Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 84
Текст из файла (страница 84)
111 Другими словами, если определитель А, представляет собой определитель системы, записанный для скалярных уравнений, полученных переходом от матричного уравнения к скалярной системе в области изображений по Лапласу а1г а — а11 — а1, — а21 в — агг а2 (13.27) — а„1 а~г а — а„ то частные определители А, (1 = 1,..., г) будут иметь вид Б11и1+... + Б1рир, — а12,..., а1, Б21п1 +...
+ бгрир, (8 — агг),..., — аг„ Ь„1и1 +... + Б,рир, — а,г,..., (а — а„,), (! 3.28) а — а11, — а12,..., Ь11 и1 +... + Б1ри а21 (а а22) ° Ь21ц1 + ° ° + Бгрцр — а,1, — а,г, ..., Б,.1и1+... + Б,-рир Достоинством подхода, базирующегося на применении критерия Кузовкова, является то, что он позволяет не только ответить на вопрос, наблюдаема система или нет, но и определить основные направления, следуя которым можно обеспечить условие наблюдаемости. 13.2.
Наблюдающие устройства и алгоритмические аспекты их синтеза Рассмотрим общую постановку задач синтеза наблюдающих устройств в вариантах построения асимптотических г-мерных восстановителей состояния линейных стационарных систем и восстановителей состояния размерности меньше г. 469 При решении многих задач, в том числе и задач наведения БР, часто приходится иметь дело с ситуацией, когда далеко не все компоненты вектора состояния доступны прямым измерениям. Цель анализа заключается в том, чтобы для стационарной системы восстановить вектор состояния х(1) илн найти замену (оценку) этого вектора по данным о входах ц(г) и выходах у(г) системы.
Оценку вектора состояния системы обозначим х(г). Близость оценки х(г) к истинному значению вектора х(~) будем трактовать как стремление ошибки оценки к нулю, т.е. х(г) — х(й) -+ 0 при г — + со, либо как точное совпадение х(г) с х(г) в момент й = го после наблюдения выходных переменных системы в течение конечного отрезка времени. Математической основой построения динамической системы, называемой восстановителем состояния, служит априорная информация о взаимосвязи измеряемых параметров и определяемых компонент вектора состояния объекта.
Поскольку для стационарной системы матрицы состояния А, управления В и наблюдения С известны, естественной является мысль использовать в качестве такой априорной информации математическую модель системы, формирующую восстанавливаемый вектор состояния х,(г) по данным о его входе и выходе. Предварительно обсудим недостатки простейшего восстановителя состояния, работающего по информации о входе системы, не корректируемого информацией о ее выходе (рис.!3.2, сплошная линия).
При совпадении начальных состояний системы и восстановителя ее состояния и подаче на вход последнего того же воздействия, что и на вход реальной системы, на выходе восстановителя будем иметь искомое значение х,(~) = х(~). Вопрос заключается только в том, как обеспечить идентичность начальных состояний. Хотя он в принципе и решается [6), восстановитель, у которого начальное состояние должно вычисляться и фиксироваться в каждый момент времени его функционирования, весьма неудобен в работе.
Более существенным недостатком рассматриваемого восстановителя является его неустойчивость, под которой понимается следующее. Если матрица А имеет характеристические числа с положительной вещественной частью, то даже незначительное расхождение между х,(1о) и х(Го) приведет к последующему росту рассогласования, тем большему, чем больше величина положительной вещественной части характеристических чисел А. По этой причине разомкнутые восстановители 470 Рис. 13.2. Математический аналог схемы восстановителя фазового состояния динамической системы сосюяния (без обратной связи) не удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям. Использование информации о выходе системы у(1) дает возможность сформировать обратную связь (см.
рис. 13.2, пунктирная линия) в целях повышения точности определения восстанавливаемого состояния. На вход замкнутого восстановителя поступает информация как о входном воздействии, так и о реакции системы на это воздействие, т.е. информация о выходе системы. Выход системы у(г) = Сх(г) сравнивается с сигналом восстанавливаемой реакции у,(1) = Сх,(г) и их разность используется для формирования корректирующего воздействия.
Предварительно полученное значение рассогласования умножается на матрицу коэффициентов усиления К, от выбора значения которой существенно зависят динамические свойства систем. Математическая модель рассматриваемого восстановителя состояния линейной стационарной системы — х(1) = Ах(1) + Вц(1), с(1 у(1) = Сх(1) будет иметь вид — хя(1) = Ахя(1) + К (у(1) — Сх(1)) + Вц(1). (13.29) г( Й Элементарные преобразования приводят к следующей форме представления уравнения (13.29): — х,(1) = [А — КС) х,(1) + Ку(1) + Ви(1). (13.30) д г(1 471 нием наблюдения у(1) = Сх(г). В качестве такой модели выступает векторно-матричное уравнение вида — в(1) = Дв(г) + (2Сх(г), г( г(( (13.31) где Я вЂ” матрица размерности д х р, Д вЂ” (д х д)-мерная матрица.
Можно предположить, что существует такая матрица Т размерности Ч х г, для которой справедливо равенство ТА — ДТ = ЯС. (13.32) Тогда решение (! 3.31) может быть представлено в форме в(й) = Тх(() + ец' [в(0) — Тх(0)] (13.33) и, следовательно, если Д вЂ” устойчивая матрица, то в(г) — э Тх(г) при 1 -э оо для любых в(0) и х(0), причем Т вЂ” решение уравнения 472 Если потребовать теперь, чтобы все собственные числа матрицы [А — КС) имели отрицательные действительные части меньше — сг, то компоненты вектора ошибки х,(() будут стремиться к нулю с градиентом не меньшим, чем 1 е'.
Данное обстоятельство дает основание отнести рассматриваемый восстановитель состояния к числу асимптотических. Желаемая динамика восстановителя может быть обеспечена только при условии, если стационарная линейная система наблюдаема. Наконец обратим внимание на то, что размерность данного восстановителя будет равна размерности системы, т.е.
будет иметь место г-мерный восстановитель состояния. Очевидно, что при разработке восстановителей состояния следует стремиться к понижению их размерности, если при этом будут сохраняться или незначительно ухудшаться их свойства в части оценки требуемого количества компонент вектора состояния динамической системы. Восстановители размерности (г — р) где р — число линейно независимых выходов, часто связывают с именем Д. Луенбергера, одного из основоположников теории наблюдения линейных детерминированных систем.
Краткий обзор ее выводов, касающихся построения (г — р)- мерных восстановителей, приведем для модели восстановителя д состояния однородной стационарной системы — х(1) = Ах(1) с й уравне- (13.32). Итак. задача заключается в том, чтобы выбрать Д и Я такими, при которых решение Т имело бы заданный ранг (г — р). В этом случае р компонент вектора выхода и г — р переменных состояния восстановителя дают т линейно независимых комбинаций переменных состояния системы. Их решение относительно г неизвестных приводит к получению всех компонент восстанавливаемого вектора состояния.
При формировании управления ц(1) решение уравнения, эквивалентного (1331), для соответствующей модели системы выражается в форме — 2(С) = Дя(г) + с4Сх(г) + ТВц(г) (13З4) а* аг при том же условии удовлетворения матрицы Т уравнению (13.32). 13.3. Теорема разделения и ее применение при решении задач навигации и управления Известно, что в детерминированной теории оптимального управления не делается различий между системой с обратной связью и разомкнутой. Это связано с тем, что сигнал ошибки, определяемый в виде разности между текущим и требуемым значениями регулируемого параметра, в детерминированных системах принимается равным точным неслучайным значениям вне зависимости от того, находится ли соответствующая разность при использовании программного или измеренного значения параметра. В этом случае система, оптимальным образом отреагировавшая на сигнал ошибки, будет оптимальной.
Совсем иначе дело обстоит в стохастических системах или системах со стохастической обратной связью. Наличие помех уже создает существенные различия между замкнутыми и разомкнутыми системами с точки зрения получения оптимального решения. Успешное решение задачи наведения в этом случае возможно только при совместном определении как оптимального закона управления, так и оптимального выделения полезного си~нала при измерениях, проводимых на фоне шумов. В общем случае вопросы оптимизации измерительной н формирующей частей системы наведения неразделимы. Однако общей теории синтеза такого рода оптимальных систем пока еще не создано. Преодоление имеющихся трудностей может быть осуществлено на основе использования теоремы разделения и базирующегося на ней принципа стохастической эквивалентности.
473 1 = — хьб)ьхн+ — 1 [х'((Щ,(1)х(С) -1- ц'((Щ (1)ц(1))г(1, (13.35) 2 " 2 / где С)ь и С), — симметРичные, положительно-полУопРеДеленные матРицы; (4 положительно-определенная матрица. Первое слагаемое в (13.35) представляет собой терминальную или финитную составляющую критерия, принимающую конкретное значение, соответствующее моменту времени окончания процесса управления 1 = (ь.
Интегральное слагаемое характеризует переходный (текууций) критерий, для которого экстремум ищем в каждый текущий момент времени й зависящий от управления ц(т) и вида переходной функции состояния ф. Для нахождения оптимального закона управления, минимизирующего критерий (13.35), необходимо записать функцию Гамильтона, в общем случае представляемую в форме Н „( зр, х, ц) = ф(х, ц) + зр'х (!3.36) дНч и найти оптимальное значение ц из условия экстремума функции = О. Содц лрлженные (всломогатезьные) переменные в (13,36) определяют при этом из дифференциального уравнения — з(г(т) = -А'(1) зр(1) — —, дф с(! дх ' (13.37) где А(1) — матрица состояния объекта. Для рассматриваемого случая, отвечающего линейной модели системы д й — х(1) = А(1)х(т) + В(т)ц(1), х(го) =- хо, (13.38) имеем Н„(вг,х,ц) = (х(ч,х+ паз 'ц) + зр'(Ах+ Во).
(1339) Здесь и далее аргумент т опущен для упрощения записи. Вектор вспомогательных переменных, определяемый из сопряженной системы (13.37), запишем в форме (р = — А'зр — 2Я,х при зр(1ь) = 2Яьх((ь). (! 3.40) 474 Посколыгу указанный результат имеет для решения задач наведения фундаментальное значение, попытаемся разобраться в его существе. Предварительно получим выражение оптимального закона управления для линейной системы при полной обратной связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
