Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Однако все это имеет отношение скорее к общим недостаткам подхода, а не к частностям его реализации. Тем не менее об одной из перечисленных причин «глобального» характера, тесно связанной с вопросами практической реализации фильтра, стоит сказать несколько слов отдельно. Речь идет о расходимости, обусловленной неточным заданием модели наблюдения (измерения). Дело в том, что исходя из теоретических принципов построения фильтров элементы матрицы коэффициентов усиления очень быстро стремятся к нулю при увеличении времени, особенно когда шум входных возмущений мал по сравнению с шумами измерений.
В результате оценка вектора состояния со временем оказывается все менее зависимой от последовательности проводимых измерений и растущая ошибка наблюдений, обусловленная неадекватностью модели и реального процесса измерений, на нее не влияет. Средством борьбы с этим нежелательным явлением, называемым иногда насыщением информацией, является введение ограничения снизу значений матрицы коэффициентов усиления фильтров для исключения возникновения нечувствительности фильтра к поступающим измерениям. Теперь подведем некоторые итоги нашего обсуждения метода динамической фильтрации. К числу несомненных достоинств его следует отнести возможность решения задачи фильтрации применительно к многомерным нестационарным системам как при конечном, так и при бесконечном времени наблюдения, а также хорошую приспособленность к реализации на ЦВМ.
Основной недостаток связан с необходимостью обладания полными априорными сведениями о структуре формирующего фильтра, т. е. использовании ранее известных данных о статистических свойствах входного сигнала и действующих помех. Если эти сведения не вполне достоверны, то применение фильтра Калмана либо теряет смысл (тогда отдается 505 предпочтение фильтрам Винера) либо должно одновременно сопровождаться существенным усложнением алгоритма за счет реализации принципа адаптации. Известно, что подавляющее болыпинство встречаюгцихся на практике динамических систем и систем измерений являются нелинейными. Речь до сих пор шла о линейных фильтрах, предполагающих наличие линейных моделей состояния динамической системы и линейных уравнений наблюдения.
Возникает вопрос о степени практической применимости линейной теории, тем более, что советскими учеными разработана (66) достаточно строгая теория оптимальной нелинейной фильтрации как для случая непрерывных, так и для дискретных систем. В настоящее время практическое применение находят все же исключительно линейные фильтры. С чем же это связано? Во-первых, возможности даже самых современных БЦВМ существенно отстают от требований, отвечающих условию применения теории нелинейной фильтрации для решения прикладных задач навигации и управления ЛА.
Во-вторых, уравнения линейных оптимальных фильтров могут быть эффективно использованы в целом ряде важных прикладных задач, если осуществить линеаризацию нелинейной модели процесса. При этом разложение функций в степенной ряд может осуществляться либо относительно номинальной траектории, вычисленной на основе априорных данных, либо относительно оценки, получаемой непосредственно в процессе фильтрации результатов измерений. В первом случае алгоритм фильтрации будет проще, так как уравнения для определения К решают раздельно (аналогично канонической схеме) от уравнений получения оптимальной оценки х.
Если же номинальная траектория неизвестна или отклонения от прогнозируемой номинальной траектории нельзя полагать малыми, приходится использовать второй подход. При разложении функций в ряд относительно оценки системы уравнений для К и х будут взаимосвязанными. При рассмотрении методов оценивания состояния нелинейных систем с использованием обсуждаемой схемы ограничимся случаем непрерывных процессов. Нелинейной системой, соответствующей линейной модели (13.89), (13.86), является — (1) = Е'(х(1);1) + з)(~), пг у(г) = з(г(х(1);1) + п(1) (13.153) (13.
154) при тех же обозначениях и предположениях в отношении априорных сведений и статистических характеристиках возмущений и шумов, что и принятые ранее. Одним из возможных вариантов фильтра для нелинейной системы (13.153), (13.154) может служить очевидная модификация линейного фильтра из предыдущего раздела — х(1) = Г(х(1); 1) + К(Х) ~ — ! О '(1) х Гд р~' й [, дх ) х [у(1) — з(г(х(8)'1)) ' х(Фо) = хо (13!55) ак ~, ~, Л ~, дя х Я '(1) — К(т) -Ь С(1); К(1о) = Во (13 156) з, дх/ Здесь частные производные дР/дх и д з(г/д з(г — матрицы, вычисляемые вдоль номинальной траектории.
Рассмотренный алгоритм фильтрации, основанный на разложении нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности номинальной траектории, имеет ряд существенных недостатков, основным из которых является то, что при больших дисперсиях шумов он может давать расходящиеся результаты вследствие эффекта «подчеркивания» шума операциями дифференцирования. Кроме того, применение процедуры разложения справедливо только для непрерывных нелинейных функций, что ограничивает применимость метода.
От первого из указанных недостатков свободен подход, базирующийся на использовании метода статистической линеаризации. В рассматриваемом варианте метода будем осуществлять представление нелинейностей полиномами по степеням ошибки оценки (13.106), для которой М [ Ь„(~) Л'„(1)] = К(1), а выбор коэффициентов полиномов проводить из условия минимума среднего квадратичного отклонения ошибки аппроксимации, т. е. на основе использования второй формы задания критерия точности оценивания.
Расчетные соотношения алгоритма получим для случая аппроксимации (приближения) второго порядка, учитывающего квадратичные члены разложения: Р(х;1) = а(1) + Ь(1) Ь„(Х) + — С(й) Ь„(1) Ь'„(1), (13.157) 1 2 507 з!С(х; С) = Й(С) + 1(С) Ь„(С) + — пз(С) Ь„(С) Ь'„(С), (13.158) 1 где коэффициенты при четных степенях Ь„(С) — векторы, а при нечетных — матрицы размерности г х г (здесь г — размерность вектора Ь„(С)). Вид уравнений состояния нелинейной динамической системы и наблюдения прежний — (! 3.153), (13.! 54).
В отличие от предыдущего варианта линеаризованного фильтра коэффициенты полиномов здесь, согласно методу статистической линеаризации, должны представлять собой неслучайные функции, зависящие от статистических характеристик случайного процесса. Поэтому дзР(х С) ЖС) = Ч(х(С);С); 1(С) = ~( ' ), (С) = Р(,' ) где для получения оценок могут быть использованы расчетные зависимости линеаризованного фильтра Калмана, приведенные ранее.
По аналогии с методикой построения линейного фильтра Калмана искомый алгоритм будем строить (40, 105] на основе использования априорной оценки вектора состояния М [х(С)] и поправочного члена у(С) — С(С)х(С), в котором С(С)х(С) представляет собой априорную оценку измерения М [у(С)]. Для нахождения их выражений необходимо определить соответствующие значения математических ожиданий, воспользовавшись уравнениями (13.153) и (13.
154) с учетом (13.157) и (13.158). Предварительно определим значение математического ожидания некоторой функции С' ( «(С), С]. Для этого разложим ее в ряд Тейлора относительно среднего значения М [«(С)! = тп~(С) процесса «(С). При ограничении числа членов ряда слагаемыми второго порядка имеем Г[«(С),С] = Г [гпх(С),С] + [«(С) — тп«(С)]+ дЕ [тп4(С), С] дгпс(С) + — ~> [ «,(С) — т г,(С)] ( « (С) — т 4 (С)] 1 " дзГ [пз~(С) С] о=1 = Г [пз~(С),С] + [«(С) — тп~(С)] + дГ [т4(С), С] 508 + — Бр К «, (13.159) 1 ! дзГ [сп«(С), С] 2 ~ (д «(С))' где К « — ковариационная матрица случайного процесса «(С); Бр— след матрицы.
Имея это в виду, получим М [х(С)] = а(С) + — Бр [с(С)К(С)], 1 М [у(С)] = 1$(С) + — Бр [тп(С)К(С)] . 1 (13.160) (13.161) Равенство нулю М [з1(С)] и М [п(С)] вытекает из принятых ранее предположений (см. 13.90 и !3.9!), но, вообще говоря, требование М [ т1(С)] = 0 не является сколь-нибудь принципиальным. Учитывая (!3.!60) и (!3.16!), представим — х(С) = а(С) + — Бр [с(С) К (С)] + 1( 1 1СС 2 1 + П(С) у(С) — 11(С) — — Яр [зп(С)К(С)]; х(Со) = хо, (13 162) 2 где П(С) = К(С)1(СЩ 1(С).
(13. 163) Уравнение для определения ковариационной матрицы примет вид К(С) = ! (С)К(С) + К(С)) '(С) — К(С) 1(С)(3-1(С)1'(С)К(С) + С(С)+ + — К.(С)зп'(С)ьС (С) ( у(С) — 11(С) — -Яр [тп(С)К(С)] К(С); т — 1 1 2 2 К(Со) — Ко ( ! 3.164) 509 Заметим, что полученные зависимости по форме мало отличаются от соотношений линейного непрерывного фильтра Калмана. На первый взгляд различие усматривается в том, что в уравнение для К(С) входит дополнительный член, зависящий от текущего измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
