Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 83
Текст из файла (страница 83)
С математической точки зрения определение условий наблюдаемости динамической системы адекватно исследованию вопроса существования и единственности решения задачи нахождения вектора оцениваемых параметров по вектору измеряемых параметров. Под условием наблюдаемости будем понимать такое, при котором единственное решение задачи определения и анализа движения существует.
Термин наблюдаемость был впервые введен Р. Калманом [7, 41]. Им же был сформулирован в самом общем виде критерий наблюдаемости для линейных систем. Несколько позднее Н.Т. Кузовковым [57] был предложен простой критерий наблюдаемости для стационарных динамических систем, а Ю.М. Костюковский [52] — разработал локальный критерий наблюдаемости для нелинейных систем. Следуя подходу, использованному в работе [14], предварительно рассмотрим процедуру определения наблюдаемости как структурного совокупного свойства модели движения и измеряемых функций на 463 примере простых частных случаев.
Пусть движение ЛА описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений хп(1) = гп(11 х1, хг~ ' ' ~ хь) (и = 1, ..., и), (13.12) й а измерениям подлежат все компоненты вектора состояния х(1), при- чем измеренные значения точно соответствуют их истинным, т. е. у ив з х„,(т = 1, 2,..., й). (13.13) у = 1е (Х1,хг,...,хь;1) (т = 1 2,...,й). (1314) В этом случае условие наблюдаемости будет совпадать с условием теоремы существования неявных функций у — з!г (Х1, хг,..., Хь, 1) = О, (13.15) оговаривающем возможность выполнения обратного однозначного соответствия между х(1) и у(1).
Для этого достаточно, чтобы матрица ду1 ду1 дхь дх1 дХ2 (13. 16) дуь дуя дх1 дхг ду„ дхь, была бы невырожденной на интервале (О, Т). Напомним, что ква- дратная матрица А называется нееырожденной (неособенной), если имеет обратную матрицу А ', определяемую условиями АА В данном случае со всей очевидностью можно утверждать, что в силу тождественности (13.13) выполнение условия наблюдаемости будет зависеть только от модели движения. Исходя из условий теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений движение будет наблюдаемым, если правые части уравнений системы (13.12) и их частные производные дР'„/дх существуют и они непрерывны на интервале наблюдения (О, Т]. Несколько усложним задачу. Будем считать, что модель движения не задана, а измеряемые параметры являются функциями фазовых координат: = А 'А = Е, где Š— единичная матрица, диагональные элементы которой равны единице.
В качестве следующего модельного случая обсудим ситуацию, отвечающую неодинаковой размерности фазового пространства и пространства измерений. Пусть, как и ранее, движение ЛА описывается системой дифференциальных уравнений (13.12), а измерениям подлежит только один пз-й параметр у из числа значений, задаваемых зависимостью (13.!4). Тогда измеряемый ПаРаМЕтР Рт = У (К1О, ..., ХЩО, .1), ЗаВИСЯЩИй От К НаЧаЛЬНЫХ УСЛО- вий, следует рассматривать как решение обыкновенного дифференциального уравнения Й-го порядка (ь ,(Ь-1 ао(!) + 111И) + + ао(1)рт = О. (!3.!7) ((ь с!г" Уравнение (!3.17) путем понижения порядка может быть приведено к системе Й уравнений первого порядка, в результате решения которой получим все компоненты фазового вектора р (1), т.е.
Ссрт Сс Рт Ь-1 у, —,, Поскольку исходное дифференциальное уравнение и отвечающая ему система эквивалентны, между их решениями должно существовать взаимно-однозначное соответствие, т. е. (/с — 1 ут(1) <-+ у, —, ...,, . (13.18) 1й' ' с!г" 1 Тогда уравнения движения и уравнения измерений можно заменить некоторой системой функций, построенных следующим образом: Ут(!) = З!гт,1(Х1,, ХЬ, !), с(р " дз(1т1 дзу ' *и+ ' = Ч~ д(т1 ''' *Ь'1) п=1 ~п дс с~я-1у 1с д 1!/ ь 1 д 1(/ 1, Яп+ -' = Ртя(Х1, ",УЬ(1) д( Полученные зависимости представляют собой систему неявных со- отношений (и-1 — „(х1,, хь, !) = О (и = 1, 2, ..., Й), (13.19) 465 для которой условием наблюдаемости служит условие невырожден- ности матрицы теперь уже вида аЧ, аЧ о Ч'т! дхь о Ч'т,ь дхь ах, о Ч' кь дх! ох2 д Ч! дхз (13.20) хп(1) = Рп(х!~ хз~ ° ° ~ хт) 1) Й (13.21) ут = Чзт(хз, хз, .
° ° хт, г) (т = 1,, р, ), (13.22) причем г — р характеризует число неизмеряемых параметров движения. Для любого измеряемого параметра из числа у (т = 1,..., р) может быть составлена матрица типа (13.20). Обьединив р таких матриц, получим матрицу наблюдаемости для вектора-функции у(1) Ч'= [Чгт,» ~ Чгт,я] (13.23) Теперь можно сформулировать условие наблюдаемости для системы, задаваемой в форме уравнений (13.21), (! 3.22): система будет наблюдаемой на интервале [О, Т) тогда, когда правые части уравнений (13.21) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения и ранг матрицы (!3.23) равен г.
Следует подчеркнуть, что сформулированный критерий характеризует условие локальной наблюдаемости нелинейных систем, т. е. действие его распространяется лишь на некоторую окрестность исследуемой точки фазового пространства. Таким образом, получение условий наблюдаемости для линейных стационарных систем уже не вызывает особых трудностей. Из 46б на интервале времени 10, Т). Здесь недостающая размерность пространства измерений по сравнению с фазовым пространством состояния компенсируется за счет информации о динамике ЛА, содержащейся в уравнениях его движения. Рассмотрев частные случаи, перейдем к получению искомого результата для обшего случая.
Систему модели движения и измеряемых функций представим в виде выражения вектора наблюдаемых координат у(() = Сх(() и уравнен' ния состояния — х (() = Ах(г) + Ви(г) найдем сМ у(() = Сх((), у(() = САх(() + СВц((), у(() = САзх(() + САВи(() + СВи((), (13.24) где у((), у((), у(() характеризуют реализацию вектора у( т) и его производных на интервале наблюдения. Если теперь составить матрицу Н [Ст АтСт (Ат)зС~ (Ат)~- Ст] (13 25) а различие заключается в виде представления вектора наблюдаемых координат у((), точнее, в содержании матрицы наблюдения С. Для первого варианта С = [1, 0] и, следовательно, измерению подлежит компонента кз (г), для второго — С = [О, 1], что соответствует измерению производной от х1((), т е.
хз(() = хз(г). Конкретизацией данной схемы может служить, например, сближение ЛА с целью вдоль линии визирования при измерении на борту в первом случае величины относительной дальности Р, во втором — только скорости сближения Р без измерения Р. 467 то система будет наблюдаемой тогда, когда в матрице Н имеется г линейно независимых столбцов, что эквивалентно случаю, когда ранг матрицы будет равен размерности вектора состояния.
Именно в этом случае матрица Н будет невырожденной. Рассмотрим простейший пример, иллюстрируюший возможность установления условия наблюдаемости для стационарной динамической системы посредством анализа матрицы Н, задаваемой зависимостью типа (13.25). Проанализируем два варианта невозмущенных моделей линейных систем, состояние которых отвечает уравнению вида Найдя для первого варианта значения транспонированных матриц С' = [ ~, А'С' = [ Г1 о1 представим матрицу Н = ~0 1~ Ранг матрицы — такое число Я, где, по крайней мере один определитель Я-го порядка, получаемый из этой матрицы при вычеркивании некоторых столбцов и (или) строк, отличен от нуля, а все определители (Я+ 1)-го порядка равны нулю.
Очевидно, что для рассматриваемого случая Я = г = 2, что свидетельствует о полной наблюдаемости системы. Если ранг квадратной матрицы Н равен ее размерности, т. е. если Я = г, она является невырожденной, следовательно, ее детерминант не должен равняться нулю (с)е1Н ~ 0). Го о1 Для второго варианта Н = детерминант равен нулю. Поэтому система не является полностью наблюдаемой. Действительно, по наблюдениям только скорости сближения и при отсутствии по крайней мере начальной относительной дальности определить текущую величину Р не представляется возможным.
Наличие взаимосвязи условий управляемости и наблюдаемости динамических систем также впервые было установлено Р. Калманом. Согласно доказанной им теореме при полной управляемости сопряженной системы исходная полностью наблюдаема и наоборот. Данное обстоятельство позволяет при анализе наблюдаемости стационарных динамических систем использовать критерий Н.Т. Кузовкова, а также разработанный им достаточно простой алгоритм, отвечающий применению данного критерия [57].
Суть условия полной управляемости, отвечающего критерию Н.Т. Кузовкава, заключается в следующем. Система будет полностью управляемой, если имеет место невыполнение тождества Сз Л1 + С2 Лз +... + СС ЬС вЂ” О, (13.26) 468 где С; — произвольно выбираемые постоянные, среди которых хотя бы одна отлична от нуля; Л1 — определители, отвечающие каждой из переменных состояния. Их получают из определителя системы заменой столбца, соответствующего рассматриваемой переменной, столбцом из правых частей системы — х(т) = Ах(1) + Вп(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
