение (13.66) будет характеризовать средний квадрат ошибки, определяемый зависимостью вида 1,(1) = з),. (1) = М', (1) + Д, (!). (13.67) 481 Рис. 13.5. Схема преобразования входного сигнала ПосколькуприМа, = О, Д(1) = сгк,((),системы,обладающиеминимальным средним квадратическим отклонением, называют оптимальными в смысле минииума среднеквадратической ошибки. Применение этого критерия делает возможным получить решение задачи отыскания оптимального оператора преобразования входного сигнала с помощью математического аппарата корреляиионной теории, используя линейную, а следовательно, технически наиболее просто реализуемую систему.
Пусть имеется некоторая многомерная система обработки измерительной информации, носителем которой является сигнал в(() = у(() + пИ). (13.68) Требуется найти оптимальный оператор С, характеризующий эту систему (рис. 13.5), позволяющий выделить полезный сигнал у(1) из измерительного в(г) путем нахождения оптимальной оценки у(т) = у*(т) = Св(т), (13.69) для которой подходило бы минимальное из всех возможных значений среднего квадрата ошибки. Очевидно, если выбранный оператор линейного преобразования не обеспечивает минимума выбранного критерия, то в отличие от (13.69) на выходе такой системы получим сигнал у,"((), представляющий собой результат преобразования в(() любым произвольным отличным от С оператором Р, принадлежащим тому же классу, что и оптимальный оператор у',(() = Рв(().
(13.70) Теперь, используя понятие ошибки (13.63), запишем условие мини- мума среднего квадрата ошибки оптимальной системы как М [(у*(() — у(())'(у'(() — у(1))) < < М((у1(г) — у(1))'(у1(() — у(())) . (13.71) 482 По существу в квадратных скобках записан квадрат модуля действительного вектора ошибки оптимальной (слева) и неоптимальной систем. Известно, что минимизация математического ожидания квадрата модуля вектора ошибки эквивалентна минимизации математического ожидания квадрата каждой компоненты вектора ошибки. Не приводя здесь соответствующих математических выкладок доказательства, изложенного в (40, 96), укажем, что условие оптимальности (13.71) идентично выполнению требования М ((у'(С) — у(1)) (у~(Ю))'! = 0 (13.72) иначе, заменив у'(~) и у*,(~) их выражениями (! 3.69) и (13.70), найдем М ((Сг(1) — у(1)) (Рг(1))т) = О.
(13.73) Условие (! 3.73) является не только необходимым, но и достаточным. Исходя из него можно найти выражение искомого оператора. Линейная система может быть полностью охарактеризована интегральным оператором (40), который через весовые матрицы физически реализуемой системы выражается в виде Сг(!) = Н(1, тг)г( тз) с( тз, со с Рг(1) = Н1(1, т!)г( т!)сК ты где Н(~, тз) и Н!(~, т!) — весовые матрицы или матрицы весовых функций соответственно оптимальной и неоптимальной систем. Напомним, что под физи чески реализуемой системой понимается система, удовлетворяющая условию Н(1, т) = 0 при т > 1, оговариваемому при введении понятия весовой или импульсной переходной матрицы системы (7).
Это условие отражает тот факт, что никакая реальная система не может отреагировать в момент времени 1 на входное воздействие, приложенное к ней позже этого момента. На практике нет смысла учитывать все значения входного сигнала г(1), начиная с момента 1о включения системы в работу. В связи с этим целесообразно ограничить класс рассматриваемых систем только такими, память которых имеет ограниченную длительность Т. Для таких систем весовые матрицы будут принимать нулевое значение при 483 всех т < с — Т.
Это приведет к изменению нижнего предела интегрирования в исходных выражениях, которые представим в следующем виде; с Сх(т) = Н(т, тз)х( тз) сХ тз, с — г Рх(с) = Нс (С, тс)х( тс) с1 тс. (13.74) (13.75) с — т Подстановка (13.74) и (13.75) в (! 3.73) дает < с Н(с, тв)х( тз) с1 тз — у(1) с — т Данное условие должно выполняться при любых значениях матрицы Нс(с, тс). Следуя [90), внесем выражение в первых фигурных скобках под знак второго интеграла и почленно умножим его под знаком второго интеграла на к( тс): с с М Н(т, тз)х ( тз)х( тс) д тз— с — г с — т — у(1)х'( тс) Н;(1, тс) с1 тс = О.
(13.77) Очевидно, что выполнение условия (13.77) при любой Нс(1, тс) воз- можно только тогда, когда равно нулю выражение в фигурных скоб- ках. Осуществив операцию нахождения математического ожидания под знаком интеграла, окончательно получим Г н(1, тз)м(х'( тз)к( тс)) скта — м(у(1)х'(тс)] = 0 с-т (с — Т < тс < с). (13.78) 484 м[ ( с т Нс(1, тс)х( тс) с1 тс = О. (13.76) с — т К ( тс, тг) = М [в ( тг)я( т!)); Йув([, т!) = М [у(1)в'( т!)) .
(13.79) (13.80) По своему физическому смыслу К,( тс, тг) представляет собой корреляционную матрицу входного сигнала, а В.,(1, т!) — матрицу взаимных корреляционных функций составляющих полезной компоненты и полной суммарной величины входного сигнала. С учетом обозначений (! 3.79) и (13.80) уравнение Винера — Хопфа имеет вид с — т На его основе можно получить матрицу весовых функций, с помо- щью которой затем построить алгоритм оптимальной обработки сиг- налов в форме с хг (() = Н([, тг)я( тг)с[тг.
с — т (13.82) Обработка результатов измерений на основе использования вилеровских фильтров (ВФ), соответствующих по струксуре зависимости ( ! 3.82), может потребовать в ряде случаев для определения некоторого навигационного параметра выполнения операции дифференцирования сигнала в присутствии шумов. Это приводит к необходимости дополнительного обсуждения условия реализуемости рассматриваемого фильтра.
Прежде всего это касается достаточности выполнения условия ()3.78) с точки зрения оптимальности линейной системы, определяемой весовой матрицей н(с, тз). если предположить, что входной сигнал х(с) подвергается дифференцированию р раз, то весовые матрицы Н(С, с,) и Нс(С, т,) могут содержать [90] б-функции и их производные до порядка р включительно. Полагая в ()3.77) Нс (С, сс) = б" (С вЂ” тз — тс ), запишем, следУЯ [90], что У [а"К„ ( тс та)] Н (, ) „ , [В"В.„ (С, тс)~ с Ч =с — зз с ч =с- 'з с-т ()3.83) 485 Приведенное уравнение (13.78) представляет собой обобщенное уравнение Винера — Хопфа для многомерной, в общем случае не- стационарной, линейной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
